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 2 petits exos sur les suites

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MrTheYo



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MessageSujet: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 16:34

Salut, je poste aujourd'hui 2 petits exos sur les suites dont un fait entièrement (malgré un léger doute sur l'expression de Un et Vn en fonction de n) et un ou, une conjecture m'empêche de faire mon raisonnement par récurrence qui normalement devrait aller...

Voici les énoncés :

Exercice 1 :

On donne 2 suites (Un) et (Vn) vérifiant les conditions ci-dessous pour tout n :

Un+1 = 3Un + 2Vn
Vn+1 = 2Un + 3Vn

Et : U0 = 1 ainsi que : V0 = 2

On pose ensuite xn = Un + Vn
et : yn = Un - Vn

1. Calculer les valeurs exactes des 5 premiers termes de la suite (Un) et (Vn).
2. Prouver que (xn) est une suite géométrique et que (yn) est une suite constante.
3. En déduire Un et Vn en fonction de n. Quelle vérification peut-on faire?



Exercice 2 :

La suite (Un) est définie par :

U1 = 0
Un+1 = Un + 2n + 1

1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite et conjecturer l'expression de Un en fonction de n.
2. Démontrer ce résultat par récurrence et en déduire la valeur exacte de U2005.



------------------------


Voici donc mes résultats pour l'exercice 1 :

1.
U0 = 1 ; V0 = 2
U1 = 7 ; V1 = 8
U2 = 37 ; V2 = 38
U3 = 187 ; V3 = 188
U3 = 937 ; V4 = 938


(Faut-il que je compte U0 et V0 dans les 5 premiers termes?)

2.
Prouver que (xn) est une suite géométrique :


xn = Un + Vn
donc : xn+1 = Un+1 + Vn+1

Si xn+1 / xn est une constante alors, (xn) sera une suite géométrique.

(Un+1 + Vn+1) / (Un + Vn)
avec : Un+1 = 3Un + 2Vn
et : Vb+1 = 2Un + 3Vn

(Un+1 + Vn+1) / (Un + Vn)
= [3Un + 2Vn + 2Un + 3Vn
= (5Un + 5Vn) / Un + Vn
= 5(Un + Vn) / Un + Vn = 5

5 est bel et bien une constante donc, (xn) est bien une suite géométrique.

Prouver que (yn) est une suite constante :


yn = Un - Vn
donc : yn+1 = Un+1 - Vn+1

--> Yn est constante signifie que quelque soit le n, on obtiendra toujours le même résultat : je peux le prouver en démontrant que : Un - Vn = Un+1 - Vn+1

* Un+1 - Vn+1 = (3Un + 2Vn) + (2Un + 3Vn) = 3Un + 2Vn - 2Un - 3Vn
Un+1 - Vn+1 = Un - Vn

DONC : Un+1 - Vn+1 = Un - Vn
donc : (yn) est bel est bien une suite constante!

3. Exprimer Un et Vn en fonction de n :

Vn = Un +1
Un = Vn -1

Ici, j'ai un gros doute et, je ne vois pas quelles vérifications appliquer...



Exercice 2 :

1. Les 6 premiers termes : (Là aussi, je ne sais pas si je dois compter u1 qui est donné...)

U1 = 0
U2 = 3
U3 = 8
U4 = 15
U5 = 24
U6 = 35


+ Conjecturer l'expression de Un en fonction de n : Là, gros gros doute, je trouve ceci qui est correct je pense mais, qui ne répond pas à la question :


Comme : Un+1 = Un + 2n + 1
alors, Un = Un-1 + 2(n-1) +1

Ca me paraît plus que bancal...

Voilà, déjà, je pense m'être amélioré et certaines questions passent plus facilement désormais mais, il reste toujours des "récalcitrantes" que j'aimerais corriger Very Happy.
Merci d'avance.


Dernière édition par MrTheYo le Mar 16 Sep - 17:59, édité 1 fois
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 17:24

Bonsoir !

Je commence à lire tout va bien, tout commence bien et est très bien rédigé et paf j'arrive au drame !

Citation :
3. Exprimer Un et Vn en fonction de n :

Vn = Un +1
Un = Vn -1

Ici, j'ai un gros doute et, je ne vois pas quelles vérifications appliquer...

Tes soupçon était bel et bien fondé Razz, c'est pas ce qu'on te demande ici. bon alors tout d'abord, tu doutes que c'est faux mais pas moyen de vérification à tes yeux, donc je vais t'en donner un radical.

En effet, exprimer une suite en fonction de n celà signifie qu'à droite le signe "=" il y a une expression seulement avec des n (c'est à dire n, n², ..., 1/n, ....) et des constantes. Donc là vu qu'il y a encore des Un et des Vn à droite du signe "=" c'est forcément faux tout simplement.

Une autre façon de voir qu'il y a un problème c'est que nous sommes à la dernière question de ton exercice et qu'on tu ne te sers pas des Xn et Yn qu'on a posé Wink. Donc en effet, il y a un gros doute que ta réponse soit fausse.

(Xn) est géométrique, tu connais donc sa raison, son premier terme et donc son expression en fonction de n. De même pour (Yn) qui est constante. Mais ces deux suite s'exprime en fonction de Vn et Un, conclusion immédiate on peut déduire l'une et l'autre ne fonction de n car un système de deux équation à 2 inconnue a toujours une solution et ici la solution est unique de surcroît.

Je te laisse reprendre donc cette dernière question. J'étudie l'autre exercice et je reposte après.

Tout compte fait au vu de mes dire je te laisse reprendre l'exercice 2 vu que l'expression en fonction de n n'estp as en fonctino de n mais ne fonctino de Un+1 Wink.

Sinon lorsqu'on te demande de calcluler les 5 premiers termes, y'a deux possibilité ne effet. Le plus souvent on considère que celui qu'on te donne n'est pas à calculer vu qu'il t'es donné mais bon autant mettre les 6 premiers termes comme ça tu es sur que cela soit bon et on te pénalisera ps pour ça en tout cas.

Bon courage !

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 18:26

D'accord pour les 5 premiers termes (au pire, je demanderais à mon prof pour être sûr).

Pour l'exercice 1, j'ai refais selon tes conseils et, je trouve un résultat semblant marcher plutôt bien Very Happy :


(xn) est une suite géométrique donc, elle s'exprimera sous la forme :
x0 * qn

avec x0 = U0 + V0 = 1 + 2 = 3
--> xn = 3*5n

(yn) est une suite constante donc :
yn = -1 (comme vu précédemment dans l'exercice)

On se retrouve donc avec un système de 2 équations :

Un + Vn = 3*5n [= xn]
Un - Vn = -1 [ = yn]


Un + Vn = 3*5n
Un - Vn = -1
----------------------------------------------------------
Vn - (-Vn) = (3*5n) - (-1)
2Vn = (3*5n) + 1
Vn = [(3*5n +1) / 2


Un + Vn = 3*5n
(Un - Vn = -1 ) * (-1)


--> Un + Vn = 3*5n
-Un + Vn = 1
-----------------------------------------------------------------
Un - (-Un) = (3*5n) -1
2Un = 3*5n -1
Un = (3*5n -1) / 2

Reste à déterminer un moyen de vérification. On pourrait vérifier en remplaçant n par exemple...


Exercice 4 :

Là, j'avais pensé à faire selon cette méthode mais, ici, il n'y a pas affaire à une suite géométrique... Peut-être une arithmétique mais, sans u0 je suis perplexe...
Une suite arithmétique s'écrit bien sous la forme :

Un = u0 + nr avec r la raison de la suite
donc, j'ai établit la liste des 4 premiers termes histoire de chercher la raison :

U1 = 0
U2 = 3
U3 = 8
U4 = 15

Et, aucun diviseur comment entre ces nombres ni aucun "+ nr" donc, je pense que c'est une suite "générale". Je ne sais pas si ça se dit mais, je parle d'une suite qui n'est ni arithmétique, ni géométrique. Enfin, si ça existe...
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:10

Le premier exercice et bon et le moyen de vérification est en effet de vérifier si les 5 premiers termes avec la nouvelle formules sont bien égaux à ceux calculé à la question 1).


Alors pour l'exercice 2), il s'agit encore d'une conjecture et c'est loin d'être simple là car je t'avait donné l'astuce de regarder els question d'après pour savoir là où on allait mais ici, rien ne nous aide dans les question suivante. Il va donc falloir se débrouiller et faire preuve d'un peu d'intuition mais bon tu en a déjà fait preuve en maths spé alors pourquoi pas avoir un bon feeling ici aussi Wink.

On nous fait calculer les six premiers termes qui sont donc:

Citation :
U1 = 0
U2 = 3
U3 = 8
U4 = 15
U5 = 24
U6 = 35

Et maintenant, il faudrait faire une conjecture de la forme de l'expression de Un en fonction de n. Pour celà, on va déjà faire un brouillon comme ceci:

Citation :
lorsque n=1, on trouve 0
lorsque n=2, on trouve 3
lorsque n=3, on trouve 8
lorsque n=4, on trouve 15
lorsque n=5, on trouve 24
lorsque n=6, on trouve 35

A partir de là, est-ce que tu vois pas une expression de Un se dessiner. Il faut faire des testes au brouillon dans un premier temps. Comme tu l'a dis elle n'est pas géométrique ni arithmétique mais bon est-ce qu'on peut pas trouver l'expression de Un en fonction de n. Par exemple, est-ce que tu pourrait donner la valeur pour n=100 sans avoir calculer les 99 termes précédents? C'est ça le but d'avoir une expression en fonctino de n et non une expresion définie par récurrence (c'est à dire en fonction des terme précédent).

Fais quelque proposition, on est en mode brouillon là pour l'expression de n en essayant de les justifier et de voir si elles marchent poru 1 termes déjà puis pour deux termes puis pour trois voir pour les 6 termes et si c'est le cas tu pourras conjecture la forme que tu as trouver et que tu démontrera pas récurrence à la question suivante.

Je te laisse chercher volontairement dans un premier temps car c'estp as un exercice simple que celui de la conjectureet il ne faut pas se laisser destabiliser par ce genre de questions dans un problème. Tente toutes les expression de Un qui te passent pas la tête et tu va finir par trouver la bonne au fur et à mesure des tests.

En tout cas n'hésite pas à poser des question, je t'aiguillerai si je vois que tu es complétement bloqué mais ça seraitvraiment intéressant pour toi que tu tente déjà quelques expressions simples et voir pourquoi ça marche pas ou pourquoi ça marche. C'est de très bonne mathématique là car tu es dans la peau d'un chercheur fasse à son problème. Il a des valeurs et voudrait nue fonction ou une expression de suite qui modélise le problème en question, qu'est-ce qu'il va pouvoir prendre ???

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:29

J'ai trouvé une expression pas mal et qui fonctionne déjà pour les 3 termes : U2, U3 et U4 :

Un = Un-1 + n + n - 1 = Un-1 + 2n - 1

Je vais vérifier les autres.

EDIT : Les autres marchent donc je pense avoir eu un coup de bol monumental Laughing
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:33

Hum, je pense que t'as de la chance de ne pas être à côté de moi à ce moment précis Wink.

Citation :
Qu'est-ce que j'ai dit il y a 2 posts en ce qui concerne les expressions en fonction de n ?????

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:35

J'viens d'y penser en plus... Désolé... Mais bon, déjà avec des Un c'est un bon début non? J'étais tellement content d'avoir trouvé quelque chose qui collait Laughing.

EDIT : Un = n² - 1
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:41

En fait, je te conseilles fortement de ne plus regarder l\'expression récurrence qu\'on te donne car elle va t\'influencer totalement dans ta recherche.

En effet, la conjecture peut se faire ici indépendemment de l\'exercice ne lui-même, juste ne considérant les 6 premier termes et la valeurs de n correspondante. C\'est ça qui doit t\'aider dans ta conjecture.

Citation :
lorsque n=1, on trouve 0
lorsque n=2, on trouve 3
lorsque n=3, on trouve 8
lorsque n=4, on trouve 15
lorsque n=5, on trouve 24
lorsque n=6, on trouve 35

Il faut juste utiliser ça pour t\'aider à faire une conjecture surl a forme de l\'expression de Un. Pense à des expressino simple dans un premier temps, tu vas finir par trouver j\'en suis certain mais prend du recule face à l\'énoncer de l\'exo voire même cache-le pour le coup ça sera pas plus mal et considère juste la citation que je fais là.


Edit: Bien joué !!!

Il s\'agit bien de Un= n²-1 Very Happy.

Il ne reste plus qu\'à faire la question 2 maintenant Wink.

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:41

Citation :
EDIT : Un = n² - 1

Ca ne marche pas?

PS : En trouvant mon premier truc avec des Un, j'avais même pas fait gaffe à l'énoncé...


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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:43

Citation :
Edit: Bien joué !!!

Il s\'agit bien de Un= n²-1 .

Il ne reste plus qu\'à faire la question 2 maintenant .

J'ai répondu avant que tu édit ton message c'est pour ça Wink.

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:43

Ca te dérange pas si je reprends ça à tête reposée demain?
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:46

Pas de soucis pour moi en totu cas, tu travailles à ton rythme de toute façon Wink.

Mais le plus dire est fait car bon la récurrence normalement ça devrait passer tout seul, je penses pas qu'elle te posera de soucis ou sinon sur une erreur bête à ce moment là Razz.

Bon boulot en tout cas, je vais finir par dire comme d'hab Wink.

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mar 16 Sep - 19:47

Si seulement ça pouvait être comme d'hab. tous les jours... Ca serait merveilleux Very Happy . Merci encore pour ton aide et pour le temps que tu m'accordes. Je ferais ça demain et ça sera posté vers le milieu ou la fin d'après-midi au pire.
Bonne soirée et donc à demain Very Happy.
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 16:40

Me revoici pour le raisonnement par récurrence!

Soit Pn la propriété "Un = n²-1"

I) Initialisation :

P1 vraie? avec u1 = 0
U1 = 1²-1 = 0
--> P1 est vraie!

II) Hérédité :


Soit Pn vraie, je dois prouver que :

Pn+1 = Un+1 = (n+1)² - 1

Un+1 = Un + 2n + 1
Un+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

Là, je bloque un peu...


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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 18:48

Lorsqu'on bloque pour factoriser, quel est le moyen de s'en sortir ?

Et bien de développer ce qu'on cherche Wink. A quoi est égale (n+1)² -1 ?

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 18:54

(n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n


soit :

Un+1 = Un + 2n + 1
Un+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 19:00

Donc tu peux conclure maintenant car qu'est-ce qu'on cherche à montrer en fait ?

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 19:12

On cherchais à démonter la conjecture de n que l'on avait établie.

Je vais renoter tout le raisonnement :

Soit Pn la propriété "Un = n²-1"

I) Initialisation :

P1 vraie? avec u1 = 0
U1 = 1²-1 = 0
--> P1 est vraie!

II) Hérédité :


Soit Pn vraie, je dois prouver que :

Pn+1 = Un+1 = (n+1)² - 1

Un+1 = Un + 2n + 1
Un+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

ET : Un+1 = (n+1)² - 1 = (n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n

donc, Un+1 est vérifiée donc Pn+1 est vérifiée de même que Pn soit : la conjecture que l'on avait établie.

Reste à calcul U2005 :

U2005 = n² -1 = 4020025 - 1= 4020024

Et voilà!

Very Happy
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 19:35

Quoi de plus beau qu'un bel exercice bouclé Very Happy.

Rien à redire pour ma part. Oh aller si je vais peut-être dire que tu pourrais marqué directement le développement de la forme que ut cherche à montrer et dire à la ligne où tu calculs Un+1 par récurrence que ut utilises l'hypothèse de récurrence pour Un si tu veux vraiment nue rédaction parfaite mais comme cela, je pense qu'il n'y a déjà plus grand chose à dire la preuve Wink.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Mer 17 Sep - 19:47

Soit Pn la propriété "Un = n²-1"

I) Initialisation :

P1 vraie? avec u1 = 0
U1 = 1²-1 = 0
--> P1 est vraie!

II) Hérédité :


Soit Pn vraie, je dois prouver que :

Pn+1 = Un+1 = (n+1)² - 1

Un+1 = (n+1)² - 1 = (n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n

Un+1 = Un + 2n + 1 --> J'emploie ici l'HDR
Un+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

donc, Un+1 est vérifiée donc Pn+1 est vérifiée de même que Pn soit : la conjecture que l'on avait établie.

Reste à calcul U2005 :

U2005 = n² -1 = 4020025 - 1= 4020024


Là, si j'ai bien compris, c'est vraiment nickel.
En tout cas, comme d'habitude, merci pour ton aide et tes conseils qui ont le don de mettre sur la bonne voix (un peu le but du conseil lol! ) Je vais bosser encore les suites (le devoir approche...) et probablement demander une vérification d'un exercice du même genre que ceux postés il y a quelques jours afin d'être vraiment confiant avec les suites.

[+ il faudra que je demande si il faut compter u0 dans les termes à calculer aussi]

En résumé, encore merci pour tout et à la prochaine!
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MessageSujet: Re: 2 petits exos sur les suites   Aujourd'hui à 2:19

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