probléme avec la trigonométrie

Bonjour, j'ai en petit soucis concernant un de mes exercice, notre professeur nous l'avez bien dit ''c'est pas simple'', alors le voila
pour le rappel je sais que cos²x+sin²x=0 mais pour le reste c'est un peu plus compliqué, merci de votre aide

Bonsoir Nana17,

Il y a une erreur pour cos²(x) + sin²(x). En effet, la somme fait 1 et non 0 mais je pense qu'il s'agit d'une erreur d'étourderie.

Donc on a comme base: cos²(x) + sin²(x) = 1

La première question se résout en appliquant directement cette égalité pour x= π/5.

Après tous les autres calculs se font grâce aux développement de Cos(a+b) et de Sin(a+b).

En effet, 4π/5 = 2π/5 + 2π/5 et 2π/5 = π/5 + π/5. Tu déduit donc d'abord, le cosinus de 2π/5 puis ensuite de 4π/5.

Pour -π/5, il faut que tu utilises la parité des fonctions cosinus et sinus.

Pour le c), en faisant 4π/5 + (-π/5) celà donne 3π/5 et tu peux donc déduire ensuite 2*(3π/5).

Pour le d), il te donne la décomposition de 3π/10 en fonction de π/2 et π/5

Le e) est dans le même style mais au lieu de faire π/2 - π/5, il faut faire π/2 +π/5 = 7π/10

En fait lors de tous ces calculs, le but reste le même: il faut se ramener à ce qu'on sait avec en tête les deux développement classique de cosinus et de sinus. Cependant, tu peux limiter tes calculs au cosinus car le sinus se déduit à partir de la relation du départ.

N'hésite pas à nous faire par de tes calculs et nous poser des questions si tu as des soucis nous sommes là pour ça .

Bon courage et @bientôt!

Bonjour @toutes et tous!

Savoir manipuler les fonctions trigonométriques est un avantage non négligeable en vu de la terminale où une nouvelle notion fait beaucoup appelle à ces fonction là. Donc autant bien asseoir les bases de ce point de vue là en 1ère.

Je ne vous rappelle pas l'énoncer vu qu'il est juste deux message au-dessus. Commençons donc la correction de celui-ci:

1)
Propriété fondamentale à connaître par coeur:
Pour tout réel x, Cos²(x)+Sin²(x)=1

2)
D'après 1), on sait que: Cos²(π/5)+Sin²(π/5)=1
Or on sait que: Cos(π/5)=(1+√5)/4 c'est à dire que Cos²(π/5)=(1+2√5+5)/16=(6+2√5)/16

Donc Sin²(π/5)=1-(6+2√5)/16=(5-√5)/8
Or 0<π/5<π/2 donc Sin(π/5)>0

Donc Sin(π/5)=+√(5-√5)/(2√2)

3)
A partir du moment où je serait revenu à l'utilisation de ce qui est connu, je laisse au lecteur le soin d'effectuer les derniers calculs.

Pour 4π/5:
Donc Cos(4π/5)=-Cos(π-4π/5) (j'utilise la propriété suivante: Cos(a)=-Cos(π-a) )
Or π-4π/5=π/5

Donc Cos(4π/5)=-Cos(π/5)

De plus, Sin(4π/5)=Sin(π-4π/5) (j'utilise le fait que Sin(a)=Sin(π-a) )
Donc Sin(4π/5)=Sin(π/5)


Pour -π/5:
Il faut se souvenir des propriétés suivante:
Cos(-a)=Cos(a) et Sin(-a)=-Sin(a) (cela vient du fait que le cosinus est une fonction paire et que la fonction sinus est une fonction impare)

Donc Cos(-π/5)=Cos(π/5) et Sin(-π/5)=-Sin(π/5)


Pour 6π/5:
Il faut se souvenir des propriétés suivantes:
Cos(π+a)=-Cos(a) et Sin(π+a)=-Sin(a) (je vous laisse le vérifier en développant par les formule classique Cos(a+b) et Sin(a+b) ou simplement le vérifier sur le cercle trigonométrique)

Or π+π/5=6π/5
Donc Cos(6π/5)=-Cos(π/5) et Sin(6π/5)=-Sin(π/5)


Pour 3π/10:
On nous donne une indication: 3π/10=π/2-π/5
Or soit on développe les cosinus et les sinus soit on se souvient des propriétés suivantes:

Cos(π/2-a)=Sin(a) et Sin(π/2-a)=Cos(a)

Par conséquent, Cos(3π/10)=Sin(π/5) et Sin(3π/10)=Cos(π/5)


Pour 7π/10:
On sait que 7π/10=π/2+π/5
Et soit on développe les cosinus et les sinus soit on se souvient des propriétés suivantes:
Cos(π/2+a)=Sin(a) et Sin(π/2+a)=-Cos(a)

Donc Cos(7π/10)=Sin(π/5) et Sin(7π/10)=-Cos(π/5)


Je rappelle que toutes les propriétés cité pour dans cet exercice sont à savoir redémontrer (sauf peut-être la toute première qu'on applique sans la redémontrer). Car même si ce sont des propriétés classiques, il faut savoir d'où elle vienne. Et lorsque vous les utilisez sans les redémontrer, il faut au minimum marquer la propriété dans le cas générale et non dans notre cas particulier.

Je vous souhaite une bonne continuation et n'hésitez pas à poser vos questions!

@bientôt au sein du forum!