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 Projeté orthogonal

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Jjl



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MessageSujet: Projeté orthogonal   Sam 14 Sep - 20:03

Bonsoir,j'ai fais un exercice de maths qui me pose quelque problème,et c'est cet exercice:

(O,i,j,k)est un repère orthonormé de l'espace .Soit la droite D passant par O,de vecteur directeur u(1,1,1).Déterminé les coordonnées du projeté orthogonal H du point A(2,3,4) sur D.
Et moi je me disait que je pouvais trouvé les coordonnées de H et faisant un produit scalaire(AH*HD) mais il me faudrait l'équation de la droite D pour faire ça,sachant que le produit scalaire sera forcément nul(90°).Ensuite je sais que le point H(x,y,z) est sur D ssi le vecteur OH est colinéaire avec u(1,1,1) et donc, par conséquent,OH=k*u(vecteur u)=k(1,1,1);donc (xh-xo,xh-yo,zh-zo)=(k,k,k).Ensuite on peut voir que xh=xa=2;et que yh=0.Pour le point O on sait que∀ point O et H Є à D,∃ un réel k tel que AB=k*u(dans mon cours mais je n'ais pas les coordonnées de O donc ça ne m'aide pas vraiment...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 14 Sep - 21:16

Bonsoir,

Les coordonnées de O sachant que le repère est d'origine O, je pense que tu vas pouvoir résoudre ton soucis de ce point de vue là ;-).

Sinon, ton raisonnement est bon, il faut juste utiliser le fait que AH.u=0 pour exprimer les coordonnées de H.

Bonne continuation!

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Jjl



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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 14 Sep - 22:11

Ok merci pour ton aide Very Happy  je vais réussir à résoudre ce problème maintenant.
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Jjl



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MessageSujet: projeté   Mar 17 Sep - 4:09

Les coordonnées de O c'est(0,0,0)?
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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Mar 17 Sep - 9:52

Bonjour,

En effet, O est l'origine du repère du coup les coordonnées sont toutes égales à 0.

Bonne continuation!

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MessageSujet: projeté   Mar 17 Sep - 10:50

Ok,merci pour ton aide.
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Jjl



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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Mar 17 Sep - 11:07

Enfin j'ai trouvé! AH*u=0 et pour faire court,zh que je n'avais pas est égal à 7.
Donc H(2,0,7),mais ce que j'avais écris"OH=k*u" était vrai,mais ça ne m'a servi à rien ^^.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Mar 17 Sep - 20:45

Ca ne sert pas à rien car les coordonnées de H doivent tout de même vérifier l'équation paramétrique de la droite mais ce n'est pas ce qui permet de conclure vu qu'il te manquait une équation.

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Jjl



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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 28 Sep - 11:07

Bonjour,je reviens sur ce sujet parce que mon professeur a corrigé cet exercice et ce que j'ai fais n'étais pas totalment bon.
En effet il a écrit:
AH(vecteur)*u(vecteur directeur)=0 et H appartient à D.
AH(xh-xa,yh-ya,zh-za)(1)
u(1,1,1)
AH*u=(xh-2)+(yh-3)+(zh-4)(2)
AH*u=xh+yh+zh-9=0
AH*u=3t-9=0
<=>t=9/3=3
D : {x=t,y=t,z=t;t appartient à R.
Et comme H appartient à D,alors H(t,t,t) d'ou H=(3,3,3).
Mais je me demandais d'ou sort le paramètre t? enfin c'est un paramètre qui permet de trouvé les coordonnées de H et c'est présent dans l'équation paramétrique de la droite qui serais {xh=2+1t;yh=3+1t;zh=4+1t.
Corrigé moi si je me trompe,ensuite je me suis demander pourquoi x=t;y=t;et z=t dans ce que mon professeur à écrit,enfaîte je ne comprend pas pourquoi x,y,et z on la même valeur,c'est à cause du coefficient directeur?
Enfin,si le coeficient directeur valait(4,5,6),en (2) on aurai AH*u=4*(xh-2)+5*(yh-3)+6(zh-4) et 4xh+5yh+6zh=8+24+15=47 d'ou 15t(avec xh(ou x)=yh=zh) donc 15t=47.

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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 28 Sep - 12:14

Bonjour,

On sait que la droite D passe aussi par l'origine du repère !
Du coup, O(0;0;0) appartient aussi à la droite D.
Vu que u(1;1;1) est le vecteur directeur de D, l'équation paramétrique de D est aussi:
{x=0+t
{y=0+t
{z=0+t

L'équation paramétrique que tu proposes correspond à une droite D' de vecteur directeur u passant par 1.

Or ici, on cherche le projeté de A sur D. Il est plutôt rare que le point A appartienne à la droite sur laquelle on projette car sinon, le projeté aurait les mêmes coordonnées que le point A lui-même s'il appartenait à la droite D.

Du coup, l'équation paramétrique que tu proposes ne correspond pas à la droite D ce qui a causé ton erreur.

Bonne continuation!


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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 28 Sep - 12:52

Ah oui! Je n'ai pas bien lu l'énoncé et H et A n'on pas du tout les même coordonnées,ensuite ma représentation paramétrique est fausse oui,une représentation qui serait bonne ça serai celle-ci
{x=xh+t;y=yh+t;z=zh+t ;avec H(3,3,3) .Mais ça sert seulement a trouvé les coordonnée d'un point les équation paramétrique? Et est ce que j'ai écrit en (2) est vrai?
Enfin une droite peut avoir plusieur équation paramétrique vu qu'elle a plusieur point et plusieur vecteur directeur(vecteur proportionnel) non?
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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 28 Sep - 21:34

Bonsoir,

Ce que tu avais écrit en (2) est juste en effet.

L'équation paramétrique d'une droite permet de visualiser le coefficient directeur de celle-ci. L'autre intérêt réside dans le fait de pouvoir trouver des points d'intersection de façon plus simple vu que tout dépend d'un seul paramètre en fait.

Enfin, il y a bien une infinité d'équation paramétrique d'une même droite (il suffit de remplacer t par un paramètre proportionnel à t pour avoir une nouvelle équation paramétrique).

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Sam 28 Sep - 23:16

Merci beaucoup pour ton aide Very Happy à force mes questions doivent te saoulé!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Projeté orthogonal   Dim 29 Sep - 9:50

Bonjour,

Aucune question ne me saoul pour ma part Wink. J'ai monté ce forum pour répondre aux questions, je ne vais pas me plaindre d'en avoir.

Bonne continuation et n'hésite pas!

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