Bonjour @toutes et tous!
Il s'agit ici d'un exercice sur les fonctions où on voit apparaître la notion de parité mais aussi d'étude de fonction et donc de dérivation.
Je vous rappelle l'énoncer et ensuite je vais vous en proposer une correction:
- Citation :
- On définit la fonction F sur R\{0} (c'est à dire pour tout réel différent de zéro) par: pour tout x≠0, F(x)=x²+1/x²
1) Montrer que la courbe C de F est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés.
2) Montrer que pour x≠0, F'(x)=(2(x-1)(x+1)(x²+1))/x3
3) Étudier le sens de variation de F sur ]0 ; +∞[
1)Pour cette question, il faut se souvenir du lien qui existe entre une courbe et la fonction qui la représente. En effet qu'est-ce que cela signifie "une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées" ?
Il s'agit en fait que pour tout point M de coordonnées (x;y) appartenant à la courbe C, le point M' de coordonnées (-x;y) appartient lui aussi à l'a courbe C. En effet, être symétrique par rapport à l'axe des ordonnées signifie que deux point d'abscisse x et -x auront la même ordonnées y.
Maintenant essayons de voir le lien avec la fonction qui est représenté par la courbe C. On sait que pour chaque point de la coure C a pour coordonnées (x;F(x) ) et c'est là qu'on voit le lien entre une fonction F et sa courbe représentative. Pour tracer la courbe C, il faut et il suffit de connaître l'expression de la fonction F car chaque ordonnée de la courbe sera égale à l'image d'une abscisse par la fonction F c'est à dire y=F(x).
Donc pour savoir si notre courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, il nous suffit de savoir si "pour une abscisse x donnée, -x appartient à l'ensemble de définition de F
et si y=F(-x)" c'est à dire de savoir
si notre fonction F est paire c'est à dire:
i) Pour xЄD
F, -xЄD
F (ce qui revient à savoir si l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0)
ii) Pour xЄD
F, F(x)=F(-x)
Ici D
F=
R\{0} qui est bien symétrique par rapport à 0. Il nous reste donc à voir si la deuxième condition est vérifiée:
Soit x≠0,
F(-x)= (-x)² + 1/(-x)²
Donc F(-x)=x² + 1/x² = F(x)
Donc F est bien paire
D'où
La courbe représentative C de F est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées2)Avant de pouvoir dresser le tableau de variation qu'on nous demande à la question 3), il va nous falloir trouver le signe du nombre dérivée F'(x) et par conséquent calculer F'(x). Et c'est ce qu'on nous demande dans cette question.
F est dérivable sur son ensemble de définition car x² n'est jamais nul sur celui-ci. Par conséquent, nous allons pouvoir dériver. Ce qui nous donne:
Pour x≠0, F'(x)=2*x + (-1)*(2*x)/(x²)²
Donc Pour tout x≠0, F'(x)=2x - 2x/x
4Or x≠0, donc on peux simplifier par x ce qui nous donne:
Pour x≠0, F'(x)=2x - 2/x
3Donc Pour tout x≠0, F'(x)= (2x*x
3-2)/x
3 (mise au même dénominateur)
D'où Pour tout x≠0, F'(x)= (2*x
4-2)/x
3Maintenant, soit vous développez l'expression qu'on vous donne dans l'énoncer pour retrouver celle-ci. Soit vous faites comme je vais le faire c'est à dire qu'on factorise cette expression là c'est à dire factoriser le numérateur.
On a: pour tout x≠0, F'(x)=2*(x
4-1)/x
3= 2*[(x²)² - 1²]/x
3Donc pour tout x≠0, F'(x)= 2*(x²-1)*(x²+1)/x
3 (je factorise grâce à la troisième identité remarquable et je constate que je peux encore recommencer sur l'un des facteurs)
Conclusion:
Pour tout x≠0, F'(x)=2*(x-1)*(x+1)*(x²+1)/x33)L'utilité de savoir que notre courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est qu'on peut donc étudier les sens de variation que sur une moitié de l'ensemble de définition car l'autre moitié, ils se déduiront en changeant le sens de variation (ce qui croît décroîtra et inversement).
Il me faut donc juste le signe de F'(x) pour xЄ]0 ; +∞[ et pour cela, il y a le bon vieux tableau de signe.
Pour x>0,
on a:2>0
x-1>0 <=> x>1
x+1>0 car x>0
x²+1>0 (peut importe le signe de x d'ailleurs vu qu'il est élevé au carré)
x
3>0 car x>0 (sinon, si x<0, x
3 serait négatif car 3 est impair)
Donc:
Pour xЄ]0 ; 1], F'(x)<0 (car x-1<0) donc sur ]0 ; 1], F est décroissante
Pour xЄ[1 ; +∞[, F'(x)>0 donc sur [1 ; +∞[, F est croissante
Et par parité, on en déduit que sur [-1 ; 0[, F est croissante et sur ]-∞; -1], F est décroissante.
Conclusion,
Sur ]-∞ ; -1], F est décroissante
Sur [-1 ; 0[, F est croissante
Sur ]0 ; 1], F est décroissante
Sur [1 ; +∞[, F est croissanteCeci conclut cette exercice. Ce qu'il faut retenir c'est l'utilité de connaître des propriétés de la fonction poru en déduire des propriétés sur la courbe mais aussi pour alléger le travail sur la fonction (car si elle est paire ou si elle est impaire, on est pas obligé de faire tout le travail sur les deux parties de l'ensemble de définition dû au symétrie de la courbe justement).
Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions!
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