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 produit scalaire

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tborbi



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MessageSujet: produit scalaire   Lun 4 Nov - 19:00

Bonsoir , j'ai du mal à terminer cet exercice en fait je bloque dans la dernière question
aidez-moi. Merci

OAB un triangle tel que AB=6 , OA=2V3 et AB.AO=18 ( vecteurs )
I le PO de O sur (AB) et C le PO de B sur (AO)
1a-Mq I est le milieu de [AB]
b-donner la nature du triangle ICB
2-Soit D le pt tel que BD=1/3 CA ( vecteurs)
Montrer que (AB) et (CD) sont perpendiculaires ( on note H leur pt d'intersection ) .
3-Soit T l'ensemble des pts M tq 2MC²+4MH²=27
Mq T est le cercle circonscrit au triangle IBD
4-(AD) recoupe T en E . calculer DE
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: produit scalaire   Lun 4 Nov - 22:26

Bonsoir,

J'ai un soucis avec l'énoncé. En effet, je trouve que T est le cercle circonscrit à IBC et non IBD ce qui me semble bizarre mais pourtant impossible de visualiser l'erreur de calcul:

Pour M=C, j'ai 2*CC²+4*CH² = 4*CH²

Or, CH² = CB² - HB² = 3² - (3/2)² = 9 - (9/4) = 27/4

Donc C appartient à T.

Tu trouves bien que IBC est équilatéral ? Et H milieu de [IB] ?
Du coup, j'ai un problème car la droite (AD) ne coupe pas T. Du coup, je pense qu'il y a un bug dans mon raisonnement. Pourrais-tu écrire tes raisonnements pour les premières questions car la question 3) me semble bizarre à froid.

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tborbi



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MessageSujet: Re: produit scalaire   Mar 5 Nov - 16:39

oui je trouve que IBC est équilatéral et H le milieu de [IB]
je vois que c'est le même ensemble ; le cercle circonscrit à IBD est bien le cercle circonscrit à IBC
donc on a 2MC²+4MH²=27
MC²+2MH²=13.5 je pose G le bary (C,1) et (H,2)
MG²+GC²+2MG.GC+2MG²+2GH²+4MG.GH=13.5 ,   4MG.GH+2MG.GC=2MG(GC+2GH)=0 donc

3MG²+GC²+2GH²=13.5
GC=2/3 CH , GH=1/3 CH donc
3MG²+4/9 CH²+2/9 CH² =13.5
3MG²+2/3 CH²=13.5
CH = 3√3/2 DONC
MG=√3

or c'est bien évident que GI=GB=√3 donc I et B appartiennent à notre ensemble
cherchons maintenons GD
puisqu'on a DCB=30° , alors dans le triangle DCB on a
cos30=CB/DC cad CD=6/√3
GC=√3 alors GD=CD-GC=6/√3 - √3 = √3
GD=√3 donc D appartient à notre ensemble

mais comment vous avez trouvé que (AD) ne coupe pas T ? en fait elle le coupe en D et en E !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: produit scalaire   Mar 5 Nov - 18:29

Bonsoir,

En fait, j'avais fait une erreur de calcul xD. Voilà mon raisonnement pour ma part pour montrer que D appartient à T:

2*DC² + 4*DH² devrait être égale à 27

Or, d'après l'énoncé on a: DB²= (1/3)²*AC² et AC²=AB²-CB² = 6² - 3² = 36-9=27
Donc: DB² = (1/9)*27 = 3

De plus, AC et DB sont colinéaires, donc (AC) // (DB)
Or, (AC) perpendiculaire à (BC) (par construction du point C)
Donc CBD est un triangle rectangle en B
D'où: CD² = CB² + BD² = 3² + 3 = 9 + 3 = 12

De plus, (CD) perpendiculaire à (AB) (d'après la question précédente) et le point d'intersection est H
Donc, CHB est rectangle en H
D'où, HD² = DB² - HB²
Or H milieu de [IB], donc HB = (1/2)*IB; Or I milieu de [AB] Donc IB=(1/2)*AB
Donc HD² = 3 - [(1/4)*6]² = 3 - (3/2)² = 3 - 9/4 = (3*4 - 9)/4 = 3/4

Conclusion: 2*12 + 4*(3/4)= 24 + 3 = 27

J'ai fait le même calcul pour I et B (c'est plus directe).
Le fait d'ajouter un barycentre était une bonne idée et bien plus rapide dans la réflexion, c'est clair!

D'ailleurs, du coup, le point G est tel que H est le milieu de [GD] (ce qui donne le fait que IGBD est un parallélogramme). G est aussi le centre de gravité du triangle CIB d'ailleurs (il est au 2/3 de la médiane [CH]) et vu que le triangle est équilatérale c'est aussi le centre du cercle circonscrit ce qui explique pourquoi le point C appartient aussi à T.

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tborbi



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MessageSujet: Re: produit scalaire   Mar 5 Nov - 19:14

c'est bon donc Smile je veux vérifier le calcul de ED :
on a tgDAH=HD/AH
HD=HBtg30=3/2√3
tgDAH=√3/9 alors DAH=11 donc ADH=79
cos79=ED/DC
donc ED=0.65
c'est bon ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: produit scalaire   Mar 5 Nov - 19:58

Tu pourrais être plus rapide:

Dans AHD rectangle en H
Tan(HDA)=AH/HD

Or HDB rectangle en H, donc d'après Pythagore, HD² = DB²-HB² = 3/4 donc HD=(√3)/2
De plus, AH = AI + IH = 3 + 3/2 = 9/2

Donc Tan(HDA)=(9/2)/(√3)/2 = 9/√3 = 3√3
D'où: HDA= Tan-1(3√3)

De plus, dans CDE rectangle en E (si un triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un des côtés du triangle, alors il est rectangle)
On a: Cos(CDE)=DE/CD Donc: DE= Cos(CDE)*CD
Or CDE=HDA et CD=2√3 (via calcul à l'aide de Pythagore dans le triangle CDB rectangle en B)

Donc DE=Cos(HDA)*CD = Cos(Tan-1(3√3))*2√3

Cela évite en fait de passer d'un angle à l'autre surtout que tu ne peux pas écrire d'égalité vu que les angles ne tombe pas juste. Tu trouves donc une valeur exact là et il ne te reste plus qu'à rentrer dans la calculatrice pour avoir une valeur approchée si on le souhaite. Mais ta méthode était juste jusqu'à l'explicitation de l'angle de 11° car là, tu fais déjà un arrondi alors que nous sommes au milieu du calcul et non à la fin.

Bonne continuation!

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tborbi



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MessageSujet: Re: produit scalaire   Mar 5 Nov - 21:41

ok merci Smile c'est clair
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MessageSujet: Re: produit scalaire   Aujourd'hui à 16:35

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