3 questions de DM incomprise

bonjour,
j'ai un bug sur 3 questions de mon DM

1) On considère f(x)=x/(x+sin(x)) défini sur R-{0}.
a) Résoudre l'équation f(x)=1
b)Montrer que pour réel x différent de 0 ,f(x)=1/(1+(sin(x)/x)).

2)montrez que si x>1 : x/(x+1) <= f(x) <= x/(x-1)

3)Démontrer que f'(x)=0 si et seulement si x=tanx. Determiner graphiquement une valeur approchéé des solutions sur l'intervalle ]1;11] des solutions de cette équation.(j'ai trouvé que f'(x) faisait sinx-cosx²/(x+sinx)²mais je suis vraiment pas sur...)

supplément: QCM sans démo validez seulement les propositions juste. seule ces deux questions me pose problème dans le QCM...

1)E est l'ensemble des points M d'affixe z du plan complexe tels que (z-1)/(z+i) soit un imaginaire pur. A est le point d'affixe 1 et B d'affixe -i:
Les points A et B appartiennent à E? E est la médiatrice du segment [AB]? E est une partie du cercle de diamètre [AB]? Si M appartient à E alors ses coordonnées verifient l'équation x²-x+y²+y=0?

2) On considère l'équation |z+1|=|z|+1:
Tout nombre réel positif est solution? Le nombre z= -1+3i est solution? Si z est solution alors son conjugué l'est aussi? Si un complexe non nul z est solution alors son opposé -z est également solution?

merci d'avance!!! et bonne vacance!

Hors ligne

Bonjour et bienvenu parmi nous Maths57!

Alors pour la première partie de la première question, il s'agit d'une résolution d'équation. Sachant que la seule difficulté réside dans le fait de savoir les images des points remarquables de la fonction Sinus.

Pour la deuxième partie de la première question, on te demande de montrer une égalité, tu as donc deux possibilités pour ce genre de question:

- Soit tu utilises l'expression de F que tu connais pour arriver à celle qu'on te demande.

- Soit tu utilises la forme qu'on te propose et tu montres que sur l'ensemble qu'on te propose, elle est bien égale à F(x).

Ici les deux sont faisable mais la deuxième est peut-être plus simple à voir au niveau des calculs.


Pour la question 2), il faut se souvenir du plus classique des encadrement de la fonction Sinus. Elle est souvent oublié mais la fonction Sinus admet un encadrement fort utile et surtout ici.
De plus, ne jamais oublier que les questions précédentes ne sont pas là pour faire jolies le plus souvent c'est à dire que la question 1) b) s'avère très utile pour cette question .
Enfin, ne pas oublier non plus les règles sur les inégalité lorsqu'on applique des fonctions. En effet, une fonction croissant conserve les inégalités et une fonction décroissante inverse le sens des inégalités.


Ensuite pour la troisième question, il me semble que tu as fais une légère erreur de calcul ce qui t'empêche de conclure.
En effet, pour le numérateur, tu devrais avoir Sin(x) - x*Cos(x) (le dénominateur est juste quant à lui). Il s'agit je pense d'une erreur d'étourderie pour arrivé à ton Cos(x²). Ensuite l'équivalence en découle tout de suite.

Pour la détermination graphique, il faut que tu vois autre chose qu'une simple égalité dans x=Tan(x). En effet, résoudre x=Tan(x) revient aussi à déterminer les abscisses des points d'intersections entre les fonctions d'équation y=x et y=Tan(x). Je pense que celà devrait te permettre de conclure.
Cette astuce de voir la résolution d'une équation comme la détermination des points d'intersections entre les deux fonctions sous-jacentes s'avère très utiles pour le passage de l'abstrait au concret, par exemple et tu en a donc une preuve dans ton exercice.

J'espère que tout ceci t'aidera à boucler cette exercice et que tu pourras peut-être nous faire par de ta correction. En ce qui concerne le QCM, celà suivra avec le temps .

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

bonjour, je vais vous présenter ce que j'ai mis mais je suis pas très sur de moi.
question1)a)x=x+sinx
x=x+sin(pi-x)
x=pi+k2pi ???
b)j'ai développé 1/(1+(sin(x)/x)) pour arriver à f(x) sans problème...

question2) je suis partis de x/(x+1) <= f(x) <= x/(x-1) puis j'ai dis que comme x/(x-1) est décroissant sur ]1;11] donc inversion du sens des inégalité...comme vous me l'avez dit, ensuite j'ai simplifié pour arrivé a l'inégalité du sinus connu que vous m'avez dit.

question3)j'ai trouvé f'(x) puis en faisant f'(x)=0 j'ai sinx=xcosx
sinx/cosx=x équivalent à x=tanx.

la première question du QCM j'ai pas trouvé et pour la duxième je trouvé que le nombre z= -1+3i est solution;Si un complexe non nul z est solution alors son opposé -z est également solution.

Bonsoir,

Alors pour la première rédaction pourquoi ne mets-tu pas Sin(x)=0 tout simplement pour après en déduire les valeur de x? D'ailleurs, fait attention le Sinus est nul en π mais aussi en 2π, 3π, .... 0 est bien exclus comme tu l'as bien remarqué mais n'oublie pas pour autant les multiples de 2π qui annule le Sinus.

Pour la question b), en effet celà marche bien.

Pour la question 2), la rédaction est à faire dans l'autre sens par contre. Lorsqu'une inégalité est à démontrer, il y a deux moyens de le faire:

-Soit on montre que la différence est négative ou positive.

-Soit on arrive directement à encadrer une partie.

Ici, je pense que le deuxième cas est plus simple, il faut que tu rédiges le tout dans l'autre sens par contre c'est à dire que tu pars de l'encadrement du Sinus puis tu arrives à l'encadrement cherché.
Par contre, n'utilise pas encore l'intervalle ]1; 11] car il arrivera qu'à la question 3). En effet, la fonction inverse est décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0; +∞[.

Pour la question 3), la rédaction est tout à fait juste (peut-être faire attention au fait que x doit être différent de π/2 +k*π car sinon la fonction Tangente n'est pas définie). N'oublie pas la deuxième partie de la question par contre.


Passons au QCM maintenant,

Alors je vais commencer par la deuxième question vu que tu propose des réponse et je passerai à la première après.

on cherche les solution de |z+1|=|z|+1

Les deux solutions que tu proposes sont fausses mais nous allons regarder pourquoi surtout.

En effet, calculons A=|(-1+3i)+1| et B=|-1+3i|+1.

On a: A=|3i|=√(0²+3²)=√9=3, donc A=3

Or B=√[(-1)²+3²]+1=√(1+9) +1 = 1 + √(10), donc B= 1+√10

Conclusion A≠B

Donc z=-1 +3i n'est pas solution de |z+1|=|z|+1


Ta deuxième proposition était de dire que si z est solution alors -z est solution de |z+1|=|z|+1

Le meilleur moyen est encore de tester sur un exemple simple. On a |1+1|=2=|1|+1
Donc z=1 est solution de |z+1|=|z|+1

Or |-1+1|=0 et |-1|+1=1+1=2

Donc z=-1 n'est pas solution de |z+1|=|z|+1.

Conclusion, si z est solution alors -z n'est pas forcément solution.

Avec celà, il nous reste plus que deux possibilités, pour la toute première si z est un nombre réel positif alors z+1 est aussi un réel positif. Il faut maintenant regarder si l'égalité est vérifiée ou non sachant que |.| pour les réels n'est autre que la valeur absolu.

Enfin pour la dernière proposition de solution que nous n'avons pas encore testée c'est à dire que si z est solution alors le conjugué de z est solution. Alors ici:

- Soit tu poses z=a+i*b et tu fais les calculs pour essayer de voir si l'égalité est vrai ou non.

- Soit tu te souviens que |z(conjugué)|=|z| pour tout complexe z et que le conjugué d'une addition est l'addition des conjugués.

Pour la première question voici quelques indications:

un nombre est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. A partir de là, tu peux poser z=x+iy (pour rappel: x est la partie réelle et y la partie imaginaire de z) et voir ce que te donne la condition en fonction de x et y.

M appartient à la médiatrice de [AB] équivaut à AM=BM et AM=|Z| avec Z l'affixe du vecteur AM. (Ne pas oublier que M appartient aussi à E)

Pour savoir si A ou B appartienne à E, il faut faire les calculs en remplaçant par leur affixe respectif.

Enfin, l'équation d'un cercle de centre C(x0,y0) et de rayon R est de la forme: (x-x0)² + (y-y0)² = R²
En utilisant la première indication, tu peux te ramener à l'équation d'un cercle. A partir de là, tu en déduis le rayon, R, et il ne te restera plus qu'à vérifier si 2*R=AB

J'espère que ces 4 indications t'aideront à démarrer la première question du QCM.

Je te souhaite bon courage et @bientôt au sein du forum!