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 probléme sur un exercice sur les dérivés

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nana17



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MessageSujet: probléme sur un exercice sur les dérivés   Sam 23 Fév - 7:54

Vvoila je n'arrive pas du tout à un de mes exercices pour mon DM alors merci de votre aide

On considère la fonction f définie par f(x)=x^3-3*x+1

1) Après avoir donné l'ensemble de définition de la fonction, étudier ses variations sur cet ensemble et donner son tableau de variation

2) Déduire du 1) le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 et donner une valeur approchée par défaut à 10^-2 près de chacune d'elles
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MessageSujet: Re: probléme sur un exercice sur les dérivés   Ven 29 Fév - 23:19

Bonsoir Nana17,

Petits rappels:

L'ensemble de définition d'une fonction et l'ensemble des points qui admettent une image par la fonction f c'est à dire que c'est l'ensemble des x tel que pour tout point x de cette ensemble f(x) existe.

Ce qu'il faut se rappeler est qu'une fonction polynôme est toujours définie sur R.

Ensuite l'étude d'une fonction ce fait en 3 étapes:

Premièrement, on dérive la fonction.
Deuxièmement, on cherche le signe de la dérivée

Et on conclue avec le théorème qui nous dit:

L'ensemble sur lequel la dérivé est positive, la fonction est croissante et l'ensemble sur lequel la dérivé est négative, la fonction est décroissante.

J'espère que ces rappels t'aideront à démarrer cette exercice. N'hésite pas à poser tes questions en tout cas!

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MessageSujet: Re: probléme sur un exercice sur les dérivés   Lun 17 Aoû - 21:53

Bonsoir @toutes et tous!

Il s'agit d'un exercice qui propose une méthode pour trouver l'existence (voire l'unicité) de solution du type f(x)=0 ainsi qu'un encadrement de cette solution avec une précision donnée.

Je rappelle l'exercice:

Citation :
On considère la fonction F définie par F(x)=x3-3*x+1

1) Après avoir donné l'ensemble de définition de la fonction, étudier ses variations sur cet ensemble et donner son tableau de variation

2) Déduire du 1) le nombre de solutions de l'équation F(x)=0 et donner une valeur approchée par défaut à 10-2 près de chacune d'elles.


1)
F est une fonction définie sur R (car il s'agit d'une fonction polynôme tout simplement). De plus, elle est aussi dérivable sur cette intervalle et nous avons sur celui-ci:

F'(x)=3x²-3

Pour effectuer le tableau de variation de cette fonction F, il faut trouver le signe de sa dérivée sur son ensemble de définition. Par conséquent, on cherche le signe de F'(x) pour x dans R.
On a F'(x)=3*(x²-1)
Donc F'(x)=3*(x-1)*(x+1)

En effectuant un tableau de signe sachant que trois est positif, on trouve que F'(x) est négatif ou nul sur [-1;1] et positif ou nul sur ]-∞ ; -1]È[1 ; +∞[

Donc F est croissante sur ]-∞ ; -1] et sur [1 ; +∞[. Et de plus, F est décroissante sur [-1 ; 1]

De plus, dans un tableau de variation, on ajoute les valeurs aux points remarquable. Donc F(-1)=3 et F(1)=-1
Je vous laisse tracer le tableau de variation de F.


2)
La fonction F est strictement croissante jusqu'à -1 où elle vaut 3. Sachant qu'en -2, F vaut F(-2)=-1.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, F(x)=0 admet une unique solution dans [-2 ; -1]

De plus, F est strictement décroissante entre -1 et 1. Et F(-1)=3 et F(1)=-1.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, F(x)=0 admet une unique solution dans [-1 ; 1]

Enfin, F est strictement croissante sur [1 ; +∞[. Et F(1)=-1 et F(2)=3
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, F(x)=0 admet une unique solution dans [1 ; 2]

F est un polynôme de degré 3, il y a donc au maximum trois solutions à l'équation F(x)=0. Par conséquent, nous avons encadré les trois solutions dans des intervalles distinct qui sont [-2;-1], [-1];1 et [1;2].

Les solution arrondis à 10-2 par défaut (c'est à dire par au-dessous) sont:

-1.88
0.34
1.53


Je trouve ses trois résultats en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et en calculant au fur et à mesure dans chacun des intervalles des valeurs de F en des point de plus en plus précis pour arriver à une précision de 10-2. Par exemple, pour la première, je calcule F(-1.8) et F(-1.9) et je trouve qu'ils sont de signe opposé et vu qu'il y a croissance stricte, le théorème des valeurs intermédiaires s'applique pour nous dire que la solution de F(x)=0 est entre [-1.9;-1.8] et ce qui nous donne une précision à 10-1 près et on continue pour avoir une précision à 10-2.

Ceci conclut cette exercice qui est plus technique qu'autre chose surtout sur la fin où il s'agit d'effectuer plusieurs fois le même raisonnement. Mais il faut savoir le faire et l'avoir fait au moins une fois pour savoir comment cela s'enchaîne.

Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas si vous avez des questions!

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