[Term S]Exercice de spé maths sur les diviseurs et multiples

Heureusement que le message n'était pas très long.^^

Voici:

Citation :

Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on effectue les quatre opérations suivantes:*

- on les additionne;
- on les multiplie;
- on retranche le plus petit du plus grand;
- on divise le plus grand par le plus petit.

La somme de ces différents résultats est 243.

Quels sont ces deux nombres ?

Et mon début de réponse:

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Je pose a<b.

Alors: (a+b) + (a*b) + (b-a) + (b/a) = 243

2b + a*b + a/b = 243

b(2 + a + 1/a) = 243

Et là, je suis bloqué. J'ai cherché les diviseurs de 243 qui sont 1, 3, 9, 27, 81 et 243, puis j'ai essayé d'identifier les deux facteurs de l'équation précédente aux diviseurs correspondants, mais je sais pas pourquoi j'y suis pas arrivé.

Comment faire ?

Merci.

PS: Ce n'est pas vraiment pressé, c'est un exercice facultatif que nous a donné le prof' pour que nous nous entrainions sur ce chapitre.

Bonsoir,

Il y a une solution qui est un peu longue maus qui te permettra t'aboutir sauf erreur.

En effet, tu as b*( 2 + a + 1/a)=243

Tu sais que b=1 est exclu car à ce moment là par hypothèse a<b, on aurait a=0 or on a supposé a et b non nuls.

b=243 est aussi exclu car cela impliquerait 2 + a + 1/a =1 <=> a² + a + 1 =0 qui n'a pas de solution dans R.

Il ne reste plus que 2 cas à traiter à partir de là: b=81 et regarder si 2+a+1/a =3 admet une solution entière non nul l'autre cas étant b=27.

Pour le moment, il s'agit d'une résolution par teste sur les règle de divisibilité élémentaire en fait en écrivant 243 comme produit de 2 facteurs mais cela à le mérite de pouvoir se dépétrer d'un tel exercice.

Bon courage pour la suite!