Gauss2.4

Bonjour j'ai essayé de résoudre ce système:
{2x+y-z=0(L1);x+y-2z=-8(L2);x-3y-z=1(L3).
Et j'ai écrit L1<=(flèche)L1-L2: x+z=8 et on sait que z=-1-3y+x(ce que j'ai trouvé) donc x+z=8=>(implique) x+x-1-3y=8 donc que 2x-3y=9.

Ensuite L1<=L1-L3: x+2y=-9 et on obtient ainsi deux équation a deux inconnues {x+2y=-9;et 2x-3y=9.

Et x=-9-2y donc 2(-9-2y)-3y=9=>-18-4y-3y=9=>-7y=27 et que y=27/-7 ensuite x+54/-7=-63/7(-9 si tu préfère)=>x=-9/7 ensuite on remplace les valeur de x et y dans la "première
équation du système(2x+y-z=0(L1))" pour trouvé z

Ce qui donne : (-18/7)-27/7-z=0=>z=-45/7.
Mais la deuxième équation(x+y-2z=-8(L2)) ne vérifie pas ces solution car x+y-2z=6 d'après ce que j'ai trouvé donc je ne vérifie même pas pour les autres équation,et ce système n'admet pas de solution.
Mais je voudrais juste savoir si ma démarche et ma façon de rédigez sont bonne s'il te plait,merci.

Bonsoir,

L'intérêt du pivot de Gauss repose sur l'isolement au fur et à mesure et là tu as une méthode qui est intéressante mais complexe de mon point de vue.

En effet, on peut commencer par réordonner les équations ainsi:
{ x + y - 2z = -8
{ x - 3y - z = 1
{ 2x + y - z = 0

Du coup, on isole x sur la première ligne puis on remplace dans les lignes du dessous.

{ x = -8 - y + 2z
{ (-8 - y + 2z) - 3y - z = 1
{ 2*(-8 - y + 2z) + y - z = 0
<=>
{ x = -8 - y + 2z
{ z - 4y = 9
{ 3z - y = 16

Puis on échange la ligne 2 avec la ligne 3 et on isole y et on remplace dans la ligne suivant.

{ x = -8 - y + 2z
{ 3z - y = 16
{ z - 4y = 9
<=>
{ x = -8 - y + 2z
{ y = -16 + 3z
{ z - 4*(3z-16) = 9
<=>
{ x = -8 - y + 2z
{ y = -16 + 3z
{ z -12z + 64 = 9
<=>
{ x = -8 - y + 2z
{ y = -16 + 3z
{ - 11z = - 55

Enfin, on isole totalement z puis on remonte chaque ligne en remplaçant au fur et à mesure. C'est le principe du pivot de Gauss, on descend au fur et à mesure puis on remonte une fois qu'il y a un isolement total.

Et il y a bien une solution à notre système.

Bon courage!

Ok,je vais revoir la méthode du pivot de gauss,c'est important,sinon j'orai pu trouvé x,y,et z avec ma méthode?

Le soucis que tu as avec ta méthode réside dans le fait que tu oublies toujours le principe de sytème. A savoir que tu dois à chaque réflexion avoir trois équations et non seulement en considérer une puis repartir sur une autre avec d'autres combinaisons car tu ne sais plus à force de manipulation si tu n'as pas écraser deux fois la même équation et du coup complètement fausser ton raisonnement.

Donc ta méthode fonctionne mais il faut à chaque combinaison que tu te forces à réécrire les deux autres équations que tu gardes et ainsi de suite. Ainsi, lorsque tu mais dans L1 la combinaison de L1 et L2, que gardais-tu pour les deux autres équations formant le système ? Du coup, la suite se fausse car tu réutilises le L1 qui a été écrasé avec un L3 et le tout stocké de nouveau dans le L1. Si c'est le cas, le L2 est totalement inexistant de ta résolution à cette étape là. Il ne reste plus que tes deux combinaisons et le L3 sans doute et encore, je ne suis même pas sûr de ton raisonnement à ce moment là. Il faut donc que tu te forces à écrire à chaque fois ce que tu fais et de préférence en colonne et non en ligne car on visualise mieux les choses:
L1 : {
L2 : {
L3 : {

Bonne continuation!

Effectivement ma méthode est plus compliqué,j'ai refait l'exercice avec la vrai méthode enfin la vrai a 80% mais c'est plus proche de ce que tu a fais:
J'ai tout d'abord inversé les lignes(c'est très util) et j'ai essayé d'avoir un "système en forme de triangle" ce qui donne :
{ x - 3y - z = 1(L1)
{ x + y - 2z = -8(L2)
{ 2x + y - z = 0(L3)

Puis j'ai fais: 2L2-L3: y-3z=-16 j'ai appelé 2L2-L3 "(L4)"
Et L2-L1 : 4y-z=-9 et j'ai appelé L2-L1"(L5)"
Et j'ai essayé de supprimé les y(j'ai déja suprimé les x) donc j'ai écrit:
L5-4L4=L2-L1-4( 2L2-L3 )=-3L2-L1+4L3:-z+12z=-9+64=>11z=55=>z=5 ensuite y-15=-16=>y=-1 et x+3-5=1=>x=3 et ça marche!

Excellent !!!

La méthode du pivot est un peu longue mais elle a l'avantage d'être algorithmique ce qui permet de l'appliquer sur n'importe quel système.

Bonne continuation!