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 [1ère S] Exercice tangentes etc...

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MrTheYo



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MessageSujet: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mar 29 Avr - 17:01

Salut!
Me revoici avec un exo sur les tangentes dans lequel je me retrouve bloqué... Un ptit coup de main serait donc le bienvenu Very Happy .

Voici l'énoncé :

-----------------------


Dans un repère du plan, on considère la courbe C d'équation y=f(x), où f est la fonction définie sur R par f(x) = x^3-2x+1

1. Déterminer les points de C en lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
2.Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C au point A(0;1) et étudier la position de C par rapport à T.

3(a) Déterminer une équation de la tangente Delta à C au point B(1;0)
(b) Vérifier sue pour tout réel x :
x^3 -3x +2 = (x-1)²(x+2)


(c) En déduire la position de C par rapport à Delta.


-----------------------


Voici mes réponses :

1) Je sais que la tangente d'une courbe en un point est définie par :

y=f'(a)(x-a) + f(a) et qu'ici, y=0 car, le but est d'avoir une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

On a donc : 0= f'(a)(x-a) + f(a)

f(x) étant un polynôme de degré 3, je ne peux pas calculer le Delta selon la méthode traditionnelle mais, je peux le faire pour sa dérivée :

f'(x) = 3x² - 2

Delta = b²-4ac = -Racine24 / 6 pour x1 et x2.

on a donc notre a à caser dans l'équation de la tangente :

0 = f'( -Racine24 / 6 ) (x- (-Racine24 / 6)) + f( -Racine24 / 6)
0 = 0 (x+ (Racine24 / 6)) + f ( -Racine24 / 6)
0 = 0 + f( -Racine24 / 6)

Problème --> f ( -Racine24 / 6) est différent de 0...


2) A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

Etudier la position : A part dire que les deux se croisent en y=1, je ne vois pas...


3(a) B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1


3(b) Là, je ne vois pas si ce n'est que, je retrouve mon équation ci-dessus...

3(c) ??


Voilà, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce parce que là, je ne vois vraiment pas...
Merci d'avance
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mar 29 Avr - 19:24

Bonsoir MrTheYo,

Cette exercice ressemble pour certaines question à ce que nous avons déjà traité ensemble et je suis satisfait de voir que celà commence à devenir un automatisme. C'est très intéressant pour la suite en tout cas.

Cependant, il reste encore quelque confusion au niveau du parallélisme de deux droites dans un repère orthonormé par contre. En effet les question qu'il faut se poser sont les suivantes:

Quels sont les coefficients directeurs des deux droites mise en jeu?

Puis, quelle est la propriété de parallélisme qu'ils doivent vérifiés? Il s'agit de l'égalité des coefficients directeurs!

Et enfin, il ne reste plus qu'à résoudre l'équation.

Il faut donc que tu revois la réponse à la première question.

Sinon, tes deux équations de tangente sont nickel, il n'y a vraiment rien à redire ni sur la rédaction ni sur les solutions c'est super ça Very Happy.

Pour la question 3) b), il s'agit de vérifier l'égalité, donc le plus simple est de développer la partie de droite pour retrouver celle de gauche.


Maintenant passons à la nouveauté qui est de savoir trouver les positions relative entre deux courbes ou en l'occurrence ici entre une courbe et une droite. En fait, c'est plutot visuel dans un premier temps. Le but est de savoir sur quel ensemble la courbe est en-dessous de la droite et sur quel ensemble la courbe est au-dessus de la droite. Donc dans un premier temps tu peux regarder un graphique et il pourra te donner une idée de la réponse.

Mais bon maintenant, il faut qu'on puisse déterminer ces ensemble à partir des équation des courbes mais comment? Et bien c'est plutôt intuitif car quand tu regarde tes deux courbe être en-dessous ou être au-dessus va se jouer sur la position des ordonnées des points des deux courbes. Et l'ordonnée des points pour les équations c'est les "y" ou les "f(x)" si tu préfères.

Donc nous allons être amenés à résoudre l'inéquation suivante poru la question 2) par exemple:

f(x) - (-2x + 1) <0 ce qui te donnera l'ensemble des point où la courbe est en-dessous de la droite d'équation y= -2x + 1 (l'autre ensemble étant celui où la courbe est en-dessus de la droite)

Voilà ce qu'on attend lorsqu'on parle de déterminer la position relative entre deux courbes.

En espérnat avoir été assez clair et que tu pourras ainsi faire la deuxième partie de la question 2) et la 3)c) ainsi que corriger la 1).

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mar 29 Avr - 19:40

1) f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2

Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = x2 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6

Je retombe sur ma démarche.. Ca doit pas être bpn.. Désolé je dois y aller. Je continuerai ça demain surtout qu'en maths ces temps ci niveau exos et incompréhension c'est pas mal overbooké lol! .

En tout cas merci (comme dab') et bonne soirée cheers
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mar 29 Avr - 19:54

Je viens de comprendre ton problème.

Ce qu'on cherche à résoudre c'est bien f'(x)=0 après les solutions de cette équation n'ont rien d'autre à vérifier.

En effet, les solutions de cette équation va te donner l'abscisse des points en lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisse c'est tout ce qui nous intéresse après tout. Il ne reste plus qu'à calculer l'ordonner des point en appliquant f comme tu le fait mais tu ne dois pas trouver 0 pour autant.

La seule propriété qui doit être vérifié c'est légalité des coefficient directeur et c'est l'unique contrainte. après les ordonnées des point de la courbe n'ont rien à vérifier de particulier mis à part que leur abscisse vérifie l'équation.

Par contre fait attention x1 n'est pas égale à x2 il y a un changement de signe entre les deux. De plus essaie toujours de simplifier les racines au maximum c'est toujours plus propre lorsqu'on donne une réponse et c'est plus simple après dans les calculs.

Pon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 16:57

Je reprends :

1)
f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6
x2 = Racine(24)/6


Donc : en x = Racine(24)/6 ou en x = -Racine(24)/6, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées :

Pour x1 :
y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(Racine(24)/6)(x-Racine(24)/6) + f(Racine(24)/6) = -0.08

Pour x2 :
y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(-Racine(24)/6)(x+Racine(24)/6) + f(-Racine(24)/6) = 2.08


donc, en (Racine(24)/6 ; .0.08) et en (-Racine(24)/6 ; 2.08), la tangente de C est parallèle à l'axe des abscisses.


2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :

f(x) - (-2x + 1) <0 avec A (0 ; 1) donc : x = 0

0^3-2*0+1 -(-2*0 + 1) < 0 --> 2 > 0


C sera donc au dessus de T sur l'ensemble ]-Infini ; 0[ et en dessous de C sur l'ensemble ]0 ; + INFINI[ mais, le 2 serait donc l'abscisse du point où le changement opère soit le point (0 ; 2).

Là, je ne suis pas sûr de ma réponse le 2 me semblant "louche"...



3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1

(b)
x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)
x^3-3x + 2 = [x² - x - x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = [x² - 2x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2


Là, c'était évident je me demande comment j'ai pu rater ça...

(c) Ici, comme en 2)(b), je dois trouver sur quel ensemble Delta est en dessous de C et sur quel ensemble Delta est au dessus de C :

f(x) - (x-1) < 0 avec B(1 ; 0) donc x = 1
[1^3 - 2*1 + 1] -1 + 1 < 0

0 = 0 donc, Delta est toujours en dessous de C.

Est-ce bon?
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 17:17

Bonsoir,

Pour l'ordonnée des points où la tangente est verticale, c'est l'ordonnée sur la courbe C d'équation y=f(x) pour les deux x que tu as trouver tu déduit l'ordonnée des points de la courbes.

L'équation de la tangente ne te sert pas pour la première question en fait et pour être clair. Une équation de tangente sert si on te la demande. Or pour la première question, il s'agit juste d'utiliser les coefficient directeur pour savoir si tu as compris le rapport entre dérivation et coefficient directeur et savoir aussi si tu connais le lien entre parallélisme et coefficient directeur.

Pour la deuxième partie de la question 2), il s'agit de résoudre l'inégalité pour tout x et non seulement en A(0,1). En effet, le point A sert à explicité l'équation de la tangente après il ne rentre plus en compte lors de la résolution de l'inéquation.

Je te laisse donc refaire cette résolution et il s'agit de la même remarque pour la question 3)c).

Pour ces deux question, on cherche en ensemble d'abscisses "x", on ne fixe donc pas x. L'inéquation est nue condition nécessaire pour que la courbe sous en-dessous de la droite, sa solution te donnera donc l 'ensemble des x pour que la courbe soit en-dessous de la droite.

En fait, dès qu'on a écrit l'inéquation, la question qui reste c'est: "Résoudre l'inéquation" ou "Donner l'ensemble des solutions, x, qui vérifie cette inéquation".

En espérant qu'ainsi cette question soit plus claire.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 17:40

1)
f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6
x2 = Racine(24)/6


Donc : en x = Racine(24)/6 ou en x = -Racine(24)/6, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f(Racine(24)/6) = 0
y = f(-Racine(24)/6) = 0.

La tangente sera donc parallèle à l'axe des abscisses aux points : (Racine(24)/6 ; 0) et (-Racine(24)/6 ; 0).

2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :

f(x) - (-2x + 1) <0

3x^3 - 2x + 1 - (-2x + 1) < 0
3x^3 - 2x + 1 + 2x - 1 < 0
3x^3 < 0 --> La tangente sera sous la droite C sur l'ensemble ]-INFINI ; 3x^3] et au dessus sur l'ensemble [3x^3 ; +INFINI[.

3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1


(b)
x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)
x^3-3x + 2 = [x² - x - x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = [x² - 2x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2



(c) ci, comme en 2)(b), je dois trouver sur quel ensemble Delta est en dessous de C et sur quel ensemble Delta est au dessus de C :

f(x) - (x-1) < 0
[x^3 - 2x + 1] -x + 1 < 0
x^3 -3x +2 < 0

Delta sera donc en dessous de C sur l'ensemble ]- INFINI ; x^3 -3x +2] et au dessus de C sur l'ensemble [x^3 -3x +2 ; + INFINI[.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 19:11

Pour la 1), dans un premier temps √(24) = √(4/6)=2√6 donc √(24)/6= (√6)/3

Après F(√6/2) n'est pas égale à 0 refait tes calculs car j'ai l'impression que du à pris F' et non F.

Pour la question 2), on doit résoudre F(x) - (-2x +1) <0 avec f(x) = x^3-2x+1,

C'est équivalent à x3 -2x + 1 +2x -1 <0 c'est à dire x3<0

Maintenant, il reste à finir la résolution: Quel est l'ensemble des x qui vérifie x3<0 ?


Pour la question 3)c), il faut que tu te serves de la factorisation qu'on te fait démontrer en 3)b).

Sinon d'une manière général, fait attention lors de la résolution des inéquations donc l'inconnue est x. En effet, le "x" ne doit pas du tout appraître dans la solution et ceci est plutot logique car résoudre une inéquation revient à trouver l'ensemble des valeur qu'à le droit de prendre x justement. N'oublie pas aussi si tu veux t'en convaincre que le plus souvent tu peux tracer la solution d'une inéquation sur une droite graduée représentant les possibilité de valeurs pour x. Donc, fait attention sur ce point là car ton professeur risque de friser la crise cardiaque si il vois des x dans les intervalles Wink.

La question 3)c) est la plus compliquée, on y reviendra en dernier à la rigueur, concentre-toi sur les deux premières erreurs pour le moment.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 19:31

1)

f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6 = -(√6)/3
x2 = Racine(24)/6 = (√6)/3


Donc : en x = (√6)/3 ou en x = - (√6)/3, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f((√6)/3) = 0
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1 = 0
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = Racine(24) / 3 + 2Racine(6) / 3 + 3 / 3
y = (4Racine(6) + 3) / 3 = 4Racine(6) / 3 + 1

y = f(-(√6)/3) = 0.
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1 = 0
y = -Racine(216) / 27 + 2Racine(6) /3 + 3 / 3
y = -Racine(24)/3 + 2Racine(6) / 3 + 3 / 3
y = -(4Racine(6) + 3) / 3 = -4Racine(6) / 3 + 1.

2) 2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :


x) - (-2x + 1) <0

3x^3 - 2x + 1 - (-2x + 1) < 0
3x^3 - 2x + 1 + 2x - 1 < 0
3x^3 < 0

L'ensemble des x vérifiant x^3 < 0 est : ]-INFINI ; 0[.


3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1



(b)
x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)
x^3-3x + 2 = [x² - x - x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = [x² - 2x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2



(c) x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)



et merci pour le conseil

lol!
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 19:44

Bon alors la deuxième partie de la 2) est bonne il ne reste plus qu'à la rédiger mais je te fait confiance pour celà.

Sinon, tu a fait une légère erreur dans le calcul du 1), en effet, tu fait une simplification par 9 à un endroit alors que le 9 en question est encore sous la racine donc tu n'as pas le droit de faire la simplification vu que 27 est en-dehors de la racine. tu peux gagner du temps dans les calcul en remarquant que 3=2+1 donc x3= x2+1= x*(x²) c'est qui va donc te donner 6*racine(6) qui sera beaucoup plus pratique poru faire les calculs.

Bon sinon passons maintenant à la 3)c), donc en 3)b) on te fait montrer que f(x)=(x-1)²(x+2) et là nous on doit résoudre l'inéquation suivante:

f(x) - (x-1) < 0

Donc si on prend la forme factoriser, celà s'écrit aussi (x-1)²(x-2) -(x-1) < 0

Maintenant, un rappel de méthode à ne pas oublier: Pour résoudre une inéquation, il faut factoriser un maximum puis faire un tableau de signe.

C'est une méthode simple, peut-être pas efficace tout le temps mais elle est le mérite de marcher à tous les coups. Donc là, il te reste à factoriser par (x-1) dans un premier temps. Puis après, il te restera à factoriser encore un peu si c'est possible ou sinon à faire un tableau de signe poru déduire le résultat.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:00

f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6 = -(√6)/3
x2 = Racine(24)/6 = (√6)/3


Donc : en x = (√6)/3 ou en x = - (√6)/3, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f((√6)/3) = 0
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1 = 0
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1 = 0
y = [Racine(216) + 9Racine(6)] / 27 + 1 = 0

y = f(-(√6)/3) = 0.
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1 = 0
y = [-Racine(216) + 9Racine(6)] / 27 + 1 = 0


2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :


x) - (-2x + 1) <0

3x^3 - 2x + 1 - (-2x + 1) < 0
3x^3 - 2x + 1 + 2x - 1 < 0
3x^3 < 0

x^3 étant défini sur ]-INFINI ; + INFINI[
L'ensemble des x vérifiant x^3 < 0 est : ]-INFINI ; 0[.


3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1



(b)
x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)
x^3-3x + 2 = [x² - x - x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = [x² - 2x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2


(c)

f(x) - (x-1) < 0
(x-1)²(x-2) -(x-1) < 0
(x-1)² -1 < 0

La factorisation me bloque quelque peu...
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:17

Attention au niveau de la rédaction:

Citation :
y = [-Racine(216) + 9Racine(6)] / 27 + 1 = 0

Le "=0" est en trop ici. Sinon tu peux aussi simplifier racine(216) car 216= 36*6 donc racine(216) = racine(36*6).

De même pour le première calcul.

Sinon pour la 3)c), le but est de factoriser (x-1)²(x-2) - (x-1) nous allnos donc nous focaliser là-dessus on regardera le inférieur à 0 après.

donc si tu veux on peut l'écrire comme celà (x-1)*(x-1)*(x-2) - (x-1) et on va déjà factoriser par (x-1) qu'obtient-on ?

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:21

f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6 = -(√6)/3
x2 = Racine(24)/6 = (√6)/3


Donc : en x = (√6)/3 ou en x = - (√6)/3, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f((√6)/3) = 0
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = [Racine(216) + 9Racine(6)] / 27 + 1

y = f(-(√6)/3) = 0.
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1
y = [-Racine(216) + 9Racine(6)] / 27 + 1


2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :


x) - (-2x + 1) <0

3x^3 - 2x + 1 - (-2x + 1) < 0
3x^3 - 2x + 1 + 2x - 1 < 0
3x^3 < 0

x^3 étant défini sur ]-INFINI ; + INFINI[
L'ensemble des x vérifiant x^3 < 0 est : ]-INFINI ; 0[.


3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1



(b)
x^3-3x + 2 = (x-1)²(x+2)
x^3-3x + 2 = [x² - x - x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = [x² - 2x + 1](x + 2)
x^3-3x + 2 = x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2


(c)

f(x) - (x-1) < 0
(x-1)²(x-2) -(x-1) < 0

On obtient (x-1)²
(x-1)² -1 < 0
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:38

Pour la première question, je te conseille de faire la simplifaction au niveau de la racine de 216 ainsi tu pourras avoir que des racines de 6. Sinon, ton prof risque de te dire que ut n'a pas poussé le calcul jsuqu'au bout et donc simplifier au maximum le calcul.

Sinon, la factorisation n'est pas bonne, en effet le facteur commun est (x-1). En effet, on peut appeler g(x) l'espression suivante g(x)=(x-1)*[(x-1)*(x+2)] - (x-1)*1 et on cherche à factoriser g(x). Vu que le facteur commun est (x-1), la factoriation sera de la forme (x-1)*A(x) avec A(x) une expression qui dépend de x. (désolé c'est (x+2) dans ton énoncer et j'ai marquer (x-2) dans mes posts précédents).

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:43

Calcul du 1) :

y = f((√6)/3) = 0
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = 6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 24Racine(6) / 27 + 1

y = f(-(√6)/3) = 0.
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1
y = -Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = -6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 12Racine(6) / 27 + 1

Normalement c'est ok.




3)(c)

f(x) - (x-1) < 0
(x-1)²(x-2) -(x-1) < 0
(x-1)*[(x-1)*(x-2)] < 0 ??
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:49

La première question est juste et finalisée Very Happy.

Sinon,

Citation :
Sinon, la factorisation n'est pas bonne, en effet le facteur commun est (x-1). En effet, on peut appeler g(x) l'expression suivante g(x)=(x-1)*[(x-1)*(x+2)] - (x-1)*1 et on cherche à factoriser g(x). Vu que le facteur commun est (x-1), la factorisation sera de la forme (x-1)*A(x) avec A(x) une expression qui dépend de x. (désolé c'est (x+2) dans ton énoncer et j'ai marquer (x-2) dans mes posts précédents).

Je viens de m'appercevoir d'une erreur de lecture de ma part et je m'en excuse platement.

En effet, on te fait factoriser x3 -3x + 2 et non f(x), j'ai mal lu vu que les deux expressions se ressemblent beaucoup.

La solution à la 3)c) est donc beaucoup plus simple que ce que je voulais faire, en effet on a f(x) - (x-1) = x3 -3x + 2

Donc d'après la 3)b) on a déjà la factorisation de cette expression là qui est (x-1)²(x-2) et il faut donc résoudre l'inéquation suivante:

(x-1)²(x-2) < 0 sachant qu'un carré est toujours positif celà implique forcément donc que x-2 < 0 ce qui conclu la résolution de cette inéquation x<2.

Il ne te reste plus qu'à bien rédiger les deux questions concernant la position de la courbe par rapport aux deux droites et faisant bien apparaître les deux cas (au-dessus et en-dessous).

Avec mes excuses donc mais par contre celà n'empêche pas le fait qu'au niveau de la factorisation il y a avait une erreur car il manquait encore le -1 dans le crochet Wink.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 20:56

f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6 = -(√6)/3
x2 = Racine(24)/6 = (√6)/3


Donc : en x = (√6)/3 ou en x = - (√6)/3, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f((√6)/3) = 0
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = 6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 24Racine(6) / 27 + 1

y = f(-(√6)/3) = 0.
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1
y = -Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = -6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 12Racine(6) / 27 + 1


3)c) f(x) - (x-1) = x3 -3x + 2
f(x) - (x-1) = (x-1)²(x+2)
(x-1)²(x-2) < 0 --> un carré est toujours positif :
x-2 < 0
donc : x<2

On a donc pour x < 2 un courbe sous la tangente c'est bien cela?

Ne t'inquiètes pas pour l'erreur mais je savais que la factorisation était fausse aussi
lol!.
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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 21:09

Tout est juste en effet.

Sinon pour le 1), on peut encore simplifier ça:

Citation :
24Racine(6) / 27

et ça:

Citation :
12Racine(6) / 27

De plus, il n'y a pas de "=0" même au tout début Wink.

Sinon, au niveau de la rédaction pour la 3)b), il faut éviter d'écrire le résultat en première ligne. Pour palier à ce problème on écrit directement le côté droit et on développe tranquillement et à la fin seulement on écrit l'égalité qu'on cherchait. Sinon on a l'impression que ut pose le résultat pour le démontrer ce qui est pas très logique en soi car poser quelque chose de vraie pour le prouver je pense que ça va pas être compliquer Razz.

Enfin, maintenant que tout est juste pour la deuxième partie de la 2) et la 3)c) n'oublie de faire la rédaction globale dans les deux cas et un conseille aussi j'ai pour ma part utilisé les inégalité strict par habitude mais tu peux mettre des inégalité large personne ne t'en voudra car l'égalité à lieu au point d'intersection qui sont aussi bien en-dessous qu'au dessus Very Happy.

Voilà quelques détails au niveau de la rédaction le reste étant bon comme je te l'ai dit.

Bon courage pour la mise en forme de tout ceci!

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MessageSujet: Re: [1ère S] Exercice tangentes etc...   Mer 30 Avr - 21:15

f(x) = x^3-2x+1 --> f'(x) = 3x² - 2


Pour que la tangente soit parallèle à l'axe des abscisses, il faut qu'elles aient le même coefficient directeur.

Equation de l'axe des abscisse : y = 0
Equation de la tangente : y= f'(a) (x-a) + f(a) avec le même coefficient directeur : 0 donc, il faudrait que f'(a) soit égal à 0 donc, je dois trouver les racines de f'(a) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(3*-2) = 24

x1 = 0-Racine(24) / 6 = -Racine(24) / 6 = -(√6)/3
x2 = Racine(24)/6 = (√6)/3


Donc : en x = (√6)/3 ou en x = - (√6)/3, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses : je n'ai plus qu'à trouver les ordonnées sachant que l'équation de C est : y=f(x)
donc :

y = f((√6)/3)
y = ((√6)/3)^3 - 2 * (√6)/3 + 1
y = Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = 6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 24Racine(6) / 27 + 1

y = f(-(√6)/3)
y = (-(√6)/3)^3 - 2 * [-(√6)/3] + 1
y = -Racine(216) / 27 + 2Racine(6) / 3 + 1
y = -6Racine(6) / 27 + 18Racine(6) / 27 + 1
y = 12Racine(6) / 27 + 1


2) Equation de T à C au point A(0;1)

A(0;1)

y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = -2 (x-0) + 1
y = -2x + 1

je dois résoudre f(x) - (-2x + 1) <0 qui me donnera l'ensemble des points où la courbe est en dessous de la droite d'équation y = -2x + 1 : l'autre ensemble étant celui où la courbe est au-dessus :


x) - (-2x + 1) <0

3x^3 - 2x + 1 - (-2x + 1) < 0
3x^3 - 2x + 1 + 2x - 1 < 0
3x^3 < 0

x^3 étant défini sur ]-INFINI ; + INFINI[
L'ensemble des x vérifiant x^3 < 0 est : ]-INFINI ; 0[.


3) (a)
B(1;0)

y = f'(a) (x-a) + f(
a) = f'(1) (x-1) + f(1) = 1(x-1) + 0
y = x - 1



(b)
(x-1)²(x+2)
[x² - x - x + 1](x + 2)
[x² - 2x + 1](x + 2)
x^3 + 2x² - 2x² - 4x + x + 2
x^3-3x + 2 = x^3 - 3x + 2



3)c) f(x) - (x-1) = x3 -3x + 2
f(x) - (x-1) = (x-1)²(x+2)
(x-1)²(x-2) < 0 --> un carré est toujours positif :
x-2 < 0
donc : x<2

On a donc la courbe C sous la tangente Delta pour x<2 et C au dessus de la tangente Delta pour x>2.



Merci pour tout. Désolé mais je dois t elaisser en tout cas merci pour le coup de main et les explications
cheers
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