[1ère S] un exo de la fonction:comportement global

voila je n'arrive pas du tout à un de mes exercice pour mon DM alors merci de votre aide

Soit f(x)=x²+1/x² pour x non =0

1)montrer que la courbe C de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés.
2) montrer que f'(x)=(2(X-1)(x+1)(x²+1))/x3
3)Etudier le sens de variation de f sur ]0;+ infinie[

Bonjour et bienvenue parmi nous Cati,

Alors pour montrer une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, il suffit de montrer que ta fonction est pair. L'explication vient du fait que si ta fonction est pair, alors tu vas avoir F(-x) = F(x) c'est à dire F(0-x) - F(0+x) = 0.

Or une fonction est symétrique par rapport à une droite d'équation y=a si et seulement si F(a-x) - F(a+x) = 0.


Ensuite la dérivé à peut-être une expression un peu barbare lorsqu'on regarde le résultat final mais celà ne signifie pas forcément que ta dérivé aura cette forme tout de suite. En effet, comment par dérivé tranquillement F(x) puis après mets tout sur le même dénominateur. Dès que tu sera dans cette situation, il restera à factoriser le dénominateur à l'aide d'identité remarquable.

Enfin, l'étude de variation repose sur l'étude du signe de F'(x) pour x > 0. En effet, nous avons le théorème suivant:

Sur l'ensemble sur lequel la dérivé est négative, la fonction est décroissante et
Sur l'ensemble sur lequel la dérivé est positive, la fonction est croissante.

Je te conseil bien entendu de prendre la forme factorisé qu'on te propose pour faire cette étude.

Tu remarqueras d'ailleurs que dans un devoir, tu pourrais faire la 3ème question sans pour autant avoir trouver la 2ème question. En effet, il suffit de dire que tu acceptes le fait que F'(x) s'écrive comme on te l'indique dans la question 2, puis après tu étudie son signe.
Cette remarque à l'air anodine en soi, cependant, elle s'avère très utile pour pouvoir continuer un exercice malgré l'absence de résolution d'une question .

Bon courage pour ton exercice et n'hésite pas à poser tes question surtout!

@bientôt au sein du forum!

enfaite j'arrive pas a reouver la derivé!!!!
f(x)=x²+1/x²
f'(x)=2x+1/(x²)² ?????????

En effet, tu ne pourras pas retrouver la forme qu'il te demande avec cette dérivé là.

Petit rappel sur les dérivés:

Si u est une fonction dérivable qui ne s'annule pas, la dérivé de 1/u(x) est -u'(x)/[u(x)]². Dans ton expression u(x)=x².

Je pense que ceci va pouvoir concrétiser ton calcul.

Bonjour @toutes et tous!

Il s'agit ici d'un exercice sur les fonctions où on voit apparaître la notion de parité mais aussi d'étude de fonction et donc de dérivation.

Je vous rappelle l'énoncer et ensuite je vais vous en proposer une correction:

Citation :

On définit la fonction F sur R\{0} (c'est à dire pour tout réel différent de zéro) par: pour tout x≠0, F(x)=x²+1/x²

1) Montrer que la courbe C de F est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés.
2) Montrer que pour x≠0, F'(x)=(2(x-1)(x+1)(x²+1))/x³
3) Étudier le sens de variation de F sur ]0 ; +∞[

1)
Pour cette question, il faut se souvenir du lien qui existe entre une courbe et la fonction qui la représente. En effet qu'est-ce que cela signifie "une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées" ?

Il s'agit en fait que pour tout point M de coordonnées (x;y) appartenant à la courbe C, le point M' de coordonnées (-x;y) appartient lui aussi à l'a courbe C. En effet, être symétrique par rapport à l'axe des ordonnées signifie que deux point d'abscisse x et -x auront la même ordonnées y.

Maintenant essayons de voir le lien avec la fonction qui est représenté par la courbe C. On sait que pour chaque point de la coure C a pour coordonnées (x;F(x) ) et c'est là qu'on voit le lien entre une fonction F et sa courbe représentative. Pour tracer la courbe C, il faut et il suffit de connaître l'expression de la fonction F car chaque ordonnée de la courbe sera égale à l'image d'une abscisse par la fonction F c'est à dire y=F(x).

Donc pour savoir si notre courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, il nous suffit de savoir si "pour une abscisse x donnée, -x appartient à l'ensemble de définition de F et si y=F(-x)" c'est à dire de savoir si notre fonction F est paire c'est à dire:

i) Pour xЄD_F, -xЄD_F (ce qui revient à savoir si l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0)
ii) Pour xЄD_F, F(x)=F(-x)

Ici D_F=R\{0} qui est bien symétrique par rapport à 0. Il nous reste donc à voir si la deuxième condition est vérifiée:
Soit x≠0,
F(-x)= (-x)² + 1/(-x)²
Donc F(-x)=x² + 1/x² = F(x)

Donc F est bien paire
D'où La courbe représentative C de F est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées


2)
Avant de pouvoir dresser le tableau de variation qu'on nous demande à la question 3), il va nous falloir trouver le signe du nombre dérivée F'(x) et par conséquent calculer F'(x). Et c'est ce qu'on nous demande dans cette question.

F est dérivable sur son ensemble de définition car x² n'est jamais nul sur celui-ci. Par conséquent, nous allons pouvoir dériver. Ce qui nous donne:

Pour x≠0, F'(x)=2*x + (-1)*(2*x)/(x²)²
Donc Pour tout x≠0, F'(x)=2x - 2x/x⁴

Or x≠0, donc on peux simplifier par x ce qui nous donne:
Pour x≠0, F'(x)=2x - 2/x³

Donc Pour tout x≠0, F'(x)= (2x*x³-2)/x³ (mise au même dénominateur)
D'où Pour tout x≠0, F'(x)= (2*x⁴-2)/x³

Maintenant, soit vous développez l'expression qu'on vous donne dans l'énoncer pour retrouver celle-ci. Soit vous faites comme je vais le faire c'est à dire qu'on factorise cette expression là c'est à dire factoriser le numérateur.

On a: pour tout x≠0, F'(x)=2*(x⁴-1)/x³= 2*[(x²)² - 1²]/x³
Donc pour tout x≠0, F'(x)= 2*(x²-1)*(x²+1)/x³ (je factorise grâce à la troisième identité remarquable et je constate que je peux encore recommencer sur l'un des facteurs)

Conclusion: Pour tout x≠0, F'(x)=2*(x-1)*(x+1)*(x²+1)/x³

3)
L'utilité de savoir que notre courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est qu'on peut donc étudier les sens de variation que sur une moitié de l'ensemble de définition car l'autre moitié, ils se déduiront en changeant le sens de variation (ce qui croît décroîtra et inversement).
Il me faut donc juste le signe de F'(x) pour xЄ]0 ; +∞[ et pour cela, il y a le bon vieux tableau de signe.
Pour x>0, on a:

2>0
x-1>0 <=> x>1
x+1>0 car x>0
x²+1>0 (peut importe le signe de x d'ailleurs vu qu'il est élevé au carré)
x³>0 car x>0 (sinon, si x<0, x³ serait négatif car 3 est impair)

Donc:
Pour xЄ]0 ; 1], F'(x)<0 (car x-1<0) donc sur ]0 ; 1], F est décroissante
Pour xЄ[1 ; +∞[, F'(x)>0 donc sur [1 ; +∞[, F est croissante

Et par parité, on en déduit que sur [-1 ; 0[, F est croissante et sur ]-∞; -1], F est décroissante.

Conclusion,

Sur ]-∞ ; -1], F est décroissante
Sur [-1 ; 0[, F est croissante
Sur ]0 ; 1], F est décroissante
Sur [1 ; +∞[, F est croissante


Ceci conclut cette exercice. Ce qu'il faut retenir c'est l'utilité de connaître des propriétés de la fonction poru en déduire des propriétés sur la courbe mais aussi pour alléger le travail sur la fonction (car si elle est paire ou si elle est impaire, on est pas obligé de faire tout le travail sur les deux parties de l'ensemble de définition dû au symétrie de la courbe justement).

Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions!

@bientôt au sein du forum!