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 Exos Maths spé.

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MrTheYo



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MessageSujet: Exos Maths spé.   Ven 5 Sep - 14:05

Salut à tous!
J'annonce donc mon retour sur le forum avec des exercices de spé. Maths que voici. Sur les 4 j'ai réussi à en faire un entièrement et un aux 3/4. Je ne sais par où commencer pour les 2 autres donc j'espère que l'on pourra m'aiguiller ^^.


-------------------------------

Citation :
Exo 1 :

Un nombre entier naturel a pour écriture décimale : n=1a654b, a et b étant des chiffres (donc des nombres entiers compris entre 0 et 9).
Déterminer tous les couples (a,b) tels que n soit divisible à la fois par 3 et par 5.

L'exercice que j'ai su faire. Il suffit de remplacer b par 5 ou 0 pour rendre le nombre n divisible par 5. Ensuite, on a donc deux cas et, on fait la somme des chiffres du nombre et on regarde si cette somme est un multiple de 3.

On a donc les couples suivants :

(a,b) appartient à : {(2,0) ; (5,0) ; (80,) ; (0,5) ; (3,5) ; (6,5) ; (9,5)}



-------------------------------

Citation :
Exo 2:

En distinguant deux cas, démontrer que le nombre A = n^5 -n est pair quelquesoit la valeur de l'entier naturel n.

Ici, j'ai tenté de remplacer n par un nombre impair (en l'occurrence 3) et un nombre pair (en l'occurrence 2) : on tombe toujours sur A pair.
Sinon, j'ai tenté de factoriser A et je trouve A = n (n^4 -1). Après, je ne vois pas quel chemin emprunter pour mener à bien ma démonstration...



-------------------------------

Citation :
Exo 3 :

Existe t-il deux nombres entiers naturels a et b tels que : a²-b² = 98 ?

Déjà, les chiffres ne marchent pas : le plus grand de ceux-ci étant 9 donc le plus grand carré des chiffres est 81 < 96. Or, on a un - en a² et b². On pourrait alors tenter de transformer ce - en + en rajoutant un autre - mais, le carré de b gène car cela nous fera :
- * - * - = -. Il est donc impossible de trouver a et b compris entre 0 et 9.
Par contre, j'ai essayé avec toutes sortes de nombres et, ça ne marche jamais mais, je ne sais pas comment le démontrer...

-------------------------------

Citation :
Exo 4 :

a, b, c sont trois nombres entiers compris entre 100 et 400. On sait que c est un multiple de107.Existe t-il une solution au système suivant?

a + b + b = 642
abc = 6420000

Ici, on peut déjà limiter les valeurs de c car, c'est un multiple de 107 compris dans l'intervalle [100 ; 400] --> On a donc trois valeurs possibles de c : 107 ; 214 et 321.

1er cas : c = 107

a + b + 107 = 642 --> a + b = 535 --> a = 535 - b
ab * 107 = 6420000 --> ab = 60000 --> a = 60000/b

donc :

535 - b = 60000/b --> 535b -b² = 66 000


2nd cas : c = 214

a + b + 214 = 642 --> a + b = 428 --> a = 428 - b
ab * 214 = 6420000 --> ab = 30000 --> a = 30000/b

donc :

428 -b = 30000/b --> 428b -b² = 30000


3ème cas : c = 321

a + b +321 = 642 --> a + b = 321 --> a = 321 -b
ab * 321 = 6420000 --> ab = 20000 --> a = 20000/b

donc :

321 -b = 20000/b


Seul problème, les valeurs que cela me donne ne collent qu'à un calcul...


Voilà, j'ai finis mon long discours et espère avoir un ptit coup de main.
Merci d'avance
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Ven 5 Sep - 16:31

Bonsoir et rebienvenu parmi nous ! J'espère que les vacances ont été car elles sont bien finies à première vue.

L'exercice 1 est juste après n'oublie pas de bien le rédiger on montrant bien al séparation des deux cas b=0 et b=5 et ensuite comment tu en déduit les valeurs de a


Dans l'exercice 2, il s'agit bien de nombre même si les chiffre sont compris dans les nombres se limité au cas des chiffre (entre 0 et 9) est une bonne idée pour voir comme celà se passe mais n'aidera pas forcément les choses. Mais à ce moment là comment faire car on ne peut pas tester tous les nombres poru montrer que pour tout les nombres A est toujours pair vu qu'il y a une infinité de nombres nous ne serions pas sortis Wink.

Donc pour s'en sortir, on peut faire une chose simple c'est de scinder les nombres en deux en fonction de leur parité. En effet, un nombre est soit pair soir impair. Et un nombre pair est de la forme 2k et un nombre impair est de la forme 2k+1 (avec k un entier quelconque).

Il suffit donc de considérer les deux cas en remplaçant n par 2k puis n par 2k+1. Mais n'oublie pas le but c'est de montrer que A est pair et donc de la forme 2p avec p un entier quelconque Wink.


Dans l'exercice 3, ici on nous parle encore de nombre mais on peut tester avec des chiffres pour s'apercevoir en effet que les chiffre ne convienne pas car le plus grand carré c'est 81. Donc l'intuition serait peut-être de montrer que l'égalité n'est pas possible. Pour celà, il y a plusieurs moyen mais on peut déjà constater que les deux exercice précédent jouait sur les divisibilités des nombres. On peut donc penser que nous devons avoir le même état d'esprit pour cette exercice aussi.

Donc 98=2*49 et 49=7² donc la décomposition en facteur premier de 98 c'est 2*7*7. Celà nous dit donc que si le couple (a,b) existe alors a²-b² est divisible par 2, 7, 14 et 49.

Bon maintenant, nous avons une addition ou plutôt une soustraction ici et pour travailler mais pour travailler avec les divisibilité, il est préférable d'avoir des produit de facteur. Il faut donc factoriser a²-b² (un classique du genre Wink je te fais pas l'affront de te demander ce que cela donne) en effet a²-b² = (a-b)*(a+b).

N'oublions pas notre but, il faut qu'on montre que le couple n'existe pas, on va donc raisonner par l'absurde. En effet, on va supposer qu'il existe bien un couple d'entier (a,b) tel que a²-b² =98

Celà signifie donc que (a-b)*(a+b)=2*7*7

Reste à voir les 3 cas possible et de montrer que dans ses 3 cas il y a une contradiction.



Pour l'exercice 4, ton raisonnement est bon mais pourquoi ne vas-tu pas au bout de celui-ci ? En effet dans chacun des cas tu arrive à une équation du second degré en b, il faut voir si il y a des solutions et conclure tout simplement Smile. La question étant existe-t-il un triplet qui répond au problème ? Donc si tu en trouve ne serait-ce qu'un et bien la réponse est oui et si dans les 3 cas tu en trouve pas et bien la réponse est non Wink.

Par contre fait attention à la rigueur dans tes calcul en effet, tu oublies un cas important qu'il faut traité au départ dans cette exercice. En effet, lorsque tu écrits ab = 60000 --> a = 60000/b et bien tu a un énorme sous-entendu qui est que b est différent de zéro mais si tu ne le dis pas quelque part rien ne stipule qu'il est non nul Wink. Donc là il y a un manque de rigueur mais le raisonnement reste bon ce qui est le principale.


Le bilan de tes 4 recherches est prometteur pour la suit, tu as un bonne esprit de terminale avec une recherche intuitive même si celle-ci n'abouti pas forcément c'est cette recherche où tu teste certain cas poru essayer de t'aider et de développer ta vision de l'exercice qui est nue très bonne façon de faire. Je t'encourage fortement à continuer dans cette optique là: "lorsque je suis coincé je teste quelque chiffre ou nombre ou fait quelque tracé pour mieux visualiser les choses". C'est ainsi qu'on doit appréhender les maths en tout cas Wink. Très bonne état d'esprit de début d'année !

Bon courage pour la finalisation des 3 derniers exercices et @bientôt au sein du forum!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Dim 7 Sep - 17:24

Salut et désolé de te répondre si tard j'ai été indisponible tout ce week-end... Merci pour les compliments que j'ai pu lire c'est toujours sympathique Very Happy. En tout cas, voici ce que j'ai ajouté suite à tes conseils et explications :


Exercice 1 : Ne t'inquiètes pas pour la rédaction, j'ai suivi le modèle donné en présentant 2 cas donc, ça rejoint ton idée donc sur ce coup là, c'est bon ^^.


Exercice 2 : Nous avons donc ici 2 cas :

(1) : les nombres pairs où n = 2k
(2) : les nombres impairs où n = 2k + 1

1er cas : Nombres pairs :

A = n^5 - n
A = (2k)^5 - 2k
A = 2k * 2k * 2k * 2k *2k -2k
A = 32k^5 -2k
A = k(32^4 -2)
A = 2k(16k^4 -1)

Explications : k^4 peut donner soit un nombre PAIR soit un nombre IMPAIR selon le k choisi mais, le multiplier par 16 qui est un nombre pair donnera forcément un nombre pair.

Retirons 1 à ce nombre pair --> On obtient un nombre impair.
On multiplies ce nombre impair par 2k qui est forcément un nombre pair : on obtient donc un nombre PAIR.

Donc, le 1er cas vérifie le fait que A est un nombre pair si k est lui-même pair.


2nd cas : Nombres impairs :


A = n^5 - n
A = (2k+1)^5 -2k +1
A = [(2k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+1)] - (2k+1)
A = [(4k² +4k +1 +4k² +4k +1)(2k +1)] -(2k +1)
A = 8k² +8k +1*(2k+1)]-(2k+1)
A = 16k^3 +8k² + 16k² + 8k + 2k +1 -2k-1
A = 16k^3 + 24k² +8k

A = k(16k² +24k +8)
A = 2k (8k²+12k +4)

Explications : * k² peut donner un nombre pair ou impair selon k mais, en le multipliant par 8 qui est pair, on obtiendra forcément un nombre PAIR.

* 12*k donnera forcément un nombre pair quelque soit k car pair * pair = pair et impair * pair = pair quand même... --> On a donc pair + pair + 4 qui est pair donc, on aura forcément un nombre PAIR.

On a donc : 2k * PAIR avec 2k qui donnera toujours et forcément un nombre pair donc : pair * pair = PAIR.

Ce second cas vérifie également le fait que A est pair avec ici, un k impair.


Conclusion :

Nous venons de voir que si k est pair, A est pair et que si k est impair, A est pair quand même.

--> A est est donc pair quelque soit la valeur de l'entier naturel n.


Exercice 3 :

a² -b² = 98

avec :

98 = 2*49 = 2*7² = 2*7*7 donc, si le couple (a;b) existe alors, a²-b² est divisible par 2, 7, 14 et 49 (comme tu le disais).

ET : a² - b² = (a-b)(a+b) --> Identité remarquable

Je suppose donc que le couple entier (a,b) existe tel que :

a² - b² = 98
(a-b)(a+b) = 2*7*7

Après, tu parles de 3 cas mais, à part mettre le côté droit sur 2 dans un cas et sur 7 dans l'autre, je ne vois pas du tout ce que je peux faire...



Exercice 4 :

Dans le cas 1, je suis avec :
535-b = 66000/b --> 535b -b² = 66 000

Dans le second cas, je suis avec :
428-b = 30000/b --> 428b -b² = 30000

Dans le 3ème cas, je suis avec :
321 -b = 20000/b --> 321b -b² = 20000

En fait, pour ces résolutions, le b² me gêne car, je ne sais pas comment appréhender le calcul...



Sinon, l'exercice 2 me semble bon dans le raisonnement donc merci de m'avoir mis sur la piste. Pour le 3, je ne vois vraiment pas et au 4, je bloque sur la fin de l'exo sur ue résolution donc c'est bête je trouve Mad . En tout cas, merci pour ta réponse rapide et tes conseils (comme toujours ^^).




PS : T'avais pas des exams en fin d'année dernière?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Dim 7 Sep - 20:06

Les examens de toutes l'équipe se sont bien passé d'ailleurs Smile. Passage en année supérieurs poru tout le monde (dernière année d'école d'ingénieur pour les uns et prépas agreg pour les autres). Merci d'avoir posé la question Smile.


Sinon, pour l'exercice 2, tu te compliques la vie dans la rédaction Wink. En effet, dès que tu as mis 2 en facteur c'est fini car tout nombre multiplié par 2 est pair tout simplement.

Alors pour le 4, tu n'a pas l'habitude de voir ça comme cela. En effet, si je remplace le b par un x, tu va tout de suite voir une équation du second degré qui se résout avec le discriminant et la procédure habituelle Wink. Et bien, le fait que ce soit un b ne change pas le soucis, il s'agit bien d'une équation du second degré (ou trinôme du second degré) en b (au lieu que ce soit en x).


Sinon pour la 3 c'est la plus difficile, je l'avoue. En effet on arrive bien à chercher un couple (a-b)*(a+b)=2*7*7

Alors on sait que a-b est forcément plus petit que a+b, jusque là j'ai pas inventé la poudre. Maintenant le seul moyen d'obtenir 98 c'est soit de faire 1*98 ou 2*49, soit faire 7*14 (et mettant le plus petit facteur ne premier). Tu as donc 3 cas possible de trouver se chiffre en multipliant 2 facteurs entre eux.
On se ramène donc à la résolution d'un système dans chacun des cas. Le premier cas 1*98 donne:

a-b=1 et a+b = 98 (tu vas vite t'apercevoir qu'il n'y a pas de solution à ce système => conclusion, il n'existe pas de couple (a,b) tel que a-b=1 et a+b=98)

Et tu continues avec les deux autres cas qui vont pas avoir de solution non plus (sauf erreur de ma part). La conclusion sera donc qu'il n'y a pas de couple (a,b) avec a et b deux entier naturel (donc positifs en fait) vérifiant (a-b)*(a+b)=98.


Enfin, les compliments étaient là car ils méritent de l'être tout simplement, je ne dis pas que tu n'auras pas de travail loin de là mais que tu as un très bon état d'esprit pour engager une terminale en spé maths en tout cas.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas si des choses ne sont pas encore claires.

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Lun 8 Sep - 19:09

Re et bien joué pour vos exams même si ça ne m'étonne pas plus que ça Very Happy.
Voici donc la suite de mes exos :


Exo 2 : En fait, là, j'ai besoin de mettre toute l'explication pour m'y retrouver moi. Mais, je pourrais très bien la zapper lors de la recopie.


Exo 4 : Je vais reprendre où j'en étais :

Dans le cas 1, je suis avec :
535-b = 66000/b --> 535b -b² = 66 000
donc : -b² +535b -66000. Je remplace b par x pour me faciliter le travail :

-x² + 535x -66000 = 0

Delta = b² -4ac = 535² -4(.1*(-66000))
Delta = 286225 - 264000 = 22225

* x1 = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [-535 - Racine(22225)] / -2
* x2 = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [-535 + Racine (22225)] / 2

donc : b = [-535 - Racine(22225)] / -2 OU b = [-535 + Racine (22225)] / 2

Je peux donc trouver a : a = 66000/b

donc : a = 66000 / [[-535 - Racine(22225)] / -2]
OU a = 66000 /[[-535 + Racine (22225)] / 2]

On a donc 2 couples démontrant les égalités :

( 66000 / [[-535 - Racine(22225)] / -2] ; [-535 - Racine(22225)] / -2)
( 66000 /[[-535 + Racine (22225)] / 2]; [-535 + Racine (22225)] / 2)





Dans le second cas, je suis avec :
428-b = 30000/b --> 428b -b² = 30000
428b -b² = 30000 --> -b² + 428b -30000 = 0

Je remplace b par x pour me faciliter le travail :

-x² + 428x -30 000 = 0

Delta = b² -4ac
Delta = 428² -4 (-1*(-30000))
Delta =183184 - 120000 = 63184

* x1 = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [-428 - Racine(63184)] / -2
* x2 = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [-428 + Racine(63184)] / -2

Donc, au final, j'ai :
b = [-428 - Racine(63184)] / -2 OU b =[-428 + Racine(63184)] / -2

Je peux donc calculer a : a = 30000 / b

donc : a = 30000 / [-428 - Racine(63184)] / -2
OU a = 30000 / [-428 + Racine(63184)] / -2

On a donc 2 couples démontrant les égalités :

( 30000 / [-428 - Racine(63184)] / -2; [-428 - Racine(63184)] / -2)
( 30000 / [-428 + Racine(63184)] / -2; [-428 + Racine(63184)] / -2)




Dans le 3ème cas, je suis avec :
321 -b = 20000/b --> 321b -b² = 20000
321b - b² = 20000 --> -b² + 321b -20000 = 0

Je remplace b par x pour me faciliter le travail :
-x² +321x -20000 = 0

Delta = b² -4ac
Delta = 321² -4(-1*(-20000))
Delta = 103041 - 80000 = 23041

* x1 = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [-321 -Racine(23041)] / -2
* x2 = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [-321 -Racine(23041)] / -2

donc :

b = [-321 -Racine(23041)] / -2 OU b = [-321 -Racine(23041)] / -2

Je peux donc calculer a :

a = 20000 / b
a = 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2 OU
a = 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2

On a donc 2 couples démontrant les égalités :

( 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2 ; [-321 -Racine(23041)] / -2)
( 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2 ; [-321 -Racine(23041)] / -2)



CONCLUSION GENERALE : 6 couples répondent à ce système d'équation :

( 66000 / [[-535 - Racine(22225)] / -2] ; [-535 - Racine(22225)] / -2)
( 66000 /[[-535 + Racine (22225)] / 2]; [-535 + Racine (22225)] / 2)
( 30000 / [-428 - Racine(63184)] / -2; [-428 - Racine(63184)] / -2)
( 30000 / [-428 + Racine(63184)] / -2; [-428 + Racine(63184)] / -2)
( 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2 ; [-321 -Racine(23041)] / -2)
( 20000 / [-321 -Racine(23041)] / -2 ; [-321 -Racine(23041)] / -2)



Je verrais le 3 après, je vais d'abord voir si celui-ci est correct.
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Lun 8 Sep - 21:49

Alors la méthode semble bonne au niveau de la résolution des équations et du bilan de chaque cas en tout cas.

Sinon pour les calculs j'ai un léger doute car les racines ne tombent pas justes et le plus souvent on ne juge pas sur les calculs mais sur la méthode dans ce genre d'exercices donc ça me paraît bizarre que les racines ne tombent pas juste. A ta place, je reprendrai la méthode pour cette exercice depuis le début pour refaire les calculs (2 fois valent mieux qu'une après tout).

Enfin fait attention, la solution au système est un triplet (a,b,c) et non un couple (a,b). Ne pas oublier l'énoncer en route lorsqu'on conclut Wink.

Si tu as des soucis sur le calcul en lui-même, je referai les calculs si tu veux mais ce qui est surtout intéressant ici c'est la méthodes car elle est classique. Il faut donc savoir remarquer des équations du second degré même si l'inconnue n'est pas x pour pouvoir continuer la résolution.

D'ailleurs en passant pour savoir si tes calculs sont juste il y a un moyen radical c'est de vérifié si tes solutions vérifie le système de départ car après tout nous cherchons à la résoudre Wink. C'est idiot comme raisonnement mais c'est très utile dès fois de faire une vérification bête pour être sur que notre calcul soit juste.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas si tu as des soucis sur ton calcul ou sur une partie du raisonnement.

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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mar 9 Sep - 16:15

Salut!
Suite à tes conseils, j'ai refait tous les calculs (et tout l'exo par la même occasion) et oui, il y avait bien une valeur juste!

Voici mes résultats :

a, b et c appartiennent à [100 ; 400]
--> c peut donc avoir 3 valeurs : c = 107 ou c = 214 ou c = 321.

Je peux donc distinguer 3 cas :

Cas 1 : c = 107
Cas 2 : c = 214
Cas 3 : c = 321



Cas 1 :

a + b + 107 = 642 --> a + b = 535
ab * 107 = 6420000 --> ab = 60000

Je cherche a :

a = 535 - b
a = 60000 / b

Donc :
535 - b = 60000 / b
(535-b)b = 60000
535b - b² = 60000

--> Je remplace b par x (pour m'aider) :

-x² + 535x -60000


Delta = b² - 4ac = 535 ² -4 (-1*(-60000))
Delta = 286225 - 240000
Delta = 46225

x1 = [-b - Racine(Delta)] / 2a = [-535 - Racine(46225)] / -2
x1 = [-535 -215] / -2 = -750 / -2 = 375.

x2 = [-b + Racine(Delta)] / 2a = [-535 + Racine(46225)] / -2
x² = [-535 +215] / 2a = -320 / -2 = 160.

b a donc 2 valeurs : 160 ou 375


--> Je peux maintenant calculer a :

avec b = 160
a = 535 -b = 535 -160 = 375
a = 60000 / 160 = 375

OU

avec b = 375
a = 535 - b = 535 -375 = 160
a = 60000 / 375 = 160

a a donc 2 valeurs : 160 ou 375

Je distingue donc des couples à la fin de ce 1er cas : (a ; b ; c)

(375 ; 160 ; 107)
(160 ; 375 ; 107)



------------------------


Cas 2 :

a + b + 214 = 342 --> a + b = 428
ab * 214 = 6420000 --> ab = 30000

Je cherche a :

a = 428 - b
a = 30000 / b

donc :

428 -b = 30000/b
(428 -b)b = 30000
428b - b² = 30000
428b - b² -30000 = 0

Je remplace b par x (toujours pour m'aider) :

-x² + 428x -30000


Delta = b² - 4ac = 428² - 4(-1*(-30000))
Delta = 183184 - 120000
Delta = 63184

x1 = [-b - Racine(Delta)] / 2a = [-428 - Racine(63184)] / -2
x2 = [-b + Racine(Delta)] / 2a = [-428 + Racine(63184)] / -2

b a donc deux valeurs : [-428 - Racine(63184)] / -2 ou [-428 + Racine(63184)] / -2


--> Je peux maintenant calculer a :

avec b = [-428 - Racine(63184)] / -2
a = 428 - b
a = 428 - [-428 - Racine(63184)] / -2

a= 30000/b = 30000 / [-428 - Racine(63184)] / -2 = 428 - [-428 - Racine(63184)] / -2


OU

avec b = [-428 + Racine(63184)] / -2
a = 428 - [-428 + Racine(63184)] / -2
a = 30000 / b = 30000 / [-428 + Racine(63184)] / -2

a a donc 2 valeurs : 428 - [-428 - Racine(63184)] / -2 ou 428 - [-428 + Racine(63184)] / -2

Je distingue donc des couples à la fin de ce 2nd cas : (a ; b ; c)

(428 - [-428 - Racine(63184)] / -2 ; [-428 - Racine(63184)] / -2 ; 214)
(428 - [-428 + Racine(63184)] / -2 ; [-428 + Racine(63184)] / -2 ; 214)



------------------------


Cas 3 :

a + b + 321 = 642 --> a + b = 321
ab * 321 = 6420000 --> ab = 20000

Je cherche a :

a = 321 - b
a = 20000 / b

donc :

321 - b = 20000 / b
(321-b)b = 20000
321b - b² = 20000
321b - b² -20000 = 0

Je remplace b par x (pour m'aider encore et toujours) :

-x² + 321x -20000 = 0

Delta = b² - 4ac = 321² -4(-1*(-20000))
Delta = 103041 - 80000
Delta = 23041

x1 = [-b - Racine(Delta)] / 2a = [-321 - Racine(23041)] / -2
x2 = [-b + Racine(Delta)] / 2a = [-321 + Racine(23041)] / -2

b a donc 2 valeurs : [-321 - Racine(23041)] / -2 ou [-321 + Racine(23041)] / -2


--> Je peux maintenant calculer a :

avec b = [-321 - Racine(23041)] / -2
a = 321 - b = 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2
a = 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2

a = 20000 / [-321 - Racine(23041)] / -2 = 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2

OU

avec b = [-321 + Racine(23041)] / -2
a = 321 - b = 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2
a = 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2

a = 20000 / [-321 - Racine(23041)] / -2 = 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2

a a donc 2 valeurs : 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2 ou 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2

Je distingue donc des couples à la fin de ce 2ème et dernier cas : (a ; b ; c)

( 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2 ; [-321 - Racine(23041)] / -2 ; 321)
( 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2 ; [-321 + Racine(23041)] / -2 ; 321)


CONCLUSION GENERALE : il y a donc 6 couples répondant au système donné :

(375 ; 160 ; 107)
(160 ; 375 ; 107)
(428 - [-428 - Racine(63184)] / -2 ; [-428 - Racine(63184)] / -2 ; 214)
(428 - [-428 + Racine(63184)] / -2 ; [-428 + Racine(63184)] / -2 ; 214)
( 321 - [-321 - Racine(23041)] / -2 ; [-321 - Racine(23041)] / -2 ; 321)
( 321 - [-321 + Racine(23041)] / -2 ; [-321 + Racine(23041)] / -2 ; 321)


-------------------------


Voilà! Very Happy Normalement c'est bon! A toi de me donner ton avis là-dessus!


Dernière édition par MrTheYo le Mar 9 Sep - 17:27, édité 3 fois
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mar 9 Sep - 16:48

Le premier triplet me plait bien pour ma part car facile de vérifier les deux lignes du système.

Les deux autres sont juste aussi mais pour la valeur de "a" il ne faut pas prendre de valeur approcher car sinon lorsque tu vérifie les deux ligne du système tu retrouve plus le bon résultat Wink. C'est l'avantage des valeur exacte d'ailleurs c'est d'être exactes Wink.

Sinon,

Citation :
(88.31 ; [-428 - Racine(63184)] / -2 ; 214)
(339.6 ; [-428 - Racine(63184)] / -2 ; 214)

La deuxième c'est + racine de delta Wink. Même erreur de recopie pour la deuxième ligne du troisième cas Wink.

La méthode est en tout cas bien comprise je pense et c'est le principale!

Bon courage pour le dernier exercice!

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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mar 9 Sep - 17:28

Voilà, j'ai corrigé ceci : les corrections sont en vert dans le post ci-dessus. Si tu veux jeter un coup d'oeil, au moins ça sera plus simple.

J'ai fait le dernier exercice que je vais poster d'ici peu. (j'ai trouvé le dernier cas fonctionnant...)
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mar 9 Sep - 17:41

Exo 3 :

a et b tels que a² - b² = 98?


Avec 98 = 2*49 = 2*7² = 2*7*7
--> Si (a ; b) existe alors , a² - b² est divisible par 2, 7, 14, 49

ET :
a² - b² = (a-b)(a+b)

-----------------------


Je suppose donc que le couple entier (a;b) existe tel que :

a² -b² = 98
(a-b)(a+b) = 2*7*7


-----------------------


(a-b) < (a+b)
--> j'ai donc 3 façons d'obtenir 98 :

1 * 98
2 * 49
7 * 14



Cas 1 : 1 * 98 = 98

--> (a-b) = 1 et (a+b) = 98

a-b = 1
a+b = 98




a-b = 1
a+b = 98
------------
-b-b = 1-98 --> -2b = -97
b = 48.5

donc :
a - b = 1 avec b = 48.5

a - 48.5 = 1 --> a = 1+48.5 = 49.5
a = 49.5

a et b ne sont pas des entiers donc, ce 1er cas ne fonctionne pas.

Cas 2 : 2 * 49 = 49

-->(a-b) = 2 et (a+b) = 49
a-b = 2
a+b = 49



a-b = 2
a+b = 49
------------
-b-b = 2-49 --> -2b = -47
b = 23.5

a - b = 2 avec b = 23.5
a - 23.5 = 2 --> 2 +23.5
a = 25.5

a et b ne sont pas des entiers donc, ce 2nd cas ne fonctionne pas non plus.


Cas 3 : 7 * 14 = 98

--> (a-b) = 7 et (a+b) = 14

a - b = 7
a + b = 14



a-b = 7
a + b = 14
--------------
-b-b = 7-49 --> -2b =-42
b = 21

a -b = 7 avec b = 21
a -21 = 7 --> a = 7 + 21
a = 28

Ce cas semble fonctionner mais, je vais tout de même vérifier :

a + b = 49

avec a = 28 et b = 21
28 + 21 = 49 donc ce cas-ci fonctionne.


(a-b) = 7 et (a+b) = 14
Il ne me reste plus qu'à déterminer les valeurs de a et b :

a - b = 7
a + b = 14
--------------
-b-b = -7 --> -2b = -7
b = -7/-2 = 3.5

--> b n'est pas en entier naturel --> a et b entiers naturels tels que a² + b² = 98 n'existent pas...
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mar 9 Sep - 19:55

L'exercice 4 est nickel pour moi, surtout que tu constates que l'écriture exacte te permet de vérifier la somme des trois égale à 642 plus facilement. après je n'ai pas pris le temps de vérifier si la multiplication des trois donnait bien ce qu'on cherchait (je te conseille de le faire à la calculatrice avec les valeurs exacte pour être sur qu'il n'y a pas de soucis de ce côté là non plus mais il n'y a pas de raison vu que le raisonnement est juste).

Sinon pour l'exercice 3 tu as donc appliquer rigoureusement ma méthode mais est-ce que tu as compris pourquoi il n'y avait que 3 cas et comment on réussissait à ramener la recherche à la résolution d'un système ?

Sinon la rédaction est bonne pour cette exercice ce qui conclut l'ensemble de ces exercices d'ailleurs.

Bon travail pour se remettre dans le bain d'ailleurs sur la manipulation des entiers et le fait de ne pas oublier dans quel ensemble on travaille. De même qu'on a révisé la résolution de système aussi ainsi que d'autre petites choses élémentaires prises à part mais qui mises bout à bout donne de beaux exercices.

D'ailleurs en passant sur l'élémentaire n'oublie pas dans l'exercice 4 de préciser que b est bien différent de zéro car sinon tu n'a pas le droit de diviser par b Wink. C'est un oublie classique qui peut amener à montrer que 1=2 par exemple (c'est marrant à faire comme démonstration fausse d'ailleurs Wink).

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mer 10 Sep - 10:15

Salut,

Pour l'exo 4, j'avais déjà vérifié à la calculatrice est ça marchait mais merci de me l'indiquer tout de même Very Happy .

Pour l'exo 3, ce que j'ai compris est le fait qu'on joue sur la divisibilité de 98 pour trouver 2 * 7 *7 donc, a² - b² devra être divisible par 2, 7, 14,49.
De même, a² - b² est une identité remarquable donc, on la ramène dans sa forme complète.
on distingue donc 3 cas : 1 *98 ; 2 *49 ; 7*14

Avec (a-b) < (-a+b) en gros, (a-b) aura les chiffres ( 1 , 2 et 7) tandis que (a+b) aura droit aux nombres (98 ; 49 ; 17)...

Ensuite, il suffit de ce servir du système de l'énoncé et de remplacer par c pour trouver b qui donnera a.

En gros, j'ai retenu ça.


+ merci pour la remarque pour l'exo 4. C'est totu bête c'est vria mais ça métais pas venu à l'esprit Laughing.

En tout cas, j'ai trouvé ces petits exercices sympathiques ce qui m'étonne moi-même... Je dois être en train de prendre goût au maths et je sais pas si c'est une bonne chose Shocked.

Encore une fois merci pour tout, c'est super sympa de m'accorder du temps (surtout quand même après tes explications je comprends pas ce qui n'a pas été le cas ici ^^). Merci pour tout et, sachant que j'ai encore des exercices à faire (avantages de la maths spé. en plus...)
je penses que je serais amené à poster de nouveau même si ce n'est que pour une vérification d'exercice (ce que je souhaite lol! )

@ la prochaine!
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mer 10 Sep - 15:46

Pour l'exercice 3 tu as en effet retenu l'essentielle qui joue sur les critère de divisibilité en effet grâce à une factorisation du premier membre. Car pour jouer sur la divisibilité, il faut bien avoir une multiplication quelque part si on veut s'en sortir Wink.

De rien en tout cas, mon temps est un peu plus compté cette année mais j'accorde toujours le même nombre d'heure à ce forum pour me "détendre" des maths théoriques que j'ai en prépas agreg.

Au fait, le fait que ut commences à aimer les maths n'est pas forcément anodin car on apprécie plus quelque chose qu'on fini par comprendre que quelque chose qui nous reste hermétique Wink.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mer 10 Sep - 20:02

Attention, en recopiant j'ai constaté une erreur dû à de la recopie : je vais corriger cela tout de suite :

Cela concerne l'exercice 3 --> Cas 3 :

Cas 3 : 7 * 14 = 98

--> (a-b) = 7 et (a b) = 14

a - b = 7
a b = 14



a-b = 7
a b = 14
--------------
-b-b = 7-49 7-14
-2b = -7
b = 3.5


donc : a-b = 7 avec b=3.5
a-3.5 = 7
a = 7+3.5 = 10.5


a et b ne sont pas entiers donc, ce dernier cas ne fonctionne pas

Conclusion : a et b entiers tels que : a² - b² = 98 n'existent pas.



Normalement, là tout est bon Very Happy
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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Mer 10 Sep - 20:38

En effet, je m'étais axé sur la méthode et non les calculs sur cette exercice là car c'est celle-ci qui m'intéressait le plus mais en tout cas très bonne autocorrection de ta part Smile.

Nous sommes jamais à l'abri d'erreur de recopie surtout sur le net, faut juste l'éviter dans les copie surtout Wink.

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MessageSujet: Re: Exos Maths spé.   Aujourd'hui à 16:03

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