Exercice géométrie dans l'espace

Salut!
Me revoici avec un exercice de géométrie dans l'espace où, je ne comprend pas certaines questions... J'aurais donc besoin d'aide svp. (Les vecteurs sont notés en gras)

Voici l'énoncé :



On considère un tétraèdre ABCD. Soit E un point de la droite (AB) et F un point de la droite (CD). On note G le milieu du segment [EF].
Le but de cet exercice est d'étudier le lieu du point G, c'est à dire l'ensemble P des points G lorsque E décrit (AB) et F décrit (CD).




1. Recherche d'une conjecture.

(a) Construire le figure.
(b) Déterminer quelques points particuliers de l'ensemble P.
(c) On suppose que E est fixé en A. Quel ensemble semble décrire le point G lorsque F décrit (CD)? Comment semble évoluer cet ensemble lorsque E se déplace sur (AB)?
(d) Emettre une conjecture concernant le lieu géométrique P.



2.Première inclusion. On note I, J et K les milieux respectifs des arêtes [BC], [AC] et [BD]. Comme E est un point de (AB), il existe un réel Alpha tel que BE = AlphaBA. De même, comme F est un point de (CD), il existe un réel b tel que CF = bCD.

(a) En utilisant le fait que EG = GF, démontrer que IG = AlphaIJ + bIK.
(b) A quel plan appartient le point G? Quelle inclusion peut-on en déduire?



3. Seconde inclusion. Soit M un point du plan (IJK). les vecteurs IM, IJ et IK sont coplanaires, donc il existe deux réels x et y tels que IM = xIJ + yIK.
Soit E et F les points tels que BE = xBA et CF = yCD.

(a) Démontrer que M est le milieu du segment [EF].
(b) Quelle inclusion peut-on en déduire?




4. Quel est l'ensemble P?



Voici donc mes réponses :

1. Déjà ici le mot "conjecture" : si je ne me trompe pas cela est l'équivalent d'hypothèse mais bon...

(a) Figure construite (voir énoncé).
(b) Dans les points particuliers il y a :



Normalement, tous les points particuliers de l'ensemble P sont cités.

(c) G semble décrire une droite lorsque F se déplace sur (CD).
Plus E est proche de A et plus le segment [EF] semble long et inversement, plus E est proche de B est plus le segment [EF] semble court.

(d) P serait situé sur la droite (CD).



2. On a donc la figure suivante :



(a) Déjà, cette relation nous montre que ces 3 vecteurs sont coplanaires : reste à trouver leur plan commun : (IJGK)

Ensuite, je décompose les vecteurs donnés dans la relation ce qui fait :

IG = IB + BE + EG
IJ = IC + CJ
IK = IB + BK

Je pense qu'il faudrait établir un repère pour avoir les coordonnées des points et répondre à la question mais, je ne vois pas quel repère prendre...

(b) Selon la réponse au 2.(a).



3. On a donc la figure suivante :



Je sais aussi que : IM, IJ et IK sont coplanaires donc il existe 2 réels x et y tels que : IM = xIJ + yIK.
De plus : E et F tels que : BE = xBA et CF= yCD

Ici, je ne sais pas si je dois là aussi dresser un repère pour mieux travailler parceque là je tourne un peu un rond...


En gros, j'ai besoin qu'on me montre le chemin à suivre .
Merci d'avance.

salut,
tout d'abord hypothèse et conjecture ne sont pas équivalent, ils seraient même opposés. Une hypothèse et un point de départ sur lequel on s'appuie pour prouver autre chose. Une conjecture est une approximation du résultat à obtenir, fait à "l'instinct".
Ensuite n'hésite pas lorsque tu trouve un résultat de le reporté sur la figure, même si c'est au brouillon, ça t'aidera à y voir plus clair.

Reprenons ensuite les premières questions dans l'ordre.
1) a)c'est la bonne figure(facile)

b)dans tes différents cas regarde si tu ne peut pas trouver un point particulier pour g si E et au milieu de [AB] et F au milieu de [CD]. sinon c'est bien explicite bien par contre dans ta réponse ou est alors G, puisque c'est la question.

c)la ta réponse est je pense un peu vague pour la première partie de la question. Essaye de trouver ou se trouve cette droite. Pour la seconde partie, ta réponse est fausse, de plus on parlais de droite, il n'y a pas de raison de parler ici de segment. "cette ensemble" fait référence à la première partie de la réponse. Pour t'aider essaye de tracer tout abord la droite que tu trouve si E est en A puis dans un autre point. (même dans l'espace si la droite n'est pas parallèle au plan du dessin, le milieu d'un segment, est le milieu du trait qui représente ce segment). La réponse est du style la droite se déplace ...etc.

d)Pour la dernière question de cette exercice essaye toujours sur ton dessin de visualiser avec toute les infos que tu as ajoutés de répondre.

Voilà pour la première partie, on verra la suite plus tard.
bonne chance.

1)b) Dans les points particuliers il y a :



c) G semble décrire une droite qui, au milieu de [CD] le coupe perpendiculairement. Cette droite peut être confondue avec (AD) et (AC).A part dire que le segment s'allonge ou rapetisse je ne vois pas ce que je peux dire.

d) P doit se trouver dans le plan (BCD)?

Pour c) les réponses ne sont pas juste, dans la première partie E et A sont confondus, on se retrouve donc dans le plan du triangle ACD.
J'ai fait un schéma pour t'aider(bon il est très moche, et pas à l'échelle, mais c pour te donner une image) :

Ensuite pour la seconde partie il suffit de remplacer A par E, et De replacer se triangle dans le tétraèdre pour voir le changement, et n'oublie pas on cherche à déterminer l'ensemble des points possibles pour G.

1)b) Dans les points particuliers il y a :




c) Quel ensemble semble décrire le point G lorsque F décrit (CD)?
G serait le milieu du segment reliant les milieux des côtés [AC] et [AD]?

Comment semble évoluer cet ensemble lorsque E se déplace sur (AB)?

C'était pas mon histoire de segment qui grandit etc?

d) L'ensemble E se trouverait donc dans le plan (ACD)?


2. (a) Il faut garder E sur A?

On aurait donc AG = GF

on reprend le point 1) c)
dans la question 1) b), il y a deux cas ou E est sur A, il faut déjà se servir de ses cas. ensuite les conjectures qui doivent être fais, doivent préciser comment est orienter cette droite, et à quel distance, par rapport aux éléments connues.

et fais bien attention, c'est l'ensemble P, des points G possible qui nous intéresse. et non E ou F.

Si tu as des difficultés à voir les choses multiplie les schéma. et n'hésite pas même si c'est chiant à en posté sur le forum. essaye de voir les choses d'abord dans les cas simples.

1)b) Dans les points particuliers il y a :




1)(c) Je dois donc me servir de ces 2 cas :




Premier cas :


La droite (FE) est confondue mais après, la distance, l'orientation et etc j'ai l'impression que tout est déjà dans ma réponse du 1)(b)...


Second cas :



Même chose : (EF) est confondue mais après..

Pour les schémas en fait j'ai un logiciel qui me permet de les faire et avec ça je déplace les points mais même avec ça et des schémas papier j'ai du mal...

je crois que je vois ce que tu ne comprend pas.
Je qui nous intéresse n'est pas le segment [EF], mais le milieu de se segment, càd G.
Prends le cas ou E est confondus avec A, si F est en C, G est alors le milieu du segment [AC], si F est en D G est le milieu de [AD].
Dans les autres position de F, G est sur la droite, entre ces deux milieux, la réponse est alors la droite passant par les milieux de [AC] et [AD], qui est parallèle à (CD).
Voilà la tu as la réponse à la première partie de la question, l'important est cependant que tu comprenne comme ont y arrive.
Pour la suite de la question voit comment cette droite se déplace lorsque E parcourt (AB).

1)b) Dans les points particuliers il y a :



(c) On a 2 positions spéciales :


Mais, pour toutes les autres positions de G, ce dernier se déplace sur la droite reliant les milieux des côtés [AD] et [AC].




Lorsque E parcourt (AB), G sort de cette droite.

tu est sur la bonne voie, lorsque E n'est plus sur A, trace dans ton tétraèdre le triangle ECD, les milieux de [EC] et [ED], et puis aussi si E est en B, ça devrais te permettre de préciser un peu ta dernière réponse, et ainsi de donner une réponse précise pour la question suivante.

PS: je ne vais pas pouvoir répondre à nouveau se soir, mais blague Cuicui si il est disponible pourra poursuivre.

1)b) Dans les points particuliers il y a :




(c) On a 2 positions spéciales :


Mais, pour toutes les autres positions de G, ce dernier se déplace sur la droite reliant les milieux des côtés [AD] et [AC].




On observe que (XY) est parallèle à (JZ) et lorsque E est en B, les points X et Y sont confondus avec les points I et K.





[Merci pour les explications ]

Bonsoir MrTheYo,

Je reprend donc la main comme le suggérait Cuicui Masqué.

Alors tes observation sont maintenant bonnes (bon boulot cette après midi ). Sinon, une simple chose, évite de parler de droite (JZ) et (XY) car notre ensemble ne dépasse pas du tétraèdre comme tu as du le constater. Il est donc préférable de parler de segment [IZ] et [XY].

Maintenant, tu peux donc émettre une conjecture pour le plan sur lequel se déplace le point G. Car il s'agit bien d'un plan comme te le montre ton dernier dessin où on voit justement G qui se balade dans le plan en question.

Puis on passera à la démonstration de cette conjecture qui est la deuxième partie qui est en deux temps d'ailleurs car on montre une égalité entre deux ensemble de points en montrant que l'un est inclus dans l'autre et inversement et c'est ce schéma de démonstration que te propose la question 2).

Bon courage donc pour le début de celle-ci!

G se balade donc dans le plan (DEC).

Non ce n'est pas (DEC) car G ne parcourt qu'un segment dans (DEC) et non pas tout le plan.

D'ailleurs ton dessin te le montre que dans le plan (DEC) il n'y a qu'un segment qui est parcouru.

Nous on cherche sur quel plan G, se balade entièrement.

Regarde les point que tu cites et que tu as ajouté toi-même. Tu va voir qu'il y a un plan qui est parcouru totalement par G. Tu peux aussi utiliser la question 1)b) pour voir quelles sont les valeurs que prend G lorsque E et F sont sur les points de la figures.

Le plan (EXY)

Alors c'est presque celà mais souviens-toi que le point G doit parcourir tout le plan que tu proposes.

Or G n'est jamais égale à E par exemple.

Mais nous ne sommes plus très loin là.

Ah oui! J'oubliais que je peux citer G! DOnc, nous sommes dans le plan (JZG)

Hum, citer G c'est pas très malin car on cherche dans quel plan se situe G alors forcément il appartiendra au plan .

Alors réfléchie et rien ne t'empêche de t'inspirer des la deuxième partie poru confirmer ta conjecture par exemple mais en utilisant tes propres points c'est un moyen de montrer que tu as compris aussi .

Tu vas y arriver entre ton dernier post et celui d'avant tu vas me trouver la réponse je le sens.

(CDXY)?

G ne prend jamais la valeur D ou C.

N'oublie pas ce qu'on cherche à conjecturer, c'est l'ensemble que parcourt G. Donc l'ensemble des points que peut prendre G.

X, Y, Z et J peuvent être pris par G par exemple, tu peux aussi prendre des point particulier que prennent X et Y pour finir ta conjecture. Trois points suffise d'ailleurs pour définir un plan.

(EIK)!

E n'est jamais pris par G mais nous sommes vraiment plus loin là .

Tu vas y arriver, t'inquiète pas.

On ne prend pas E donc.. (BKI)?

Réfléchie 30s, il faut que ce soit un point que peut prendre G!

Or G ne peut pas en prendre beaucoup des points qu'on connaît déjà .

G est le milieu du segment [XY] et peut aussi être celui de [JZ].