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 [1ereS-Term S] Fonction et dérivée

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Nakor



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MessageSujet: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 6 Sep - 9:04

Salut !

Bon j'ai paumé le sujet de mon exercice donc vous l'aurez pas en entier^^, mais je viens juste pour un tout petit problème de dérivée.

En gros le sujet le voici: On a une courbe d'équation y=1/x, et un point A(-3/2;3/2). On a d'autre part un point M qui appartient à l'hyperbole, d'abscisse x. Et f(x)=AM²

Première question: Exprimer f(x) en fonction de x. Rien de bien compliqué, on trouve f(x) = (x+3/2)²+(1/x-3-2)²

Deuxième question: Il faut trouver la dérivée f'(x) de la fonction et vérifier qu'elle se factorise par (x²+1). Là est mon souci. En dérivant l'expression non développé de f(x), je trouve pour f'(x):

f'(x)=(2x^4+3x^3-3x-2)/(x^3)

Pour vérifier qu'elle se factorise par (x²+1), je développe (x²+1)(ax²+bx+c) et j'identifie la nouvelle expression au numérateur de la dérivée.

Et là, zut, je trouve que b=3 et que b=-3.

En développant mon expression de départ de f(x) et en dérivant celle-ci, j'arrive à trouver que f'(x)=(2x^4+3x^3+3x-2)/(x^3), et donc là, plus de problème pour trouver la factorisation avec x²+1.

Mais moi j'aimerais savoir pourquoi je ne trouve pas pareil en dérivant f(x)=(x+3/2)²+(1/x-3-2)².

Voici mon calcul:

f'(x)=2uu'+2vv' = 2(x+3/2) + 2(1/x-3/2)(-1/x²) = 2x+3-2/x^3+3/x² = (2x^6+3x^5-2x²-3x^3)/x^5 = (2x^4+3x^3-3x-2)/(x^3)

Ou est l'erreur ?

Merci d'avance.

Edit: Je suis trop con...


Dernière édition par Nakor le Sam 6 Sep - 18:05, édité 4 fois
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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 6 Sep - 11:20

Bonjour Nakor,

Et bien je vais dire que tu trouve 3 fois la même dérivéé à moins que je ne sois pas concentré.

Par contre cette dérivée est en effet 3 fois fausse. Déjà prenons les chose calmement:

f'(x)=2uu'+2vv' = 2(x+3/2) + 2(1/x-3/2)(-1/x²)

C'est c'est bon et à la ligne d'après tu mets tout sur x6. Mais le dénominateur commun le plus simple c'est x3 ce qui va nous simplifier les calculs:

F'(x) = 2x + 3 - 2/x3 + 3/x²

Donc F'(x) = ( 2x*x3 + 3*x3 - 2 + 3*x ) / x3

En réordonnant les termes, on trouve:

F'(x)= ( 2x4 + 3x3 + 3x - 2 ) / x3


Ton erreur vient de la simplification à la fin de ton calcul, tu simplifies par x² en réalité et toi tu simplifie ton calcul par x5 en haut et x² en bas ce qui t'amène donc ton erreur de calcul.

Je te laisse reprendre ton calcul en forme développer pour voir si tu arrives au même résultat. Mais le mieux est toujours de prendre le PPCM pour mettre au même dénominateur celà évite de tout multiplier et après de simplifier les calculs car le risque d'erreur est souvent dans cette simplification tardive.

Bon courage pour la suite !

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 13 Sep - 11:45, édité 1 fois
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Nakor



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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 6 Sep - 13:40

Ma dérivée avec la forme développée n'était pas fausse, si ? J'ai cherché la dérivée avec la première forme et la forme développé. Il y avait une différence de signes entre les deux mais je ne trouvais pas ou. Merci..

J'ai trouvé la suite du problème:

Il faut ensuite trouvé les limites de f puis dresser son tableau de variation. Rien de bien sorcier.

Par la suite on pose une fonction g=√f .

On nous demande de dresser le tableau de variations de g en justifiant chaque étape. Et là, je ne vois pas comment faire... Ca me semble intuitif puisqu'en faisant la racine carrée de f(x) le sens de variation de g ne peut pas changer par rapport à celui de f, mais comment le monter, ça...
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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 6 Sep - 16:56

Ta dérivée de la forme développée était aussi fausse m^me si en effet j'avais pas vu le changement de signe. Mais tu constates qu'il n'y a pas de terme en x4 ce qui signifie qu'il y avait un problème donc.

Sinon ton raisonnement pour les variation de G est tout à fait juste mais que faut-il utiliser?

En fait, G est une fonction composée et à partir de là, tu peux ressortir tous tes acquis sur les fonctions composées en particulier sur leur sens de variation à partir des fonctions qui la composent. Et c'est bien la croissance de la fonction racine qui permet de dire que les variation de G sont les même que F.

Si dès fois, tu voulais retrouver le résultat rigoureusement et bien tu retourne à la définition de la croissance, tu prend deux point distinct rangé dans un certain ordre et tu appliques F puis la racine pour trouver la variation de G.

Par exemple, tu prend x1, x2 appartenant à un intervalle bien choisi et tu considères x1<x2. Et à partir de là, tu fais comme tu faisais en 2nd. C'est une méthode qui a le mérite de pouvoir retrouver les acquis sur les fonctions composés si on te les demande.

N'hésite pas à poser d'autre question si tu veux que j'éclaircisse un point précis du raisonnement.

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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 6 Sep - 18:08

Merci c'est super. L'idée des fonctions composées m'a traversé l'esprit, mais j'avais complètement oublié qu'on avait étudier le sens de variations des fonctions composées.
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Nakor



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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 13 Sep - 9:41

J'ai commencé la rédaction au propre de mon exercice, et arrivé à cette question je me suis rendu compte d'un truc:

La fonction √x est défini sur R+ donc je peux pas déduire le sens de variation de g sur R- à partir des fonctions composées si ?
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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Sam 13 Sep - 11:52

Alors ta remarque est judicieuse mais tu as en fait la réponse devant tes yeux. En effet, avant de parler de sens de variation, il faut parler d'ensemble de définition et on aurait pas le droit de dire que G est définie sur R* si ce n'était pas le cas.

Mais en fait, le détail qui t'as échappé c'est que f(x) = (x+3/2)²+(1/x-3-2)². Donc F est toujours positive sur R* vu qu'il s'agit de la somme de deux carrés.

Donc lorsqu'on parle de fonction composé on dit que F est définie sur R* à valeur dans R+ et racine carré est définie sur R+. Donc G est bien définie.

Ensuite pour le sens de variation, il suffit de dire que racine carré est croissante sur R+ donc le sens de variation de G est le même que celui de F. A ta place pour ce premier exercice je referai la démonstration ne serait-ce qu'au brouillon pour bien te convaincre du sens de variation et te rappeler comment cela fonctionne théoriquement. Si tu veux que je refasse la démonstration sur un cas simple n'hésite pas.

Bon courage pour la suite !

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MessageSujet: Re: [1ereS-Term S] Fonction et dérivée   Aujourd'hui à 15:59

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