[1ère S] Exos pour demain (mercredi) BIS

Même motif de problème que pour mon premier post... :s

f et g sont les fonctions définies par:


f(x) = (x+3)/(x+1)

et

g(x)= x / (x+2)



On pose h= g "o" f


1) Trouvez l'ensemble de définition de h et calculez explicitement h(x)

2)La fonction k est définie par k(x)= (x+3)/(3x+5)
Les fonctions h et k sont elles égales ?


Voilà merci d'avance.

Dans un premier temps je vais t'orienter vers une question de cours qui nous avait été posés par élodie, il y a quelque temps et c'était justement sur les fonctions composées:

Fonctions Composées

Il te restera encore des questions après cela je pense mais au moins tu auras eu une explicitation du cours sur les fonctions composées qui débloquera peut-être ton exercice. Mais là, il s'agit plus d'un problème de cours qu'un problème sur l'exercice en lui-même.

Pour faire quelque chose de plus condensé, je dirai qu'une fonction composée H=GoF doit être vu que H(x)=GoF(x) avec x dans l'ensemble de définition de H ce qui peut s'écrire aussi H(x)= G(X) avec X=F(x).

Pour l'ensemble de définition de H, il se déduit en fait de l'ensemble de définition de G et de F. En effet, comme tu le constates on applique d'abord F à X puis G à F(x). Ce qui signifie qu'il faut tenir compte de l'ensemble de définition de F pour que F(x) existe mais qu'il faut aussi prendre les x tel que F(x) soit dans l'ensemble de définition de G pour que G(F(x)) existe lui aussi.

Mais lis bien d'abord le lien que je te donne au début et après pose des questions sur les parties du cours qui te gène pour ensuite qu'on puisse passer à l'exercice en soi.

Bon courage!

je mets donc dans un tableau de signes f(x) et g(x) pour savoir dans quel ensemble de définition il se trouve et après h(x) ?

Que vient faire un tableau de signe ici ?

Il s'agit de fonctions définies sous forme de fraction dans un premier temps. Il faut déjà voir, quel est l'ensemble de définition de F et G ?

Soit f la fonction définie par f(x ) = x+3 / x + 1
f existe si et seulement si son denominateur x+1 est different de 0
donc X different de -1
L'ensemble de def de f est donc I = ]-infini, -1[U]-1, +infini[ .
Soit g la fonction définie par g(x ) = x / x + 2
g existe si et seulement si son denominateur x+2 est different de 0
donc X different de -2
L'ensemble de def de g est donc J = ]-infini, -2[U]-2, +infini[ .

H = g o f
Pour que H existe il faut que x appartienne a I et J
H existe si et seulement si x# -1 et x#-2
D( h ) = ]-infini, -2[U]-2,-1[U]-1,+infini[

c'est ça pour la 1) ?

Le raisonnement comment à s'affiner mais c'est pas encore tout à fait ça.

En effet, I et J sont exact. L'ensemble de définition de H sera bien un sous ensemble de I vu qu'on applique d'abord la fonction F donc pour que F(x) existe il faut d'abord être dans I.

Mais parès tu fait une erreur logique lorsqu'on commence les fonctions composées. En effet, la fonction qu'on applique après c'est donc G qui a pour ensemble de définition J mais on ne considère pas G(x) ! En effet, on considère G(X) avec X=F(x) ce qui signifie donc que c'est F(x) qui doit être dans J.

Il faut donc cherche pour quelles valeurs de x dans I, F(x) est dans J.


Est-ce que tu vois mieux le raisonnement qu'il faut faire ou c'est encore flou ?

donc g o f = [ (x/(x+2)) + 3 ] / [ (x/(x+2)) + 1]?

Ici tu as marque FoG et non GoF. En effet, tu as F(X) avec X=G(x), alors que nous on veux G(X) avec X=F(x).

Cela répondra à la 2ème partie del a question 1) et il restera encore à voir pour quelle valeur de x dans I on a bien F(x) inclu dans J poru trouverl 'ensemble de définition de H ce qui revient à cherche l'ensemble des x dans I tel que F(x)#2 vu que J c'est l'ensemble des réels privé de 2.

ok pour g o f. Après je vois pas le problème en tout cas j'arrive pas à le corriger

On a:

Citation :

f(x) = (x+3)/(x+1)

et

g(x)= x / (x+2)

Donc si on veut H(x)= GoF(x) celà veut dire qu'on veut calculer G(X) avec X=F(x)

Si j'écris G(X), cela donne: G(X)= X / (X+2)

Ensuite, il faut remplacer X par F(x)= (x+3)/(x+1)

Et toi tu avais fait l'inverse dans ton calcul tout simplement. Sinon pour l'ensemble de définition, on sait que est à la base dans I, ensuite on sait qu'on doit avoir X#2 c'est à dire F(x)#2 pour que G(X) existe.

Il faut donc résoudre F(x)#2 pour trouver l'ensemble de définition de H sans oublier que nous sommes déjà dans I et donc que 1 est enlever de l'intervalle dans tous les cas.

Avec ceci, je pense que tu vas pouvoir boucler la question 1). Pour la question 2), il faut voir si les fonction sont égale mais attention (!!!!) deux fonctions sont égales si elles ont le même ensemble de définition en plus d'avoir H(x)=G(x) car si elles n'ont pas le même ensemble de définitions alors elle en seront pas totalement égales.

Là aussi c'était assez simple, la question 1) je l'avais assez bien faite maisil me manquit une tite partie pour ce qui est de la question 2) c'étai une déduction mais je pense pas que je l'aurai trouvé bien finement.

Je note la réponse ?

La première question tu avais fait l'inverse en fait. Pour la deuxième question, il s'agit surtout de bien voir ce que signifie une égalité entre deux fonctions.

Tu peux en effet marquer les réponses pour conclure cet exercice après tout.

f(x)= (x+3)/(x+1)
R-{-1}

g(x)= x/(x+2)
R-{-2}

1) Ensemble de définition de h:

x pas égal à -1 (ici c'est pour que f(x) soit bien définie)
------------------------v---------------------
(x+3)/(x+1) pas égal à -2 (ici c'est pour que G(f(x)) soit bien définie)

(x+3)/(x+1) = -2 <=> x+3 = -2*(x+1)
<=> x+3 = -2x-2
<=> 3x= -5
<=> x = -(5/3)

Donc Dh = R- { -1 ; -(5/3) }


x |--f---> (x+3)/(x+1) |---g--> (pour trouver H, on applique d'abord F à x puis on applique G à F(x))

Pour tout x appartenant à Dh

h(x) = [ (x+3) / (x+1) ] / [ ( (x+3) / (x+1) ) + 2 ]
= [ (x+3) / (x+1) ] / [ (x+1) / (3x+5) ]
= (x+3) / (3x+5)

Dh= R - { -(5/3) } (<- Ici, on a pas le droit de dire ça même si h est définie en -1 après explicitation. En effet, vu que H est définie par composition Dh reste égale à R\{-1; -2/5} )


2) On a bien h(x) = k(x) mais Dh pas égal à Dk (En effet, Dk=R\{-2/5} et Dh= R\{-1; -2/5})
Les fonctions h et k ne sont pas égales.
k (-1) = 1 mais h n'a pas d'image pour -1