géométrie 3

Bonsoir, on m'a donné exercice de maths,et c'est celui -ci:(o,i,j,k)est un repère orthonormé de l'espace et on me demande de déterminé les coordonnées du projeté orthogonal d'un point A(3,-1,2);dans un repère (o,i,j,k),sur une droite d'équation:
D: x-2y=0 et y+z=0 et moi j'ai essayé de résoudre ce système et ça m'a donné y=-z;x+2z=0;2y=x;-2z=x donc pour moi les solutions sont(x,2y,-2z) donc par conséquent les coordonnées du projeté sont(1*3,2*-1,-2*2)=(3,-2,-4).mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon.

Bonjour,

Je ne comprend pas bien ta démarche.

On cherche un point H(x,y,z) tel que les coordonnées de H vérifie l'équation de D nous sommes d'accord mais il faut aussi que AH.u=0 avec u le vecteur directeur de la droite D sinon, cela ne donnera pas un projeté orthogonal.

Dans R³, il est préférable d'écrire les équations de droites sous forme paramétrique pour visualiser au premier coup d'oeil un vecteur directeur de la droite.

Bon courage!

Bonjour,oui c'est vrai j'ai oublié ça.

Mais je ne maitrise pas bien les représentation paramétrique,mais sinon mais résolution du système D(sans jeux de mot) est-elle bonne?

Pour la forme paramétrique, il s'agit d'un jeux d'écriture à l'aide d'un paramètre qui ne sert à rien mis à part écrire trois égalité au lieu de deux.

En effet, si on prend l'intersection de tes deux plans qui te donne le système d'équation de la droite D:
{x-2y=0
{y+z=0

Et posant, y=t, tu peux tout exprimer en fonction de t par exemple:
{ x = 2t
{ y = t
{ z = -t

Tu visualises du coup au premier coup d'oeil que ta droite passe par l'origine (par de constante dans les égalités) et qu'un vecteur directeur est u(2,1,-1) (les facteurs de t tout simplement).


Pour ce qui est de ton systmèe, j'ai l'impression que tu as utilisé les deux mêmes équations au lieu de garder le système:
{x-2y=0
{y+z=0
<=>
{y=-z
{x+2z=0
<=>
{y=-z
{x=-2z

Or tu écris deux égalités avec x alors qu'il n'y a qu'une égalité qui intervient pour x.

Je te laisse revoir ton exercice à la lueur de cela et n'hésite pas si des choses ne te paraissent pas claires dans ce que j'écris.

Je pense que j'ai mal résolu le système,je pense qu'on peut résoudre ça avec un pivot de gauss mais bon.

Nous savons que la solution est unique vu qu'on cherche les coordonnées d'un point sur une droite.
Du coup, il nous faut trois équations à trois inconnues pour résoudre quelque chose.
Or pour l'instant nous n'avons que deux équations; il en manque donc une troisième qui te sera donné par le produit scalaire tout simplement.

Bon courage!

Ok,je vois

Oui j'ai exprimé deux fois x,c'est bête!

Sinon,pour la représentation paramétrique vous avez exprimé y et fonction de t,mais si on avait exprimé x,ou z en fonction de t,est-ce que on aurai obtenu la même chose?

Bonjour,

Cela n'aurait pas donner la même équation paramétrique en effet. C'est pour cela qu'on parle d'UNE équation paramétrique d'une droite et non de L'équation paramétrique d'une droite car il y en a plusieurs.

En gros, tu peux toujours prendre un vecteur colinéaire au vecteur directeur de la droite sans changer la droite pour autant. Mais cela ne change rien à la résolution du système en soi vu que tout est défini à une constante multiplicative près.

Bonne continuation!

Donc en gros peut importe que j'exprime en fonction de x ou y ou z,je finirai toujours par trouvé les coordonné de H.

C'est tout à fait ça!!

Bonjour,alors pour cet exercice voila ce que j'ai trouvé:
D : {x=2;z=-y;y=y .
Posons un paramètre t tel que y=t donc {x=2t;y=t;z=-t le vecteur directeur u a pour coordonnées u(2,1,-1).
et AH(vecteur AH)*u=0=>(xh-3,yh+1,zh-2)*1(2,1,-1)=0=>2(xh-3)+yh+1-(zh-2)=0=>2xh+yh-zh=3=>2t+t+t=3=>4t=3=>t=3/4(H appartient à D donc xh=x,yh=y,zh=z) donc x=xh=2*3/4=3/2;yh=y=3/4 et zh=z=-3/4. donc H(3/2;3/4;-3/4).

Cependant mon prof à écris dans le corrigé:
{x=2y;y=y;z=-y le vecteur directeur u c'est u(2,1,-1) et on a AH*u=0 ensuite 2xh+yh-zh-3=0 donc H appartient à D donc{ xh=2yh;yh=yh;zh=-yh
d'ou xh=1;yh=1/2 et zh=-1/2 on a aussi 4yh+yh+yh-3=0 donc 6yh -3=0 d'ou yh=1/2 et H(1,1/2,-1/2) .
Bon on voi bien que les coodonnée de H que j'ai trouvé sont égale à 3/2* les coordonnée du H de mon professeur mais bon la façon de rédigé change et je ne sais pas si ce que j'ai fais est vraiment bon.

Il y a une erreur dans tes calculs:

En effet, si on arrive bien à:
2xh + yh - zh = 3

Or H appartient à D, ce qui veut dire qu'il existe t tel que: xh=2t, yh=t et zh=-t ce qui donne:
2*(2t) + t - (-t) = 3

en conclusion: 6t=3 c'est à dire que t=1/2 et non 3/4 ce qui te donnera du coup la même chose que ce que trouvait ton prof.

Après au niveau de la rédaction ce qu'il fait est la chose suivante:
A partir de D, il met mentalement le paramètre sur t pour sortir directement le vecteur directeur de la droite vu qu'il n'y a pas de double liaison entre les variables x,y et z, il est facile de le déduire de tête.
Ensuite, il calcule le produit scalaire de tête ce que je trouve un peu brut mais pourquoi pas après tout.
Enfin, il applique l'appartenance de H à D ce qui donne immédiatement yh=1 puis on déduit tout le reste.
Mais je trouve que la fin de sa rédaction est légèrement bancale de mon point de vue car les liens logiques ne sont pas dans le bonne ordre mais bon à la place des "on a aussi", tu mets des "car" et tout devient juste.

La rédaction du moment que cela te mène à quelque chose de logiquement juste, on ne t'en tiendra pas rigueur.

Bonne continuation!

Ah oui c'est vrai j'ai écris que 2xh=2t or 2xh=4t donc tout change!!
Oui c'est le résultat qui compte,sinon ma démarche était bonne ?

Bonjour,

Je préfère ta démarche à la rédaction de ton prof de mon point de vue. Après si la démarche est juste les résultats sont quasi sûr d'être juste à l'erreur de calcul près.

Bonne continuation!