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 une famille de fonctions

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mathou



Féminin Nombre de messages : 5
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MessageSujet: une famille de fonctions   Dim 16 Mar - 11:39

Bonjour, voilà, j'ai un souci pour cet exercice:

Pour tout réel m (m>1), on définit la fonction fm définie sur [0 ; +∞[ par :
fm(x)= (-2*x+m)/(x²-2*x+m)

Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités: 1cm en abscisses, 10cm en ordonnées).

Partie A: Des cas particuliers
1.Dresser le tableau de variations de la fonction fm en fonction de m.
2.Tracer la courbe C2 représentant f2.
3.Faire de même pour la fonction f3 et la courbe C3.

Partie B: Cas général
1.Dresser de façon générale le tableau de variations de fm en fonction de m.
2.On note Cm la courbe représentant la fonction fm. Montrer que toutes les courbes Cm passent par le point (0;1) et y ont la même tangente.
3.Tracer sur le même graphique les courbes C4 et C5.
4.Donner les coordonnées du point Sm correspondant au minimum de fm.
5.Montrer que les points Sm se trouvent sur la courbe Г: y=-1/(x-1) que l'on tracera pour x>1.

J'ai réussi la partie A ainsi que la question 1 de la partie B.
J'ai trouvé (à l'aide de la dérivée) ceci:

fm est croissante sur ]-∞;0] et sur [m;+∞[ et elle est décroissante sur [0;m].
De plus, fm(0)= (-2*0+m)/(0²-2*0+m)=m/m=1
           fm(m)= (-2*m+m)/(m²-2*m+m)= 1/m²

Donc pour la question 2, logiquement, on a déjà montré que toutes les courbes Cm passent par le point (0;1) car A(0;1)∈Cm<=>fm(0)=1. Ensuite, on a une tangente si le nombre dérivé vaut 0 donc, a priori, si:
            fm'(x)=0
<=>  (2x²-2xm)/(x²-2x+m)²=0
non? Le problème, c'est que je n'arrive pas à résoudre cela toute seule...est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il-vous-plaît? Crying or Very sad
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: une famille de fonctions   Dim 16 Mar - 13:34

Bonjour,

Pour l'instant, je n'ai pas refait les calculs et je vais donc accès la réflexion pour te faire avancer à partir de tes difficultés.

En effet, tu as calculer la dérivée mais tu t'es trompé de conclusion. En effet, on n'a jamais dit que la dérivée était nul au point A mais qu'elles avaient toutes la même tangente au point A.
Du coup, il suffit de calcul le coefficient directeur de la tangente en A. Et si ce coefficient directeur est le même pour toutes les courbes, c'est évident qu'elles ont la même tangente car on a déjà montré que Fm(0)=1 et donc, l'ordonnée à l'origine sera la même pour toutes les courbes si le coefficient directeur est le même.

En conclusion, que dois-tu calculer ?

Bon courage!

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mathou



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MessageSujet: Re: une famille de fonctions   Dim 16 Mar - 21:05

Bonsoir,

voilà, je crois qu'on peut utiliser cette formule pour calculer l'équation (et ainsi avoir le coefficient directeur) de la tangente à Cm en A(0;1):

Ta: y= fm'(0)(x-0)+fm(0)=0(x-0)+1=1

est-ce que c'est cela? du coup, on a une tangente horizontale en A.Vu que j'ai pris fm, ça devrait être valable pour toutes les autres courbes de la famille de fonctions, non?
Je ne suis pas très sure de ce que je viens d'écrire alors merci d'avance pour les corrections que vous pourrez apporter.

Bonne soirée!
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mathou



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MessageSujet: erratum!!!   Dim 16 Mar - 21:10

j'ai une correction à apporter à ce que j'ai écrit. J'ai dit que: fm(m)= (-2*m+m)/(m²-2*m+m)= 1/m² ce qui est faux!

J'essaie de me rattraper: fm(m)= (-2*m+m)/(m²-2*m+m)= (-2m+m)/(m²-m)= [m(-2+1)]/[m(m-1)= (-1)/(m-1)

ce qui, accessoirement, répond à la question 5.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: une famille de fonctions   Dim 16 Mar - 22:37

Le raisonnement pour la tangente est excellente. Revenir à la définition est toujours la meilleure solution lorsqu'on est perdu. C'est comme dans la vie lorsqu'on est perdu, on revient à son point de départ et on recommence Wink.

Sinon, l'erreur de calcul a été corrigé en effet.

En revanche, pour que cela donne la réponse à la question 5), il va falloir justifier le fait que les minimum se situe au point d'abscisse m sinon, cela ne te donne pas grand chose. C'est à dire qu'il va falloir répondre à la question 4) d'abord qui te dira justement que les points Sm sont de coordonné (m,-1/(m-1)) ce qui te permettra de conclure que ce point appartient à la courbe dont l'équation est y=g(x) avec g(x)=-1/(x-1).

Bon courage!

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mathou



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MessageSujet: Re: une famille de fonctions   Lun 17 Mar - 11:27

Bonjour,

En fait, c'était déjà fait mais je l'ai pas précisé: en effet, j'avais trouvé que le minimum de fm est atteint pour x=m et que Sm(m;fm(m)) ce qui donne Sm(m; -1/m-1) qui appartient donc à la courbe(voilà ce que j'avais trouvé).
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MessageSujet: Re: une famille de fonctions   Aujourd'hui à 2:21

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