Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 Intégration par partie 1

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: Intégration par partie 1   Jeu 8 Aoû - 22:54

Bonjour,j'ai du mal a calculé des intégrales grâce à l'intégration par partie et j'aurai voulu écrire des formules sur ce site la mais je n'y arrive pas.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Ven 9 Aoû - 15:24

Bonjour!

Sur les forum de type forumactif, il n'y a pas de générateur de formule du type Latex par exemple. Cependant, tu trouveras ici : Symboles et notation ce que tu cherches pour symboliser une intégrale.

Sauf erreur, depuis le nouveau programme de terminale de cette année, il n'y a plus d'intégration par partie au programme dans les filières générales en tout cas et sauf mauvaise lecture de ma part (vu que les programmes étaient encore transitoires, il y a deux ans, peut-être ont-il encore changé).

Cependant, pour comprendre l'intégration par partie, il faut surtout comprendre la dérivation du produit de deux fonctions dérivable sur l'intersection de deux ensembles de dérivation de ces fonctions.
A savoir, pour toute fonction u et v dérivable sur un intervalle I, on a:
Pour tout x dans I, (u*v)'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

A partir de là, si on considère deux fonctions u et v continue et dérivable sur l'intervalle I à dérivée continue (ce qu'on appelle C1 dans le supérieur) alors on a:
∫(u*v)'(x) dx = ∫ [u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) ] dx

Puis pas linéarité de l'intégrale (à savoir l'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales), on a:

∫(u*v)'(x) dx = ∫ [u'(x)*v(x)] dx + ∫ [ u(x)*v'(x) ] dx

L'idée étant que l'intégrale de droite se calcul simplement car l'intégrale de la dérivée est égale à la fonction elle-même prise entre les bornes de l'intervalle tout simplement.

Voilà pour la théorie en allant un peu vite car les hypothèses sont un peu drastique. Donc on pourrait les alléger un peu puis ensuite pour un niveau terminale, les intervalles sont fermés bornés du type [a;b] ce qui simplifie aussi l'écriture de l'intégrale que j'ai laissé sous forme de primitive ce qui n'est pas très correct mathématiquement parlant mais permet dans un premier temps de visualiser les choses.

Après, il reste à adapter en fonction de l'exemple et c'est là que cela se complique car il faut bien choisir les fonction u et v pour que les nouvelles intégrales soient facilement calculables.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si ce que j'ai dit ne te paraît pas clair; ainsi qu'à préciser ton intégrale en faisant un copier-coller du signe intégrale et en mettant les bornes en indice et exposant (c'est un peu long à taper au départ mais après ce n'est que tu copier-coller pour la structure).

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: Integration par partie 1   Ven 9 Aoû - 20:22

Oui j'ai encore des questions à vous posé mais je les poserai plus tard,et oui c'est vrai qu'il faut bien choisir les fonction u et v,mais il ne faut surtout pas tourné en rond,ce qui m'arrive.
En tout cas,merci encore de m'avoir aidé et à la prochaine!
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Ven 9 Aoû - 21:32

Il peut arriver qu'on tourne en rond si on n'écrit pas explicitement quelle fonction est intégrée et qu'elle fonction va être dérivée. On ne peut pas faire les calculs sans écrire avant explicitement ce qui sera fait concrètement sinon, en effet, on risque fort de tourner en rond vu qu'au premier coup d'oeil sur la feuille on ne sera pas qui était quoi une fois intégré avec la nouvelle intégrale.

Un autre exemple où on tourne en rond serai les fonctions rationnelles où on se retrouve avec du logarithme ou des carrées au dénominateur dont on ne sait pas quoi en fait. L'idée serait plutôt d'essayer de décomposer en éléments simples le quotient de tel sorte de ne plus avoir de variable au numérateur si c'est possible.

Bon courage en tout cas et n'hésite pas à donner ton calcul si tu souhaites qu'on regarde ensemble à quoi cela peut correspondre.

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: intégration par partie   Dim 11 Aoû - 16:12

Bonjour,je crois que mon problème avec l'intégration,c'est que je choisis mal la fonction à dérivé,et je crois que je ne sais pas la choisir.
Je vais vous donnez un exemple:
Si je j'essai de calculé cette primitive: ∫e^3x*cos2x;je vais poser u'=e^3x et v=cos2x
Logiquement j'aurais u=e^3x/3 et v'= -2sin2x

Ensuite ça donne ∫u'v=uv-∫uv'=e^/3*cos2x-∫e^3x/3*-2sin2x mais c'est à partir de la deuxième intégrale que ça se complique pour moi,parce que je tourne en rond à partir de la.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Lun 12 Aoû - 10:45

Bonjour,

Ok, je comprend le problème. En effet, nous allons pouvoir nous en sortir ici non pas avec une intégration par partie mais avec deux.

Comment avoir l'idée?

Le caractère cyclique de la dérivation des fonctions trigonométriques. En effet, la dérivée de la fonction Sinus est la fonction Cosinus et la dérivée de la fonction Cosinus est la fonction -Sinus. Du coup, on retrouve le sinus que nous avions au départ avec un changement de signe tout simplement.

Ce qui fait fonctionner l'idée aussi est le caractère involutif de la fonction exponentielle qui a pour dérivée la fonction exponentielle elle-même.

Du coup, l'idée ici est de refaire le même changement de variable avec la fonction x|-> Sin(2x) à la place de la fonction x|-> Cos(2x). Tu vas constater après ce changement de variable là, que tu retrouves ton intégrale de départ à une constante près ce qui nous amène à penser que nous sommes face à une résolution d'équation d'inconnue ton intégrale qu'on peut appeler I pour simplifier l'écriture.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Lun 12 Aoû - 14:57

Bonjour,alors si j'ai bien compris,je dois remplacé la fonction cos2x par la fonction sin2x?
Excuser moi,mais je ne comprend pas bien les notations" x|-> Sin(2x)" et "x|->Cos(2x)".
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Lun 12 Aoû - 15:21

Ma notation correspond à la notation d'une fonction:
f : x|--> Cos(2x)

Car en fait, Cos(2x) n'est pas une fonction mais un nombre. Je chipote un peu mais bon la théorie en L1 est refaite normalement et il est donc bon d'en avoir acquis une grande partie pour mieux l'appréhender.

Pour en revenir à ton problème, tu as fait une première intégration par partie (IPP) pour aboutir à ceci:
en notation primitive:
I(x) = e3x/3*cos(2x)-∫(e3x/3)*[-2sin(2x)]

Ce qui peut se simplifier ainsi:

I(x) = (1/3)*e3x*cos(2x) + 2/3 * ∫(e3x)*[sin(2x)]

Du coup, nous sommes amener à calculer la primitive de la fonction suivante: (e3x)*[sin(2x)] qui ressemble à s'y méprendre à notre primitive I(x) sauf qu'il s'agit de la fonction sinus et non de la cosinus comme nous l'avions au départ.
Or si tu effectues une IPP pour calculer la primitive ∫(e3x)*[sin(2x)], tu devrait pouvoir faire réapparaître du cosinus et donc faire réapparaître I(x)=∫(e3x)*[cos(2x)]

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration   Lun 12 Aoû - 18:43

ahh ok oui je reconnais cette notation avec la flèche mais c'étais moi évident sur un ordinateur.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Lun 12 Aoû - 18:51

Oui,en effet ça ressemble à la fonction de départ,bon et bien je vais faire l'intégration par partie.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Lun 12 Aoû - 19:05

Alors,quand j'ai calculé,ça me donne:
∫e^3x*sin2x=(1/3)e^3x*sin2x-(2/3)∫e^3x*cos2x.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Lun 12 Aoû - 19:15

Et j'ai aussi une question si ça ne vous dérange pas,je me demandai si il y avai une différence entre la formule"∫u'v=uv-∫uv'" et "∫uv'=uv-∫u'v"?
Et si je me trompe de fonction (fonction a dérivé ou intégré) c'est grave ou je trouve toujours le résulat à la fin?
Merci encore de m'aidé
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Lun 12 Aoû - 22:13

Ca marche pour l'IPP sur l'intégrale. Maintenant, il faut tout remettre dans le même calcul puis résoudre l'équation en I(x) pour trouver sa valeur.

Pour ta question, on ne peut pas se "tromper" en quelque sorte du moment que tu n'effectues pas deux fois une IPP avec une inversion des intégrations et des dérivations (ce qui reviendrait à tourner en rond). Après, il y a des cas particulier où dériver une fonction plutôt qu'une autre sera préférable mais c'est au cas par cas après.

Pour l'égalité que tu proposes, elle est tout aussi vraie l'une que l'autre vu qu'elle provient de l'égalité de dérivation d'un produit de fonction qu'on intègre. Donc tu peux choisir l'une ou l'autre sans distinction et cela sera en fonction des cas qui seront plus favorable à l'une qu'à l'autre tout simplement.

Bon courage pour la finalisation de ton problème!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 12:55

Ok merci,sinon j'ai essayé de tout mettre dans un seul calcul et ça donne:

I(x)=∫e^3x*cos2x=(1/3)*e^3x*cos2x+(2/3)*∫e^3x*sin2x=(1/3)*e^3x*cos2x+(2/9)e^3x*sin2x-(4/9)∫e^3x*cos2x.

Mais je n'ai pas l'impression que c'est bon
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Mar 13 Aoû - 13:04

Bonjour,

Je n'ai pas refais les calculs mais en tout cas, cela me paraît bon. Par contre, il faut garder un peu de lucidité pour visualiser la solution (il y a un intérêt à mettre les calculs les uns en-dessous des autres par exemple) :

I(x)=∫e^3x*cos2x
I(x)= (1/3)*e^3x*cos2x+(2/9)e^3x*sin2x-(4/9)∫e^3x*cos2x.

Ainsi, on constate que I(x) est aussi présent dans le calcul ce qui donne:

I(x)= (1/3)*e^3x*cos2x+(2/9)e^3x*sin2x-(4/9)*I(x)

On passe du coup en résolution d'équation en I(x) en considérant que x joue le rôle d'un paramètre et que l'inconnue ici est la quantité I(x).

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 15:00

Ok
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 15:35

Là par contre je ne comprend pas vraiment,en faite je pensai que je pouvais directement trouvé la valeur de l'intégrale.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 19:09

Je ne comprend pas vraiment ce que je dois faire ensuite.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Mar 13 Aoû - 19:13

Il y a des cas où on trouve directement la valeur de l'intégrale ne faisant des intégrations par partie ou des changements de variables mais il y en d'autre où il faut se ramener à des équations et dès fois même à des équations différentielles pour trouver la valeur.

Ici, le soucis vient du cosinus qui est une fonction à dérivée cyclique et par conséquent, on ne peut pas directement trouver la valeur de l'intégrale par IPP. Il faut en plus résoudre une équation certes très simple mais il faut tout de même la résoudre pour trouver la valeur de l'intégrale ici.

Ce que tu dois faire c'est résoudre l'équation en I(x) suivante:

I(x)= (1/3)*e^3x*cos(2x) + (2/9)e^3x*sin(2x)-(4/9)*I(x)

Sachant qu'il faut bien comprendre que pour résoudre cette équation, x joue le rôle d'un paramètre et ce n'est donc pas une inconnue. L'équation est peu commune en terme de visuelle mais il faut bien visualiser une équation ici de type I = A + B*I où A et B sont des paramètres et I est l'inconnue que nous cherchons à expliciter tout simplement.

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 19:32

Oui,ça je l'ai déja fait et ça me donne:∫e^3x*cos2x=(1/3)*e^3xcos2x+(2/9)e^3x*sin2x-(4/9)∫e^3x*cos2x.
Ensuite ça donne :(13/9)∫e^3x*cos2x=(1/3)e^3x*cos2x+(2/9)e^3x*sin2x
Ensuite on a:∫e^3x*cos2x=(3/13)e^3x*cos2x+(2/13)e^3x*sin2x!!
Merci encore de m'avoir aidé!
Ce qui c'est passé c'est que j'avais fait une erreur de calcul et ma calculatrice ne m'avais pas affiché le résultat que j'avais trouvé mais maintenant,c'est bon!
Merci pour votre patience,j'ai compris le principe,mais ce prend du temps pour faire ça.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Jjl



Masculin Nombre de messages : 123
Age : 23
Localisation : France
Date d'inscription : 22/02/2012

MessageSujet: integration par partie   Mar 13 Aoû - 19:35

Ah oui,je voulais vous dire que je vis en Guadeloupe donc excusé moi si parfois j'envoi des messages assez tard(décalage horaire)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Mar 13 Aoû - 20:32

Nickel !!

L'idée de mettre sous forme de fonction ou de paramètre I(x) ou I cela évite de se trimbaler les intégrales un peu partout. Mais le but est de trouver le résultat peu importe comment on procède après tout.

Il n'y a pas de problème pour l'heure de tes messages ou de tes réponses. Le forum est libre dans son utilisation et dans les réponses. A partir de là, le principale reste que vous progressiez avec ou sans mon aide Smile.

Bonne continuation et n'hésite pas si tu as d'autres questions!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Intégration par partie 1   Aujourd'hui à 4:04

Revenir en haut Aller en bas
 
Intégration par partie 1
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Séjour intégration 6ème
» pb d'intégration de certains élèves
» Echec du multiculturalisme, de l'intégration
» problèmes d'intégration
» WE d'intégration HK

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la Terminale G, T et Pro :: Exercices de cours-
Sauter vers: