Bonjour, je suis bloqué sur certaine question de cette exercice, pouvez -vous m'aider merci d'avance.

Exercice :
On a tracé ci-contre la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x²-4x-6. La courbe C rencontre l'axe des abscisses en C et en D et l'axe des ordonnées en B. La fonction f admet un minimum pour une valeur x0 qui est l'abscisses du point A de C. On se propose d'utiliser les diverses écritures de f(x) pour calculer les coordonnées de A, B, C, D.

1) Vérifier que f(x) = 2(x-1)²-8 = 2(x-3)(x+1)
Ma réponse : 2(x-1)²-8 = 2 (x²-2x+1)-8 = 2x²-4x-6 = f(x)
2(x-3)(x+1) = (2x-6)(x+1) = 2x²-4x-6 = f(x)

2) a) calculer les coordonnées de B
Ma réponse : La courbe C coupe l'axe des ordonnées en B donc xb = 0 pui
yb = 2(xb)²-4(xb)-6 = -6
d'où B (0;-6)
b) Calculez les coordonnées de C et de D
Ma réponse : La courbe C coupe l'axe des abscisses en C et en D donc yc =yd = 0 puis
0 = 2(x-3)(x+1) ssi 0 = (2x-6)(x+1)
ssi 2x = 6 ou x=-1
ssi x = 3 ou x = -1
d'où C (-1;0) et D(3;0)
c) démontrer que pour tout x réel, f(x) supérieur ou égale à -8 d) Résolvez f(x) = -8 et trouvez les coordonnées de A
3) La droite D d'équation y=2 coupe C en deux point I et J En utilisant une des expressions de la question &), calculer les coordonnées exactes de I et de J.

Bonjour et bienvenue parmi nous Ceci !

Les trois premières question de ton exercice sont justes.

Une remarque pour la question 2)b), tu marques:

Citation:

0 = 2(x-3)(x+1) ssi 0 = (2x-6)(x+1)

Mais vu qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul, tu peux directement marquer:

0 = 2(x-3)(x+1) ssi x - 3=0 ou x + 1=0

Vu que 2 est un facteur non nul, tu peux directement l'enlever.

Sinon, pour la question 2)c), pour résoudre f(x) ≥ -8 , il faut que tu utilise la bonne expression de f(x).

Tu en as trois possibles, une forme développée, une forme factorisée et une forme intermédiaire (qu'on appelle forme canonique).
Cependant, résoudre f(x) ≥ -8 revient à résoudre f(x) + 8 ≥ 0, l'expression la mieux adapté est donc l'expression canonique: f(x) = 2*(x-1)² - 8

De même pour la résolution de f(x) = -8.

Après la dernière partie de la question 2)c), va te permettre de combiner les deux résultats que tu viens de trouver.

Pour celà, il faut savoir ce que signifie pour tout x, on a f(x) ≥ -8 et ce que signifie il existe un x tel que f(x) = -8.

Nous entamerons la dernière question lorsque nous aurons fini celle-ci qui contient déjà pas mal de chose.

Bon courage!

je suis désolé mais je n'ai toujours pas compris comment résoudre l'inéquation f(x) > -8
Cela me donne f(x) >-8 ssi 2(x-1)²-8+8>0 ssi 2(x-1)²>0
je suis bloqué à cet endroit je ne vois pas comment continué.

Ne sois pas désolé, ce n'est pas grave de ne pas comprendre loin de là.

On doit montrer que notre inégalité est vraie pour tout x et notre dernière équivalence est celle-ci 2(x-1)²>0

Il faut donc montrer que pour tout x, 2(x-1)² est toujorus positif ou nul.

Or que sait-on du signe d'un carré ?

Le signe d'un carré est toujours positifs. Donc f(x) sera toujours supérieur ou égale à -8

C'est tout à fait ça! Il faudra juste dire que 2>0 aussi car le carré est positif mais si il était multiplié par quelque chose de négatif le signe changerait.

Donc maintenant avant de résoudre f(x) =-8, qu'est-ce que celà signifie qu'on ait pour tout x, f(x) ≥ -8 ?

Cela signifie que pour n'importe quels valeurs de x f(x) sera toujour > à -8 ?

Oui mais celà signifie quoi concrètement pour les point de la courbe C ?

Ne pas oublier le rapport avec les points de la courbe comme tu l'avais fait pour déterminer les coordonnées des premiers points. Tu avais en effet très bien interprété la position des points sur la courbe en propriétés pour la fonction f.

Là, il s'agit de faire l'inverse, nous venons de montrer quelque chose sur la fonction f, qu'est-ce que celà signifie pour les points de la courbe ?

Cela signifie que tous les points situé sur y = 2x²-4x-6 se trouve sur ou au dessus de l'axe des abscisse et alors x>0

Non ce n'est pas l'axe des abscisses vu que c'est supérieurs à -8.

En fait, tous les points de la courbes sont au-dessus ou sur la droite d'équation y=-8.

Celà signifie aussi que -8 est un minorant pour la fonction f.

Maintenant, reste à savoir si ce minorant est atteint ou pas ce qui revient à savoir si l'équation f(x)=-8 a des solution ou pas. Et si cette équation à des solution celà voudra dire que -8 est le minimum de la courbe C. Celà te donnera bien les coordonnées du point A.

Le raisonnement était donc le suivant:

On te propose de montrer que f(x) est minoré par -8.
Après on te fait résoudre f(x)=-8 pour savoir si le minorant est atteint.
Enfin, on te demande d'en déduire les coordonnées du point A qui est le minimum de la courbe C.

Bon courage pour cette question et n'hésite pas à demander d'autres explications si besoin est.

Merci pour les explications. Mes j'aurais encore besoin de quelques petites explications pour calculer f(x) = -8 car faut-il que je trouve deux solutions ou seulement une seule ?

En utilisant la propriété qui te dit qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, tu vas te rendre compte que tes deux termes vont te donner, en effet, la même solution.

C'est ce qu'on appelle une solution double. Ce nom vient du fait qu'elle est deux fois solutions de l'équation vu que les deux facteurs sont égaux.

Ce qu'il faut essayer de se rappeler pour une équation de degré deux c'est qu'il y a deux solutions au maximum et que s'il y a une seule solution ont l'appelle solution double.

Dans notre cas la solution est en effet double, donc tu n'auras qu'une seule solution. Ce qui est très bien vu qu'on nous a dit dans l'énoncer qu'il n'y avais qu'un seul minimum qui était atteint en A. Donc avoir qu'une seule solution à l'équation f(x)=-8 devrait plutôt te rassurer.

Pour information, si tu avais trouvé deux solutions à cette équation celà aurai signifie que le minimum était atteint deux fois exactement.

Vu que tu as bientôt fini cette question, je vais te donner quelques indications pour la dernière question. En fait, ce qu'il faut savoir c'est le lien entre la notion de "points d'intersection" et la notion de "résolution d'un système".

Les points d'intersection entre deux courbes, (C₁) et (C₂) ont des coordonnées qui vérifient à la fois l'équation de (C₁) et l'équation de (C₂). Inversement, si j'ai un point dont les coordonnées vérifient les deux équations alors c'est un point d'intersection entre les deux courbes. On peut résumer celà ainsi:

I(x₀,y₀) est un point d'intersection entre des courbes d'équation y=f(x) et y=g(x) <=> le couple (x₀, y₀) est solution du système:
{y=f(x)
{y=g(x)

Il va donc falloir que tu résous le système:
{y=f(x)
{y=2

pour résoudre la dernière question.

Bon courage!

Je pense avoir trouver pour la quetion d)
Il faut prendre l'expression 2(x-1)²-8 = -8 <=> 2(x-1)² =0
Puis il faut expliquer qu' un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteur est nul. Ce qui nous donne 2(x-1)=0 ou 2(x-1)=0 <=> 2x-2 = 0 <=> x =1
D'où A (1;-8)
Pour la question 3), Je pense que les coordonnées des points d'intersection de la courbe I et J sont I(-1;2) et J(3;2) ; démonstration :
Les courbes C et D n'ont pas même coefficient directeur donc C n'est pas parallèle à D, c'est deux droites sont donc sécantes.
Soit I et J leurs points d'intersections
Les coordonnées de I et J vérifient y = 2 et y = 2(x-3)(x+1)
Soit 2 = 2(x-3)(x+1) <=> (x-3)(x+1) = 0 <=> x-3 = 0 ou x+1 = 0 <=> x=3 ou x=-1
Comme la droite D d'équation y=2 est parallèle à l'axe des abscisses yI = yJ = 2
d'où I(-1;2) et J(3;2)

c'est presque celà mais tu as juste fait une erreur pour la dernière question:

Citation:

2=2(x-3)(x+1) <=> (x-3)(x+1) = 0

Lorsque que tu simplifies par 2 de chaque côté celà fait

(x-3)(x+1) = 1 (et non 0)

Je te conseille plus de prendre l'expression du début de f(x) pour faire tes calculs, tu vas voir qu'ils se font plus simplement.

Sinon la question d'avant était bien .

Bon courage, tu tiens le bon bout !

Le problème est que ci j'utilise l'autre expression de f(x) je n'obtient pas le même résultat, j'obtient ceci :
2(x-1)²-8=2 <=> (x-1)²-8 = 1 <=> (x-1)²-9=0 <=> (x-4)(x+2)=0 <=> x=4 ou x=-2