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 Calculs fonctions (Dérivées)

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MrTheYo



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MessageSujet: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 16:25

Salut!
Suite à ma question sur un précédent post, je poste ( Razz ) un exercice parlant d'ensembles en général :

PARTIE 1

1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes après avoir précisé l'ensemble de définitions E et l'ensemble de dérivabilité E' :

f(x) = Racine(1/3x)
g(x) = 3/4xRacine(1-x)
h(x) = (3-5x)/(2x+3)

------------------------------


f(x) = Racine(1-3x)


Ensemble de définition :
On a ici une racine carrée : celle-ci ne pouvant être négative on a donc :

1-3x >= 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x >= -1
x <= 1/3


x doit donc être compris entre ]-INFINI ; 1/3]

Ensemble de dérivabilité :
Ici, notre ensemble de définition est ]-INFINI ; 1/3] donc, l'ensemble de dérivabilité est logiquement le même (étant sur R) mais, avec 0 exclu, le dénominateur d'une fraction ne pouvant être nul donc : ]-INFINI ; 1/3[
f(x) = Racine(1-3x) ; Racine(u) --> u'/(2Racine(u)).
u'(x ) = -3*(x)' + (1)' = -3

donc : f'(x) = -3/2Racine(1-3x)




g(x) = 3/4xRacine(1-x)


Ensemble de définition : On a ici aussi une raciné carrée donc, il ne faut pas que x soit négatif sinon, le calcul est tout bonnement impossible. Comme ci-dessus, je vais calculer la limite à ne pas dépasser soit, la valeur de x pour avoir une racine de 0 (donc égale à 0) :

1-x <= 0
-x <= -1
x <= 1



x appartient donc à l'intervalle ]-INFINI ; 1]

Ensemble de dérivabilité :
A la base sur R, il doit être dans notre ensemble de définition donc, l'ensemble de dérivation est égal à l'ensemble de définition soit : ]-INFINI ; 1] mais, ici aussi on a une fraction en dérivée donc, avec un dénominateur qui ne peut être égal à 0 ou, en tout cas, qui ne doit pas l'être donc l'ensemble de dérivabilité est : ]-INFINI ; 1[

g(x) = u*v avec u = 3/4x et v = Racine(1-x)

g'(x) = (u*v)' donc : g'(x) = u'*v+u*v'.

u'(x) = 3/4 et v'(x) = 1/2(Racine(1-x))

--> g'(x) = 3/4 *(Racine(1-x)) + (3/4x)*1/2Racine(1-x)
--> g'(x) = 3/4Racine(1-x) +3/8xRacine(1-x)



h(x) = (3-5x)/(2x+3)





Ensemble de définition : Il ne faut pas que le dénominateur d'une fraction soit égal à 0 sinon, la fraction est tout simplement impossible à calculer :

2x+3 ≠ 0
2x ≠ -3
x ≠ -3/2

x doit donc être différent de -3/2 donc : x appartient à ]-INFINI ; -3/2[U]-3/2 ; + INFINI[


Ensemble de dérivabilité :
Ici, on a h'(x) = (u'v - uv') / v² donc : (2x+3)²
Un carré est toujours positif donc, dérivable sur R. Il faut que E' soit compris dans l'ensemble de définition donc : E' = E = ]-INFINI ; -3/2[ u ]-3/2 ; + INFINI[

h(x) = (3-5x)/(2x+3) = u(x) / v(x)
h'(x) = (u'v - uv') / v²

u' = -5
v' = 2

h'(x) = [-5(2x-3) - [(3-5x) * 2]] / ((2x-3)²
h'(x) = -10x +15 - [6-10x] / (2x-3)²
h'(x) = 0x + 9 / (2x-3)²



PARTIE 2 :

Déterminer ici une équation de la tangente à la courbe C d'équation y = f(x) en son point d'abscisse a dans les cas suivants :

f(x) = Racine(4-x) en a = -5

t(x) = f'(a)(x-a) + f(a).

f(a) = Racine(4--5) = Racine (9) = 3

f(x) =Racine(u(x)) --> Racine(u(x))'=u'(x)/(2(Racine(u(x))
u(x) = 4-x --> u'(x) = -1
donc : f'(x) = -1 / (2 Racine(4-x))

f'(a) = -1/2Racine(4--5) = -1/6

t = -1/6 (x-(-5)) + 3 = -1/6x -5/6 + 3
t= -1/6x +13/6

Et voilà pour le 1er.



f(x) = Racine(4-x) en a = -5

t(x) = f'(a)(x-a) + f(a).

f(a) = Racine(4--5) = Racine (9) = 3

f(x) =Racine(u(x)) --> Racine(u(x))'=u'(x)/(2(Racine(u(x))
u(x) = 4-x --> u'(x) = -1
donc : f'(x) = -1 / (2 Racine(4-x))

f'(a) = -1/2Racine(4--5) = -1/6

t = -1/6 (x-(-5)) + 3 = -1/6x -5/6 + 3
t= -1/6x +13/6

Et voilà pour le 1er.

--------------


g(x) = 3/(2x+5) en a=2


t(x) = g'(a)(x-a) + g(a).


g(x) = 3/(2x+5) = u(x) / v(x)
g'(x) = (u'v - uv') / v²

u'(x) = (3)' = 0
v'(x) = 2*(x)' + (5)' = 2
g'(x) = -6/(2x+5)²

g(a)=g(2) = 3/2*2 + 5 = 3/9 = 1/3
g'(a) = g'(2) = -6/((2*2)+5)² = -6/9² = -6/81


t(x) = g'(a)(x-a) + g(a)
t(x) = -6/81 (x - 2) + 1/3
t(x) = -6/81x + 12/81 + 1/3
t(x) = -6/81x + 39/81


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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:06

Salut,
je commence par la première équation :

f(x) = Racine(1-3x)
Vérifie il doit y avoir une erreur de recopie tu as écrit 1/3x au lieu de 1-3x.
Tu sais que 1-3x doit être positif ou nulle, effectue donc ton calcul avec une inégalité et pas une égalité, pour éviter de te tromper, l'ensemble de définition est [-∞;1/3].
Ensuite l'ensemble de dérivabilité, n'oublie pas qu'il doit être inclus dans l'ensemble de définition, ça ne peut donc pas être R.
Pour la dérivé tu as oublié d'utiliser la formule pour dérivé une fonction composée. pour rappel la dérivé de racine(u)=u'/(2racine(u)).
Par contre, la méthode est bonne pour cette exercice, t'es explication sont claires.
On va commencé par mettre cette première équation au point, on verra le reste après.
bonne chance

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:09

Oui, c'est vrai désolé pour cette faute de frappe.
Je corrige sur le premier post et ici :


Citation :

Ensemble de définition : On a ici une racine carrée : celle-ci ne pouvant être négative on a donc :

1-3x <ou égal 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x <ou égal -1
x <ou égal 1/3


x doit donc être compris entre ]-INFINI ; 1/3]


-------------


Cuicui Masqué a écrit:
Ensuite l'ensemble de dérivabilité, n'oublie pas qu'il doit être inclus dans l'ensemble de définition, ça ne peut donc pas être R.

Ici, notre ensemble de définition est ]-INFINI ; 1/3] donc, l'ensemble de dérivabilité est logiquement le même.


-------------



Cuicui Masqué a écrit:
Pour la dérivé tu as oublié d'utiliser la formule pour dérivé une fonction composée. pour rappel la dérivé de racine(u)=u'/(2racine(u)).

La dérivé de Racine(u) n'est pas égale à 1/2Racine(u)?
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:17

tu as corrigé pour trouver le bon résultat mais sans vraiment réfléchir, je pense.
Citation :
1-3x <ou égal 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x <ou égal -1
x <ou égal 1/3
l'équation de départ est 1-3x >= 0
et n'oublie pas que lorsque que tu multiplie une inéquation par un nombre négatif le sens de l'inéquation change.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:23

C'est pour ça que j'aime pas les inéquations Razz .
Normalement c'est corrigé Very Happy.
Citation :


f(x) = Racine(1-3x)


Ensemble de définition : On a ici une racine carrée : celle-ci ne pouvant être négative on a donc :

1-3x >= 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x >= -1
x <= 1/3


x doit donc être compris entre ]-INFINI ; 1/3]

Ensemble de dérivabilité : Ici, notre ensemble de définition est ]-INFINI ; 1/3] donc, l'ensemble de dérivabilité est logiquement le même (étant sur R).

f(x) = Racine(1-3x) --> f'(x) = 1/(2Racine1-3x)
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:36

c'est ca il ne te reste plus qu'a corriger la dérivé.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 17:44

Citation :

f(x) = Racine(1-3x)


Ensemble de définition : On a ici une racine carrée : celle-ci ne pouvant être négative on a donc :

1-3x >= 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x >= -1
x <= 1/3


x doit donc être compris entre ]-INFINI ; 1/3]

Ensemble de dérivabilité : Ici, notre ensemble de définition est ]-INFINI ; 1/3] donc, l'ensemble de dérivabilité est logiquement le même (étant sur R).

f(x) = Racine(1-3x) ; Racine(u) --> u'/(2Racine(u)).
u'(x ) = -3*(x)' + (1)' = -3

donc : f'(x) = -3/2Racine(1-3x)



Voilà le tout retouché Smile
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 18:03

Oki on passe à la seconde équation:
g(x) = 3/4xRacine(1-x)

l'ensemble de définition est bon.
l'ensemble de dérivabilité, même erreur que pour la première équation.
la dérivé est fausse, rappel (u*v)'=u'*v+u*v'.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 18:12

Citation :
g(x) = 3/4xRacine(1-x)


Ensemble de définition : On a ici aussi une raciné carrée donc, il ne faut pas que x soit négatif sinon, le calcul est tout bonnement impossible. Comme ci-dessus, je vais calculer la limite à ne pas dépasser soit, la valeur de x pour avoir une racine de 0 (donc égale à 0) :

1-x <= 0
-x <= -1
x <= 1



x appartient donc à l'intervalle ]-INFINI ; 1]

Ensemble de dérivabilité :
A la base sur R, il doit être dans notre ensemble de définition donc, l'ensemble de dérivation est égal à l'ensemble de définition soit : ]-INFINI ; 1].

g(x) = u*v avec u = 3/4x et v = Racine(1-x)

g'(x) = (u*v)' donc : g'(x) = u'*v+u*v'.

u'(x) = 3/4 et v'(x) = 1/2(Racine(1-x))

--> g'(x) = 3/4 *(Racine(1-x)) + (3/4x)*Racine(1-x)
--> g'(x) = 3/4Racine(1-x) +3/4xRacine(1-x)


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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 18:42

il y a une erreur sur v', c'est une racine donc pas triviale à dériver
Pour l'ensemble de dérivabilité il un détails à changer, et c'est valable aussi pour la première équation, désolé j'avais pas vu. si tu regarde l'équation dérivée, tu remarque qu'on à une racine au dénominateur dans les deux cas, qui ne peut donc pas être nulle, cela exclu à chaque fois une valeur.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 18:56

Ok j'ai compris Very Happy . Merci de la précision (qui m'a éclairé en plus sur les derniers points troubles que j'avais sur l'ensemble de dérivabilité. Comme d'habitude j'ai modifié le post "en tête" et, je poste la modif. ici :

Citation :

f(x) = Racine(1-3x)
[/center]

Ensemble de définition :
On a ici une racine carrée : celle-ci ne pouvant être négative on a donc :

1-3x >= 0 ici, 0 est "la limite" autorisé en dernier recours sinon, le calcul est impossible.
-3x >= -1
x <= 1/3


x doit donc être compris entre ]-INFINI ; 1/3]

Ensemble de dérivabilité :
Ici, notre ensemble de définition est ]-INFINI ; 1/3] donc, l'ensemble de dérivabilité est logiquement le même (étant sur R) mais, avec 0 exclu, le dénominateur d'une fraction ne pouvant être nul donc :
]-INFINI ; 0 [U]0 ; 1/3[ .

f(x) = Racine(1-3x) ; Racine(u) --> u'/(2Racine(u)).
u'(x ) = -3*(x)' + (1)' = -3

donc : f'(x) = -3/2Racine(1-3x)




g(x) = 3/4xRacine(1-x)


Ensemble de définition : On a ici aussi une raciné carrée donc, il ne faut pas que x soit négatif sinon, le calcul est tout bonnement impossible. Comme ci-dessus, je vais calculer la limite à ne pas dépasser soit, la valeur de x pour avoir une racine de 0 (donc égale à 0) :

1-x <= 0
-x <= -1
x <= 1



x appartient donc à l'intervalle ]-INFINI ; 1]

Ensemble de dérivabilité :
A la base sur R, il doit être dans notre ensemble de définition donc, l'ensemble de dérivation est égal à l'ensemble de définition soit : ]-INFINI ; 1] mais, ici aussi on a une fraction en dérivée donc, avec un dénominateur qui ne peut être égal à 0 ou, en tout cas, qui ne doit pas l'être donc l'ensemble de dérivabilité est :
]-INFINI ; 0[U] 0 ; 1]

g(x) = u*v avec u = 3/4x et v = Racine(1-x)

g'(x) = (u*v)' donc : g'(x) = u'*v+u*v'.

u'(x) = 3/4 et v'(x) = 1/2(Racine(1-x))

--> g'(x) = 3/4 *(Racine(1-x)) + (3/4x)*Racine(1-x)
--> g'(x) = 3/4Racine(1-x) +3/4xRacine(1-x)
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 19:32

ici ce n'est pas 0 qui est exclu, regarde mieux.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 19:34

C'est vrai : pour le g, c'est 1 qui est exclu. Very Happy
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 19:51

corrige aussi pour f.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 20:02

]-INFINI ; 0 [U]0 ; 1/3[ pour f
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 20:49

Je vais te faire un petit rappel sur la fonction racine carrée, elle est définie sur [0;+infini] et est dérivable sur ]0;+infini].
Dans ton cas la fonction racine carrée est composée avec une fonction affine, tu doit donc trouver le x qui annule cette fonction affine pour en déduire l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité, dans le cas de f c'est 1/3, c'est donc 1/3 qui est exclus et non 0.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Sam 22 Mar - 20:54

On a donc E' pour f = ]-INFINI ; 1/3[
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 17:24

On passe à la troisième équation.
corrige de la même manière que pour les précédentes l'ensemble de dérivation.
Sinon le reste est bon, mis à part la dernière ligne de ton calcul de la dérivée, regarde bien les x.
bonne chance

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 17:47

à un petit truc dans le calcul de la dérivé de g, v' est bon mais après en le remettant dans l'expression entière tu as fait une erreur.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 19:19

Re!
Je reviens à g et au calcul de la dérivée :

g(x) = 3/4xRacine(1-x)

g(x) = u*v avec u = 3/4x et v = Racine(1-x)

g'(x) = (u*v)' donc : g'(x) = u'*v+u*v'.

u'(x) = 3/4 et v'(x) = 1/2(Racine(1-x))

--> g'(x) = 3/4 *(Racine(1-x)) + (3/4x)*1/2Racine(1-x)
--> g'(x) = 3/4Racine(1-x) +3/8xRacine(1-x)

L'erreur venait d'un oubli. Bien vu Very Happy !



h(x) = (3-5x)/(2x+3)


Ensemble de définition : Il ne faut pas que le dénominateur d'une fraction soit égal à 0 sinon, la fraction est tout simplement impossible à calculer :

2x+3 ≠ 0
2x ≠ -3
x ≠ -3/2

x doit donc être différent de -3/2 donc : x appartient à ]-INFINI ; -3/2[ u ]-3/2 ; + INFINI[

Ici, j'avais fait une erreur de signe en recopiant.


Ensemble de dérivabilité : Ici, on a une fraction donc, il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0 mais, il faut qu'il soit compris dans l'ensemble de définition donc : E' = ]-INFINI ; -3/2-3/2 ; 0[U]0 ; + INFINI[

[u]Normalement, c'est bon.


h(x) = (3-5x)/(2x+3) = u(x) / v(x)
h'(x) = (u'v - uv') / v²

u' = -5
v' = 2

h'(x) = [-5(2x-3) - [(3-5x) * 2]] / ((2x-3)²
h'(x) = -10x +15 - [6-10x] / (2x-3)²
h'(x) = 0x + 9 / (2x-3)²

Ici, il n'y a plus de x.


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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 19:29

tu refais encore une fois la même erreur sur l'ensemble de dérivabilité, tu l'as déjà fait 3 fois, je pense donc que tu n'as pas compris quelque chose. ce sont les valeur de x valable qui nous intéresse, ce n'est donc pas à chaque fois 0 qui doit être exclu, tout dépend de la forme du dénominateur, il faut réfléchir un petit peu plus.
sinon bonne correction sur le reste.

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 19:36

Cuicui Masqué a écrit:
tu refais encore une fois la même erreur sur l'ensemble de dérivabilité, tu l'as déjà fait 3 fois, je pense donc que tu n'as pas compris quelque chose. ce sont les valeur de x valable qui nous intéresse, ce n'est donc pas à chaque fois 0 qui doit être exclu, tout dépend de la forme du dénominateur, il faut réfléchir un petit peu plus.
sinon bonne correction sur le reste.

Ici, on a h'(x) = (u'v - uv') / v² donc : (2x+3)²
Un carré est toujours positif donc, dérivable sur R. Il faut que E' soit compris dans l'ensemble de définition donc : E' = E = ]-INFINI ; -3/2[ u ]-3/2 ; + INFINI[
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 19:48

On passe à la partie 2.
pour la première équation, il y a plus chose à revoir :
-n'appelle pas y la tangente, ce nom est déjà utilisé pour l'équation de la courbe, appelle-la t par exemple, ça sera plus claire
-ton équation de la tangente est bonne mais n'oublie pas qu'elle dépend de x, il vaut mieux écrire t(x) = f'(a)(x-a) + f(a).
-il y a une erreur sur la dérivée, n'oublie pas fonction composée...
f(x) = Racine(4-x) en a = -5
-du coup, le calcul de la tangente est aussi à revoir. refait ce calcul de zero, il n'est pas très clair mais je pense qu'il y a d'autres erreurs, de manière général, sur des exercices à faire chez soi, n'hésite pas à refaire les calculs, ça te permet de t'assurer du résultat.
bonne chance

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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 19:54

Citation :
f(x) = Racine(4-x) en a = -5


t(x) = f'(a)(x-a) + f(a).

f(x) =Racine(u(x)) --> f'(x) = 1/2Racine(4-x)

t = 1/(2Racine(4-x)) (x -(-5) + Racine(4-x)
t = 1/2Racine(4-x) + (-2x+13) / (2Racine(4-x)
(J'ai sauté bien entendu des étapes)


g(x) = 3/(2x+5)


t(x) = g'(a)(x-a) + g(a).


g(x) = 3/(2x+5) = u(x) / v(x)
g'(x) = (u'v - uv') / v²

u'(x) = (3)' = 0
v'(x) = 2*(x)' + (5)' = 2

g'(x) = -6/(2x+5)

t = g'(x)(x-a) + g(x)
t =-6/(2x+5)²(x-2) + 3/(2x + 5)
t = [-6/(2x+5)]x + 3/(2x+5)²


Désolé mais pour la dérivé dans mon cahier je n'ai que Racine(x) a pour dérivée 1/2Racine(x) donc je ne sais pas comment faire...
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MessageSujet: Re: Calculs fonctions (Dérivées)   Dim 23 Mar - 20:13

est-ce que tu as aussi la dérivée d'une fonction composée?
racine(u(x))'=u'(x)/(2(racine(u(x)))).

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Calculs fonctions (Dérivées)
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