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 [1ère S] Dérivé et tangente

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MrTheYo



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MessageSujet: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 16:48

Salut!
Me voilà vite de retour car, les dérivés me causent encore un soucis au niveau des tangentes : celles-ci me bloquant dans la fin d'un exercice... Je vais poster tout l'énoncé avec les questions précédentes faites et bonnes (je précise Very Happy)

Enoncé :

Soit la fonction f définie par f(x) = x^3 - 5x + 2

1) Tracer la courbe etc...
2) Calculer f'(x) par la méthode du taux d'accroissement
3) Calculer f'(x) avec des opérations sur les dérivées
4) Déterminer les abscisses où la courbe de f possède une tangente parallèle à l'axe des x.
Illustrer ce résultat sur le dessin.
5) Soit D la droite d'équation y= -3x + 1. Déterminer les abscisses où la courbe de f a une tangente parallèle à D.
6) Déterminer une équation de ces tangentes et les tracer précisément sur le dessin.
7) Déterminer les abscisses où la courbe de f a une tangente perpendiculaire à la droite Delta d'équation y = 1/7x - 4


Donc je trouve que le dérivé de f(x) donc f'(x) = 3x² - 10x mais après, ces histoires de tangentes me donnent le tournis et je ne sais pas comment procéder...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 17:11

Bonsoir,

Cette exercice ressemble beaucoup au précédents avec une approche différente au niveau des tangente en effet Very Happy.

Alors ce qu'il faut savoir sur les tangentes:

Citation :
Le coefficient directeur de la tangente (aussi appelé la pente de la tangente) à une courbe C au point d'abscisse a est égale à la valeur de la dérivé au point d'abscisse a.

Exemple: F la fonction représentée par C, (je suppose que F est dérivable sur R), la pente de la tangente (ou coefficient directeur) au point d'abscisse a est égale à F'(a).

Citation :
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est donnée par y= F'(a)*(x - a) + F(a)

On peut aussi ajouter qu'une tangente n'admet qu'un unique point d'intersection avec la courbe (sinon elle ne serait plus tangente Wink).

Bon tu vas me dire c'est bien beau tout ça et je connais déjà. Je le sais bien mais un rappel n'est jamais dénuer d'objectif. En effet, je veux te montrer l'aspect géométrique d'une tangente: Il s'agit d'une droite qui a une équation qui est déterminé par son coefficient directeur (F'(a) ) et l'image du point de tangence par la fonction (F(a) ).

Donc un rappel en amenant un autre voici ce qui te bloque réellement dans ton exercice:

Rappel sur les relation entre parallélisme, orthogonalité et coefficient directeur:

Citation :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Citation :
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si la multiplication des leur coefficient directeur est égale à -1

Exemple pour la deuxième propriété: la droite d'équation y=,(-2)*x est perpendiculaire à la droite d'équation y=(1/2)*x car (-2)*(1/2) = -1

Toutes mes propriétés sont valable dans un repère (O, I, J) orthonormé (car sinon, le parallélisme et l'orthogonalité ne sont plus forcément valable slors du tracé dans un repère quelconque Very Happy).


Bon maintenant que tout ceci est dit revenons à ton exercice qui va te paraître peut-être plus clair (je l'espère tout du moins).

A la question 4), on cherche les abscisses (c'est à dire les x) telles que la tangente (de coefficient directeur F'(x) ) soit parallèle à l'axe des x (d'équation y=0, donc de coefficient directeurs égale à 0)

Je pense que tu vas comprendre plusieurs choses en même temps. La première étant comment répondre à la question (ce qui sera déjà bien) mais à quoi celà correspond car une dérivé nulle correspond à un ...... ou un ............. pour la courbe C représentatif de F.

Je te laisse assimilé celà pour le moment, en espérant que ces explications débloqueront tes calculs.

Bon courage!

ps: ta fonction F est définie par F(x) = x^3 - 5*x² + 2 et non ce que tu as mis, je pense car sinon ta dérivée s'avère fausse Wink.

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 22 Mar - 13:21, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 17:34

Citation :
ps: ta fonction F est définie par F(x) = x^3 - 5*x² + 2 et non ce que tu as mis, je pense car sinon ta dérivée s'avère fausse

Oui, c'est bien cela...


Citation :
Le coefficient directeur de la tangente (aussi appelé la pente de la tangente) à une courbe C au point d'abscisse a est égale à la valeur de la dérivé au point d'abscisse a.


Cela signifie donc que la pente est égale à 6x²-10x

On a donc la tangente de f(x) qui au point d'abscisse 1 vaut 6x²-10x

L'équation de la tangente au point d'abscisse a est donnée par y= F'(a)*(x - a) + F(a)

Citation :
Il s'agit d'une droite qui a une équation qui est déterminé par son coefficient directeur (F'(a) ) et l'image du point de tangence par la fonction (F(a) ).


-----------------------------------------


Citation :

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur



Deux droites sont perpendiculaires si et seulement la multiplication du coefficient directeur de l'une par l'inverse de coefficient directeur de l'autre est égale à -1


J'ai renoté ce qui me semblait le plus important histoire de ne pas l'oublier pour la suite de l'exo...


4) On cherche donc les x telle que la tangente (de coeff. directeur 6x²-10x) soit parallèle à l'axe des x (abscisses) soit une droite de coeff.directeur y=0


Citation :
y= F'(a)*(x - a) + F(a)


On a donc :
0 = F'(a)*(x - a) + F(a)
avec f(a) = ici f(x) = 3a^3 - 5a² + 2
et f'(a) = 6a²-10a


soit :
0 = (6a²-10a)(x-a)+(3a^3+5a²+2)
0 = 6a²x - 6a^3 - 10ax + 10a² + 3a^3 + 5a² + 2
0 = -3a^3 + 15a² + 6a²x - 10ax + 2


ou :
0 = a(-3a² + 15a + 6ax -10x) + 2


Cela signifierait donc que les abscisses où f possède une tangente parralèlle à l'axe des abscisses sont égaux à (-3a² + 15a + 6ax -10x) + 2 ??
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 17:42

Ha non, ça marche pas comme ça Very Happy.

Citation :
On a donc la tangente de f(x) qui au point d'abscisse 1 vaut 6x²-10x

Au point d'abscisse 1, le coefficient de la tangente vaut 6*(1)² - 10*1 = -4 pour cette exemple.

Après, tu remarques celà:

Citation :
On cherche donc les x telle que la tangente (de coeff. directeur 6x²-10x) soit parallèle à l'axe des x (abscisses) soit une droite de coeff.directeur y=0

Mais le théorème qu'il faut appliquer est le suivant après:

Citation :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Or toi, tu as pris carrément l'équation de la droite. Deux droites parallèles n'ont pas forcément la même équation mais elles ont le même coefficient directeur.

Et là tu auras le bon calcul Very Happy.

ps:
Citation :
A la question 4), on cherche les abscisses (c'est à dire les x) telles que la tangente (de coefficient directeur F'(x) ) soit parallèle à l'axe des x (d'équation y=0, donc de coefficient directeurs égale à 0)

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 17:53

En x = 1 on a donc y = -4

Il faut qu'elles aient le même coefficient directeur donc -4 si j'ai bien compris.

Je dois me servir de la formule et remplacer y par -4?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 18:08

Alors on reprend, ce que je donnais dans mes rappels étaient totalement en dehors de ton exercice. Le y=-4 est le résultat à partir de mon exemple vu que je prenais la dérivé au point 1.

En fait toi tu dois faire l'égalité entre les deux coefficients directeurs des deux droites qui te concernent:

Citation :
A la question 4), on cherche les abscisses (c'est à dire les x) telles que la tangente (de coefficient directeur F'(x) ) soit parallèle à l'axe des x (d'équation y=0, donc de coefficient directeurs égale à 0)

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 18:31

Blagu'cuicui a écrit:

Citation :
A la question 4), on cherche les abscisses (c'est à dire les x) telles que la tangente (de coefficient directeur F'(x) ) soit parallèle à l'axe des x (d'équation y=0, donc de coefficient directeurs égale à 0)

ben quand jvois ça je repars sur la formule donc mais, je dois trouver y de notre fonction f.
f'(x) = 6x²-10x je dois trouver son coefficient directeur?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 20:06

Mais non F'(x) est le coefficient directeur de la tangente (reprend mon premier post).

ET ce coefficient doit être égale au coefficient directeur de l'axe des x.

Or l'axe des x (ou l'axe des abscisses) a poru équation y=0 c'est à dire y=0*x + 0. Doncl e coefficient directeur de l'axe des x est 0.

Suis-je plus clair?

Reprend à tête reprosée mon premier post sur les rappels en oubliant dans un premier temps ton exercice pour t'imprénier des propriétés. après reprend ton exo avec ce post-si.

C'est un peu dure à comprendre dans un premier temps mais dès que c'est compris 'est que du bonheur avec les tangentes car c'est toujours la même chose quasiment Very Happy.

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 20:20

Bon je vais jeter un oeil là dessus ce soir et, je te dirais quoi demain. Là jdois y aller donc bonne soirée Very Happy et merci pour les rappels sur les tangentes.
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Lun 17 Mar - 20:24

Pas de problème Very Happy.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 17:52

Salut!
Je récapitule tout ce qu'on a pour la 4)

f'(x) est le coefficient directeur de la tangente que nous cherchons et, il doit être égal au coefficient directeur de l'axe des x.
Cet axe des abscisses (ou des x) ayant pour équation y=0 donc un coeffcieint directeur nul ou : y=0x+0

Il faut donc que le coeff. directeur y=0 soit égal à f'(x) soit : 3x²-10x
Il faudrait donc trouver pour quelle valeur f'(x) = y
3*0²-10-0 = 0 = y

f'(0) correspond donc à ce que nous cherchons?

C'est cela?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 18:03

Non ce n'est pas ça du tout.

Citation :
f'(x) est le coefficient directeur de la tangente que nous cherchons et, il doit être égal au coefficient directeur de l'axe des x.
Cet axe des abscisses (ou des x) ayant pour équation y=0 donc un coefficient directeur nul ou : y=0*x + 0

Le coefficient de l'axe des abscisse ce n'est pas y=0 c'est 0 tout simplement.

Rappel:

Citation :
Le coefficient directeur d'une droite d'équation y=a*x + b est a

Et ici l'équation de l'axe des abscisses c'est y = 0*x + 0 et le coefficient directeur d'une tangente c'est la dérivée F'(x).

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 18:16

Citation :
Le coefficient de l'axe des abscisse ce n'est pas y=0 c'est 0 tout simplement

Citation :
Et ici l'équation de l'axe des abscisses c'est y = 0*x + 0 et le coefficient directeur d'une tangente c'est la dérivée F'(x).

On a donc un coefficient directeur pour la tangente de 6x²-10x?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 18:23

Le coefficient directeur d'une tangente au point d'abscisse x est bien F'(x)= 6x² +10x.

Nous, on cherche les tangentes qui sont parallèles à l'axe des abscisses, donc dont le coefficient directeur est égale à celui de la droite y = 0*x +0.

Pour faire simple, les questions à se poser ici sont:

1) Quel est le lien entre deux droites parallèles => elles ont le même coefficient directeur

2) Quel est le coefficient directeur d'une tangente en un point d'abscisse x de la coubre => il s'agit de F'(x)

3) Quelle est l'équation de l'axe des abscisse => y=0 c'est à dire y = 0*x + 0

4) Quel est le coefficient de l'axe des abscisses => 0

5) Faire l'égalité entre les deux coefficients directeurs

6) Conclure en résolvant l'équation poru trouver l'ensemble chercher Very Happy.

En espérant que celà soit plus clair maintenant.

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 18:43

Je récapitule :

2 droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur d'une tangente en un point d'abscisse x étant la dérivée de la fonction, la tangente que nous cherchons à donc un coefficient directeur égal à 3x²-10x.
L'équation de l'axe des abscisses est égal à 0 soit : y= 0x + 0

Je dois faire l'égalité des coefficients directeurs :

3x²-10x = 0x + 0 = 0
3x² = 10x
x² = 10x/3
x= Racine(10/3)

On cherche un ensemble mais, je ne trouve qu'un point... Cela voudrait dire qu'il n'y a pas d'ensemble mais juste un point précis?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 19:41

Alors pour première ligne il faut mieux écrire F'(x)=0 car c'est celà la mise ne équation de ce qu'on cherche F'(x)=0*x + 0 n'a pas réellement de sens car une pente n'est pas égale à une équation de droite.

Sinon, il n'y a pas d'ensemble en effet mais il y a deux point par contre et non un. Rappel, x²=a <=> x = + ou - racine(a)

Alors est-ce que trouver deux points au lieu d'un ensemble n'est pas cohérent tout compte fait?

En effet que signifie vérifier l'équation F'(x) = 0 ? Il s'agit en fait des abscisses des points où la dérivée s'annule. Celà veut dire que la tangente est horizontale et donc la fonction admet un minimum ou un maximum en ces points là.

Si nous avions trouver un ensemble tout entier, celà aurait donc signifié que la fonction était constante sur l'ensemble en question. Or nous avons une fonction polynôme du troisième degré qui n'est constante sur aucun ensemble. Elle admet donc des solutions ponctuelles à l'équation F'(x)=0 et en l'occurence, il y en a deux.

Voilà l'explication géométrique d'un tel calcul.

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 19:55

F'(x)=0

3x²-10x = 0x + 0 = 0
3x² = 10x
x² = 10x/3
x= Racine(10/3) ou x = -Racine(10/3)

La courbe de f possède donc une courbe parallèle à l'axe des abscisses sur l'intervalle :
]-Racine(10/3) ; Racine(10/3)[


Normalement c'est bon. J'ai saisi le raisonnement en tout cas les grandes lignes et la méthode Very Happy .

Pour la question 5), c'est enfantin : il suffit juste de faire la m^me chose en remplaçant le =0 par = -3x + 1

C'est bien cela?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 19:59

Heu, la méthode n'est pas encore clair mais c'est presque celà Very Happy.

En effet, il n'y a pas d'intervalle mais juste deux points tout simplement celà veut juste dire que la fonction admet un minimum ou un maximum en ces deux point vu que la tangente à la courbe est horizontale Very Happy.

Je ne confirme pas tes dires pour la 5) tout compte fait. En effet, tu confonds toujours équatino de droite et coefficient directeur de la droite.

Quel est le coefficient de la droite y=-3x +1 ??

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 20:09

On a donc un minimum ou un maximum entre les 2 points trouvés.
En fait, la tangente se trouve sur ]-INFINI ; +INFINI[ mais, avec y = 1er résultat ou y = second résultat?


Le coefficient de la droite y=-3x+1 est -3x
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 20:32

Alors tu trouves deux points vérifiants F'(x)=0 celà signifie que tu as deux tengantes horizontales tout simplement l'une à ton premier point et l'autreà ton deuxième point.

Et c'est en s'est deux abscisses là que la fonction admet un minimum ou un maximum. Si tu traces ta fonction sur ta calculatrice tu vas constater qu'il y a deux points remarquables sur ta courbe qui sont un manimum et un maximum (lun au point d'abscisse le premier point que tu trouve et l'autre au deuxième).

Sinon poru le coefficient directeur, ce n'est pas celà:

Citation :
Le coefficient directeur d'une droite d'équation y=a*x + b est a

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 20:36

Ok pour l'explication Very Happy

Le coefficient directeur est donc -3.

Je vais mettre ça au propre et réfléchir au reste.
Merci encore et à demain Very Happy
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mar 18 Mar - 20:43

Le coefficient est bien -3 Very Happy. Tu vas donc résoudre l'équation F'(x)=-3 cette fois-ci.

T'inquiète pas, ça va rentrer avec le temps, suffit juste de s'entraîner un peu mais surtout de comprendre ce qu'on fait. Alors n'hésite surtout pas à poser d'autre questions pour mieux comprendre, il n'y a pas de soucis pour nous, nous sommes là pour ça Wink.

Bon courage en tout cas et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mer 19 Mar - 13:32

Salut!
Je vais récapituler la question 4) histoire de bien comprendre :

F'(x)=0

3x²-10x = 0x + 0 = 0
3x² = 10x
x² = 10x/3
x= Racine(10/3) ou

On a donc 2 tangentes horizontales et donc parallèles à l'axe des abscisses : la première à x = -Racine(10/3) et la seconde à x = Racine(10/3)

5) y= -3x + 1

f'(x) = -3
3x²-10x = -3
3x² = 10x -3
x² = (10x-3)/3
x = Racine carrée (10x-3)/3 ou -Racine carrée (10x-3)/3

On a donc ici aussi 2 tangentes parallèles ici à f : la première en x = Racine carrée (10x-3)/3
et la seconde en x = Racine carrée (10x-3)/3

C'est bien cela?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mer 19 Mar - 16:38

Bonjour,

Je ne devais pas être très bien réveillé hier soir car je n'ai pas vu l'énorme erreur que tu avais fait:

Citation :
x² = 10x/3
=> x= Racine(10/3) ????

Je ne sais vraiment pas comme j'ai pu passer à côté et je m'en excuse.

Toute la démarche est bonne (mis à part qu'il ne faut pas écrire 3x²-10x = 0x + 0 = 0 mais 3x² -10x = 0 le 0x + 0 n'est là que pour t'expliquer pourquoi le coefficient directeur de l'axe des abscisse était 0).


Par contre niveau résolution d'équation du second degré, je pense que tu vas reprendre tes calculs et voir l'erreur monumentale que tu m'as faite là Wink.

En même temps tu pourras faire un rappel sur la démarche de la résolution d'une équation du second degré car il ne faut absolument plus que tu fasse des erreur comme celà (le plus compliquer n'est pas la résolution, c'est la mise en place du problème car des résolutions d'équation tu en connais à revendre Wink).

Je te laisse donc résoudre les deux équations que tu as en reprenant les calculs calmement car ça tu sais très bien le faire ce genre de résolution Smile.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   Mer 19 Mar - 18:00

J'ai oublié le x il me semble... Je remets tout n effaçant ce qui cloche :

4) F'(x)=0

3x²-10x = 0
3x² = 10x
x² = 10x/3
x= Racine(10x/3) ou -Racine(10x/3)

On a donc 2 tangentes horizontales et donc parallèles à l'axe des abscisses : la première à x = -Racine(10x/3) et la seconde à x = Racine(10x/3)


La résolution n'est pas bonne... Je dois utiliser la résolution d'équation style "polynome"?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Dérivé et tangente   

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[1ère S] Dérivé et tangente
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