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 DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)

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darka



Nombre de messages : 220
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Date d'inscription : 13/11/2007

MessageSujet: Re: DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)   Dim 9 Mar - 12:13

Ah oui lol merci beaucoups
J'attends la réponse pour la 1 ?
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Blagu'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5010
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MessageSujet: Re: DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)   Dim 9 Mar - 15:21

Non la 1) est bonne comme tu l'as rédigée car je ne pense pas qu'il puisse te demander la démonstration vu comment est posé l'exercice Very Happy.

Pour la 1)b), je te conseille tout de même de plus mettre un truc du genre:

La racine carré d'un nombre a est l'unique réel positif, b tel que b²=a et on note b= racine(a)

Donc racine(a)=b est positif ou nulle.

Car ta rédaction, peut sous entendre l'existence de la racine poru nu nombre négatif "la racine carré d'un nombre positif est positif" mais il ne peut y avoir de racine carré négative (enfin pour le moment.... Wink).


Bon trêve de bavardage, voici nue démonstration pour montrer que la fonction racine est positive sur R+ si on voulait faire quelque chose de théorique. Enfin théorique c'est vite dit après tout.

Je vais tout de même admettre que pour tout nombre a positif, il existe un b tel que b²=a et on note b=√a

Nous cherchons à montrer que b est positif ou nul pour tout a.

Si a=0, on a 0²=0 donc b=0 ≥ 0.

Supposons maintenant a > 0,

Pour montrer que b est positif, nous allons le construire (ce qui donnera par la même occasion son existence d'ailleurs). La façon de le construire sera géométrique.

Soit AB=1 + a
Je prend un point O tel que AO=1,
Soit C le cercle de diamètre [AB] et D la droite perpendiculaire à [AB] passant par O.
J'appelle H, le point d'intersection entre C et D.
Voici le schéma:


A partir de là, je sais que tout triangle inclus dans un demi-cercle dont l'un des côté est le diamètre du cercle est rectangle. Donc ABH est rectangle en H.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AH² + BH² = AB² => AH² + BH² = (a+1)²

Par construction, on a: (OH) et (AB) qui sont perpendiculaires en O. Donc les triangles AOH et BOH sont rectangles tous les deux en O (car O appartient à [AB], donc A, O et B sont alignés).

Donc d'après le théorème de Pythagore dans AOH rectangle en H, on a: AO² + HO² = AH² => AH² = 1 + HO²

De plus, d'après le théorème de Pythagore dans BOH rectangle en H, on a: BO² + OH² = BH² => BH² = a² + OH² (car BO = AB - AO = 1 + a - 1 = a)

Donc en remplaçant BH et AH dans la première expression, on obtient:

(1 + OH²) + (a² + OH²) = (a+1)²

<=> 1 + OH² + a² + OH² = a² +2a + 1

<=> 1 +2*OH² + a² -(a² + 2a + 1) = 0

<=> 2*OH² + a² + 1 - a² - 2a - 1 = 0

<=> 2*OH² - 2a = 0

<=> OH² = a

Donc d'après la définition de la racine que j'ai donnée au début, on a: OH = √a et ceci pour tout a≥0 !!!!

Or HO est une longueur, donc HO≥0 !!!!

D'où pour tout réel a≥0, il existe un réel b≥0 tel que b=√a.

Donc la racine carré est bien une fonction à valeur positive sur R+.

Voilà, je ne pense pas avoir fait d'erreur dans cette démonstration qui est assez parlante et n'utilise en fait que 2 notions: Pythagore et le fait qu'un triangle inclus dans un demi cercle avec un coté pour diamètre est rectangle.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

_________________


Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 19 Avr - 10:29, édité 2 fois
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darka



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MessageSujet: Re: DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)   Dim 9 Mar - 17:09

Ok lol c'est vrai que c'est pas mal mais assez long je pense :s
Merci beaucoups Wink
Et à bientôt Wink
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MessageSujet: Re: DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)   

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DM- La fonction racine carrée (étude de cette fonction)
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