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 Trigonométrie1

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Jjl



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MessageSujet: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 15:37

Bonjour,je fais quelque exercices sur les nombres complexes mais je rencontre une difficulté,en fait dans certain exercices comme celui ci:
Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument π/3.(je n'ai pas trouvé le symbole "pi"
2. Nombre de module 3 et d’argument -π/8.

Mon problème c'est que j'ai du mal a trouvé le sinus et le cosinus d'un angle que je ne connai pas comme "-π/8".


Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 24 Aoû - 16:53, édité 1 fois (Raison : mise en forme)
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MessageSujet: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 16:46

c'est bizzar,je ne vois pas mon message...
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 17:02

Bonsoir,

J'ai effacé es deux autres messages car ils étaient identique à celui-ci. Il n'y a pas de problème de visualisation chez moi en tout cas à moins que tu parles d'un autre message que ces deux ci. Sinon, pour les symboles, tu les trouveras à loisir sur cette page:Lettres et symboles mathématiques

Pour la première question, je pense que tu connais la réponse en appliquant la forme trigonométrique d'un complexe:
z= |z|*[Cos(α) + i*Sin(α)] avec α=Arg(z)

Pour le 2ème, on peut la mettre sous forme trigonométrique avec a et b qui seront écrits à l'aide de cosinus et de sinus mais en effet dans un premier temps, on ne peut pas aller plus loin vu qu'on ne connaît pas le cosinus et le sinus de cet angle là.

Du coup, il va falloir décomposer l'angle ou la forme d'une addition ou d'une soustraction de telle sorte qu'on retrouve des angles calculable mais avec un dénominateur sous la forme d'une puissance de 2 cela risque d'être délicat de mon point de vue.

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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 17:08

Bon tout compte fait, on va faire une pirouette pour retomber sur nos pieds.

En effet, je pense que tu connais la formule de linéarisation suivante:
Cos(2α) = Cos²(α) - Sin²(α)

A partir de là, si on l'applique la relation fondamentale de la trigonométrie, on peut écrire

Cos(2α) seulement en fonction du Cos(α) ou seulement en fonction du Sin(α).

1) Ecrire ces deux relations.
2) Remplacer dans les deux formules trouvées α par -π/8
3) Déduire la valeur du Cos(-π/8) et du Sin(-π/8)
4) En déduire les valeurs de a et b pour la forme de z.

Bon courage!

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MessageSujet: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 17:20

Oui en effet je connais ces formules,merci pour votre aide,je vais calculé tout ça.
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 18:43

Pas de soucis,

N'hésite pas à proposer tes résultats.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 19:11

Alors Z=3e^(i*-π/8)=3[cos(-π/8)+isin(-π/8)] avec ρ=3 et θ=-π/8 Ensuite sais que cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x et que cos²x=(1+1cos2x)/2,et sin²x=(1-cos2x)/2.
Ainsi on en déduit que Cos(2* π/8)=cos( π/4)=cos²( π/8)-sin²( π/8).
Or cos²( π/8)=(1+cos(π/4))/2=(1+√2/2)/2.
Donc cos( π/8)=√(1+√2/2)/2).
Et sin(π/8)=√(1-√2/2)/2).
Aussi j'aurai envoyé ce message plus tôt mais mon ordinateur s'est éteint deux fois et j'ai perdu tout ce que j'ai écrit !
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MessageSujet: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 19:13

J'espère que je n'ai rien oublié.
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Sam 24 Aoû - 20:34

C'est excellent !

J'ai corrigé l'omission du module dans la première égalité mais le reste de la recherche est juste.

Sinon, au niveau de la rédaction, "avec ρ=3 et θ=-π/8"
n'a pas de sens vu que les deux quantité en soit n'interviennent pas dans les égalités précédentes. Donc inutile de les mentionner.

Du coup, tu peux conclure pour les valeurs de a et b pour la forme algébrique (la multiplication par 3 des deux quantités trouvées).

Bonne continuation!

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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 1:35

Ah oui le module c'est vrai! Merci encore pour votre aide!
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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 2:49

Donc z=3√(2+√2)/2+i√(2-√2)/2;mais je ne suis pas sûr que c'est +i√...ce n'est pas un moins par hasard?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 9:46

Bonjour,

Alors pour le coup, je ne suis pas d'accord avec le résultat final.

En effet, si tu mets au même dénominateur, il ne faut pas pour autant oublier que tu divisais toutes tes quantités par 2. Du coup, le dénominateur final n'est pas égale à 2.

De plus, le module s'applique sur l'ensemble des la partie trigonométrique et non seulement sur le cosinus. z=|z|*[Cos(..) + i*Sin(..)] (du coup, il faut développer pour avoir accès à la forme algébrique)

Enfin, je n'ai pas fait attention hier soir mais il te manquait un signe - dans toutes les valeurs des angles. En effet, tu as appliqué les formules pour π/8 au lieu de les appliquer pour -π/8.
Je te laisse reprendre les signes à tête reposée pour finaliser les calculs car la méthode est la bonne.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 13:43

Bonjour,alors z=3(√(2+√2)/2+i√(2-√2)/2) et cos(π)=cos(-π) donc j'ai remplacé cos(-π/8) par cos(π/8)
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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 13:52

Donc la forme algébrique qu'on nous avais demander sauf erreur, c'est:
Z=3√(2+√2)/2+3i√(2-√2)/2
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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 13:57

Enfin je voulais dire que pour un angle θ,cos(-θ)=cos(θ).
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 13:59

Alors si on reprend les deux calculs:

On a: cos²( -π/8)=[ 1+cos(-π/4) ]/2= (1+√2/2)/2 (OK)

De plus, sin²(-π/8)=[1-Sin(-π/4)]/2 = ?

Après, attention lorsque tu passes à la racine carrée, car ici le Cosinus est bien positif mais le Sinus est négatif, du coup, il faut prendre l'opposé de la racine carrée.

( Pour tout nombre a positif, x²= a ) <=> [ (Si x positif, x=√a) OU (Si x négatif, x=-√a) ]

Vu que -π/8 est situé dans le quart de cercle situé sous l'axe des abscisses et à droite de l'axe des ordonnées, nous avons donc un cosinus positif et un sinus négatif. Donc attention lorsqu'on passe à la racine carrée.

Ce qui répond à ta question du "-i*..." le "-" provient de là en fait car la sinus est négatif.

Bon courage pour la finalisation.

ps: Attention à la mise au même dénominateur lors des calculs à moins que tu considères que le 2 est hors de la racine carrée ce qui serait juste du coup mais je distingue mal où sont les parenthèses sans espace xD.

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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 14:45

Ah oui c'est vrai pour le sinus,bon je vais finalisé, alors ça donne:

Z=3[√((2+√2)/2)-i√( 2-√2)/2)=3√((2+√2)/2)-3i√(2-√2)/2.
Pour les parenthèse j'ai fait et j'espère que vous comprendrez ce que j'ai écris.
Ensuite le dénominateur final c'est 2 il me semble non?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 17:51

C'est presque nickel !!

C'est bien ce que je me disais que tu avais en fait sorti le 4 de la racine carrée pour avoir le dénominateur 2 et qu'il ne s'agissait pas d'un oubli comme je l'avais supposé à tord.

Sin(-π/4) = - √2/2 !!!

Du coup, la partie réelle est juste mais il y a une erreur de signe dans la partie imaginaire du complexe.

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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 18:50

Veuillez m'excusez,mais je ne vois pas d'ou sort "sin²(-π/8)=[1-Sin(-π/4)]/2" car la formule c'est : sin²x=(1-cos(2x))/2.
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 22:05

Et bien oui, j'ai encore écrit trop vite.
La vache en voilà une belle erreur. Il est grand temps que la rentrée arrive et que je retourne à l'école moi ;-).

Ton résultat est donc totalement juste, autant pour moi et avec mes excuses en prime.

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MessageSujet: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 23:30

Mdr,l'erreur est humaine! Vous avez fait des étude dans quel domaine?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Dim 25 Aoû - 23:49

J'ai fait des études de maths jusqu'en M1 pour les maths Géné en passant par prépa (MPSI/MP) puis préparation à l'agrégation de maths avec obtention du Capes et de la double admissibilité à l'agrégation (raté à 0,5 comme quoi). Je suis enseignant au collège depuis quelques années et je sens bien que je rouille un peu sur certains domaines mais l'important étant de rester humble et humain comme qui dirait, je n'ai pas réponse à tout loin de là. Donc j'aide avec mes capacités, mes souvenirs et mes remises à niveau lorsqu'un domaine que je n'ai pas vu depuis longtemps vient à faire irruption sur le forum pour que je puisse aider au mieux.

Bon là, l'erreur est impardonnable surtout que quelques messages au-dessus, je te filais l'idée pour aller vers les bonnes formules et je me plante sur l'écriture de l'une d'elles. Mais bon, l'important étant que toi tu ne l'aies pas faite celle-ci tout simplement car pour ma part si je fais des erreurs cela n'a pas grande importance après tout mais pour vous, les membres du forum c'est plus délicat sur le court terme même si sur le long terme cela revient au même vu que vous rectifiez les quelques bafouilles que je peux faire de-ci de-là.

Bonne continuation en tout cas et n'hésite pas si tu as d'autres questions!

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MessageSujet: Trigonométrie1   Lun 26 Aoû - 0:24

Ahh vous êtes un prof de maths tout s'explique!! Je me disais bien!
Non mais vous êtes un très bon professeur visiblement,parce que vous expliqué bien,non mais ensuite je fais des erreurs,vous aussi de temps en temps de plus vous nous aidé bénévolement,et en nous aidant vous pouvez revoir des chose que vous aviez un peu oubliez et nous aussi.
Bon en tout cas bonne continuation!
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MessageSujet: Re: Trigonométrie1   Aujourd'hui à 16:32

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