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 [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles

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Scientia



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MessageSujet: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Jeu 22 Aoû - 9:42

Bonjour,

J'ai voulu écrire "mathématiquement" une propriété de spé maths, dans la division euclidienne dans Z, mais j'ai un petit problème avec les symboles ^^ ...

La propriété est la suivante :
Etant donnés un entier relatif a et un entier naturel non nul b, il existe un unique couple d'entiers relatifs (q;r) tels que a = bq + r et 0=<r<b.

Mathématiquement parlant, j'ai traduit comme suit :
a ∈ Z, b ∈ N*, ∃!(q;r), q ∈ Z, r ∈ Z \ a = bq + r, 0=<r<b

J'ai légèrement conscience que ce n'est pas si rigoureux que ça ...
Concernant ∃!, j'ai lu sur internet qu'il fallait se méfier de son utilisation, mais j'ai mal saisit pourquoi.
Le second problème est l'ordre des affirmations et peut-être une overdose de virgules ...
Par exemple, j'ai lu qu'une virgule avant a = bq + r signifie tel que, mais aussi \ ...

Merci beaucoup,
Scientia
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Jeu 22 Aoû - 12:18

Bonjour,

Ha le formalisme mathématique, c'est tout une histoire!

Je pense que tu as entendu parler de produit cartésien de deux ensembles à savoir:
R x R qu'on peut aussi écrire R² (qui est l'ensemble des couples de réels). Du coup, on peut simplifier grandement ton écriture à l'aide de l'écriture en produit cartésien des ensembles vu qu'on considère en fait des couples.

De plus, lorsqu'on commence par "on considère un nombre", le plus souvent cette écriture un peu flou de la langue française se traduirait plutôt par "Quelque soit le nombre" ce qui permet de faire évoluer ta propriété et surtout la rendra exact car pour chaque objet qu'on considère:
- soit c'est une existence
- soit cela est vraie pour toutes les valeurs prise par l'objet.

Du coup, je pense que tu sais traduire le "quelque soit" en mathématique via la traduction anglaise "for all" vu qu'on prend pour le signifier la lettre "A" qu'on retourne.

Du coup, ta propriété s'écrirait :
" (a; b) Є Z x N*, $! (q; r) Є Z² / (a = bq + r et 0 ≤ r < b )

ce qui signifie:

Pour tous les couples (a;b) tel que a soit un entier relatif et b un entier naturel non nul, il existe un unique couple (q,r) de nombres relatifs tels que: a = bq + r et 0 ≤ r < b


Après en effet, certains ouvrages utilisent la virgule en guise de "tel que" et d'autre utilise le "/" pour visualiser la propriété principale en fait. Dans tous les cas, il ne s'agit pas de l'anti-slash qui veut dire qu'on exclus quelque chose comme dans les exemples:
N\{0} = N*
R\{-1,1}
...

Enfin, le "il existe un unique" est à manipuler avec précaution pour la simple et bonne raison qu'il y a deux choses à démontrer dans ce genre de propriété:
- L'existence du couple
- l'unicité du couple

ce qui amène le plus souvent deux démonstrations qui s'avèrent différentes (l'unicité via le fait que N comme Z sont minorés par 0 alors que l'existence se démontre d'une autre manière si mes souvenirs restent bons).

N'hésite pas si tu as d'autres questions ou des précisions à demander.

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Jeu 22 Aoû - 12:37, édité 1 fois (Raison : orthographique)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Jeu 22 Aoû - 12:28

Je double poste car j'avais un doute sur la forme de ta propriété que j'ai donc vérifiée dans un bouquin (le Dany-Jack Mercier par exemple qu'on retrouve à cette adresse: Division euclidienne dans Z. Applications).

Il s'avère que la propriété que tu proposes est restrictive vu que tu considères b dans N* ce qui ne revient pas à faire une division euclidienne dans Z vu qu'on divise par l'ensemble des entiers naturels ce qui simplifient donc les possibilités d'utilisation. Or si tu souhaite avoir une propriété dans Z, il faut donc supposer b dans Z* et bien entendu ajouter les valeurs absolues dans l'encadrement vu que b peut être négatif (la difficultés se trouve là dans la généralisation).

Ce qui donne du coup:

" (a; b) Є Z x Z*, $! (q; r) Є Z² / (a = bq + r et 0 ≤ r < |b| )

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MessageSujet: Re: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Jeu 22 Aoû - 20:34

Bonsoir,

Je me demandais aussi pourquoi une telle restriction en considérant b sur N* et pas sur Z* ... c'est plus logique en effet !

Par contre, j'ai un problème avec le reste r et le quotient q.

1 - Dans mon livre, q (soit E(a/b)) est définit par l'encadrement q =< a/b < q+1, avec b sur N*. Mais si a < 0 (ce qui est possible puisque a Є Z), on a q >= a/b non ? Par exemple, avec a/b = -3.52, q = -3 et -3 >= -3.52 , mais j'ai l'impression que la fonction partie entière est plus compliquée que ça ...

2 - De plus, je me demande pourquoi r est toujours positif, alors qu'il appartient à Z, j'ai essayé de faire une étude de cas (si a<0 et si b<0 etc.) mais j'ai besoins d'être sure pour le 1) car je dois savoir le signe de si r, soit a-bq.
Puisque r>0, peut-on "(a; b) Є Z x Z*, $! (q; r) Є Z x N / (a = bq + r et 0 ≤ r < |b| )" ?

3 -
Blagu'cuicui a écrit:
Enfin, le "il existe un unique" est à manipuler avec précaution pour la simple et bonne raison qu'il y a deux choses à démontrer dans ce genre de propriété:
- L'existence du couple
- l'unicité du couple

ce qui amène le plus souvent deux démonstrations qui s'avèrent différentes (l'unicité via le fait que N comme Z sont minorés par 0 alors que l'existence se démontre d'une autre manière si mes souvenirs restent bons).
Dans mon livre (encore et encore ^^), j'ai une démonstration de l'existence et de l'unicité, mais pour l'existence, ils ne parlent pas de minoration de N ou de Z ... Pouvez-vous m'expliquer le principe ?

Merci beaucoup !
Scientia
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Jeu 22 Aoû - 22:13

Il faudrait regarder ce livre de plus près, tu piques ma curiosité pour le coup.

Le reste est forcément positif si tu veux l'unicité du couple (q,r) mais c'est en fait la restriction sur r (l'encadrement de celui-ci) qui impose le fait qu'il soit dans N. Alors qu'à la base rien ne l'oblige à être dans N.

Il n'y a pas de contradiction dans ta nouvelle propriété, elle est juste plus restrictive que l'autre car tu imposes directement que r soit dans N ce qui n'est pas obligatoire pour l'existence du couple.

-2 = 3*3 + (-10)
-2 = 3*(-1) + 1
serait deux divisions euclidiennes de -2 par 3 tout à fait exacte si on imposait rien sur le reste r. Donc pour l'existence, il n'y a pas besoin d'imposer que r soit un entier naturel. Le condition sur r donnera l'unicité de la décomposition.

Pour l'existence du couple, il suffit d'avoir comme idée que même si a est négatif, on peut toujours trouver un entier naturel k tel que:
a+|b|k soit positif ou nul (cela découle du fait que l'ensemble des nombres entiers négatifs est majoré par 0).

A partir de là, il est possible d'effectuer la division euclidienne de a+|b|k par |b| vu que ces deux quantités sont des entiers naturels et que b est supposé non plus donc |b| l'est aussi.

Il existe donc un unique couple d'entiers naturels (s,t) tels que:
a+|b|k = |b|*s + t avec t<|b|

C'est à dire qu'il existe k, s et t trois entiers naturels tel que
a = |b|(s-k) avec t<|b|

à savoir:
a = b*[|b|(s-k)/b] avec t<|b| (tout à fait possible vu que b est non nul)

En posant q=[|b|(s-k)/b] et r=t, nous avons bien l'existence de notre couple de nombre relatifs (il faudrait justifier le fait que q est bien un entier relatifs d'ailleurs, est-ce que tu vois pourquoi ?).

J'espère avoir été assez clair là-dessus. Pour l'unicité, je n'ai même pas besoin de la minoration par 0 de N en fait (c'est pour démontrer que l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD à une fin que j'en ai besoin, j'ai confondu les deux démonstrations).


Pour la fonction partie entière, tu as fait une erreur classique:
E(-3,52)=-4 et non -3.

Pourquoi ?

-3,52 est compris dans l'intervalle [-4,-3[ !!! Il n'y a donc aucune erreur, il faut juste faire attention aux encadrement des nombres négatifs.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: [Tle S spé maths] Division euclidienne dans Z et symboles    Aujourd'hui à 4:07

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