Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 FONCTION

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MessageSujet: FONCTION   Jeu 9 Oct - 18:36

bonsoir voila j'ai un devoir dont une partie sur les fonctions
voila l'exercice que je n'ai pas compris



soit f (x)= x²+6x-7
differentes expressions d'une meme fonction
demontrer que l'on peut ecrire aussi :
1) f (x) = (x+3)²-16 (forme C)
2) f (x) = (x+7)(x+7) (forme F)

en choisisant la forme la plus adaptée resoudre l'inequation f(x) > 0
C'est la seule partie que je n'ai pas reussi a traité
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: FONCTION   Jeu 9 Oct - 19:17

Bonsoir et bienvenu parmi nous !

Alors je constates que tu commences les factorisations de fonction du type ax² + bx +c aussi appelée polynôme du second degré ou encore trinôme du second degré.

Ce que tu connais depuis l'année, ce sont les identités remarquables:

(a+b)²= a² +2ab +b²
(a-b)²= a² - 2ab - b²
(a+b)(a-b)=a² - b²

L'année dernière, on te donnais une expression soit a developper soit à factoriser qui utilisait directement une identité remarquable. Et bien ici c'est presque encore le cas sauf que l'identité remaquable, elle est cachée dans l'expression.

En effet, on a F(x)= x² +6x -7 et on aimerait bien faire apparaître une identité remarquable dans cette expression de la forme a² + 2ab + b²

Or, on peut voir qu'on a presque ce qu'il nous faut:

F(x)= + 2*3*x - 7

x² + 2*3*x serait presque le début de notre expressino a² + 2*a*b + b² avec a=x et b=3. Sauf que nous aimerions bien avoir x² + 2*3*x +3² et c'est ce fameux "+9" qu'il nous manque dans notre expression.

Et bien en mathématique il y a une chose de bien quand on veut quelque chose et bien on ajoute 0! En effet, on ne change rien à notre fonction F si j'ajoute 0 dans son expression. Mais tu va me dire qu'elle est donc l'intérêt d'ajouter 0, c'est idiot presque, non? Tu as raison c'est idiot mais c'est très utile d'ajouter 0 pourtant Wink. Car par exemple 9-9=0. Donc si je veux faire apparaître mon "+9" il faut aussi que j'enlève "+9" pour que mon expression ne change pas.

Regarde:

F(x)= x² + 2*3*x +(9 - 9) - 7

Tu constate que je ne change rien à notre fonction F vu que j'ajoute 9-9=0. Donc je n'ajoute rien du tout vu que j'ajoute 0. Mais maintenant la magie opère:

F(x)= (x² + 2*3*x + 9) - 9 - 7 Ici on voit maintenant apparaître mon identité remarquable ue je peux factoriser ce qui n'était pas le cas avant!

Je te laisse donc conclure cette question 1) et pour la question 2) regarde les identités remarquables rappelées au début du post, tu n'en vois pas une à utiliser à partir de l'expressino obtenu en 1) pour avoir la 2)?

Cette astuce de calcul tant qu'on ne l'a pas vu, il est quasiment pas possible d'y penser tout seul mais par contre dès qu'on a bien compris l'astuce de calcul, cela fait gagner un temps fou dans les résolutions de ce genre de question. Donc si quelque chose n'est pas clair dans ce que j'ai raconté n'hésite pas à poser des questions et ceci dans tous les cas, nous sommes là pour cela Wink.

Bon coruage pour la suite!

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MessageSujet: Re: FONCTION   Ven 10 Oct - 22:30

en choisisant la forme la plus adaptée resoudre l'inequation f(x) > 0 Il me reste ca
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: FONCTION   Sam 11 Oct - 10:47

Bonjour,

Quels sont les moyens dont nous disposons pour résoudre une inégalité d'une manière générale? La réponse à cette question te permettra sans doute de trouver la bonne forme de F pour résoudre cette inégalité.

Le plus important est de comprendre les raisonnements intermédiaires et non de résoudre l'exercice en soi. J'espère que tu as déjà bien assimilé le procédé de factorisation pour la première question et la deuxième question car cette façon de factoriser tu vas la voir et la revoir tout au long de l'année poru résoudre des équation du second degré.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: FONCTION   Ven 15 Mai - 13:58

Bonjour @toutes et tous,

Je vais vous proposer une correction de cette exercice sur la factorisation et la résolution d'inéquation. Je vous rappelle l'énoncer:

Citation :
Soit F(x)= x²+6x-7
Differentes expressions d'une meme fonction
1)Démontrer que l'on peut écrire aussi :
a) F(x) = (x+3)²-16 (forme C)
b) F(x) = (x-1)(x+7) (forme F)

2) En choisisant la forme la plus adaptée résoudre l'inéquation F(x)>0

Sachez qu'il y a deux façons de répondre à la question 1) (pour les deux formes):

La première qui vous viendra sans doute à l'esprit dans un premier temps est de développer la partie de droite des égalités et de montrer qu'on retrouve bien F(x) ce qui peut se rédiger ainsi:

1)a)
On a: (x+3)²-16=(x²+2*3*x+3²)-16

Donc (x+3)²-16=x²+6x+9-16 c'est à dire (x+3)²-16=x²+6x-7

Or F(x)=x²+6x-7

Donc F(x)=(x+3)²-16


b)
On a: (x-1)*(x+7)=x²+7x-x-7

Donc (x-1)*(x+7)=x²+6x-7

Or F(x)=x²+6x-7

Donc F(x)=(x-1)*(x+7)


Cependant, cette façon de faire est coûteuse en temps d'une part et d'autre part elle ne met pas à l'abris des erreurs de calcul. Il y a donc une autre méthode qui réside dans la factorisation étape par étape de F(x) à partir de son expression initiale. J'explique la méthode pas à pas dans mon premier message que je vous conseille fortement de lire car il s'agit d'une astuce de calcul qui permet de gagner beaucoup de temps d'une part et d'éviter beaucoup d'erreur de calcul d'autre part. Voici donc une autre rédaction de la question 1):

1)a)
On a: F(x)=x²+6x-7

Donc F(x)=x²+2*3*x+(9-9)-7 (j'ajoute 9-9=0 ce qui ne change rien à l'égalité)

D'où F(x)=(x²+2*3*x+9) -9-7

Or x²+2*3*x+9=(x+3)²

Conclusion: F(x)=(x+3)² -16 (Cette expression s'appelle "Forme C" et le "C" correspond à "Canonique", il s'agit de l'expression canonique de F(x))

b)
On a d'après a) F(x)=(x+3)²-16

Donc F(x)=(x+3-√16)*(x+3+√16) c'est à dire F(x)=(x+3-4)*(x+3+4)

Conclusion: F(x)=(x-1)*(x+7) (Cette expression s'appelle "Forme F" et le "F" correspond à "Factorisée", il s'agit de la forme factorisée de F(x))


Nous avons donc grâce à la question 1) obtenu une forme factorisée de F(x). Son intérêt? Il est multiple:

- Facilité dans les calculs car pas de carré à calculer par exemple
- Facilité pour la résolution de l'équation F(x)=0 vu que nous avons un produit de facteurs
- Facilité pour déterminer son signe à l'aide d'un tableau de signe vu que nous avons un produit de facteurs

Et la deuxième question, tombe vite sous le sens, vu qu'on cherche à déterminer les valeurs de x pour que F(x) soit strictemetn positif. Il faudra donc faire un tableau de signe à partir de la forme factorisée de F(x) c'est à dire F(x)=(x-1)*(x+7)

Nous savons que x-1>0 <=> x>1
De plus, x+7>0 <=> x>-7

A partir de là, nous pouvons déduire un tableau de signe de F(x) come suit:

x -∞ -7 1 +∞
x-1 - - 0+
x+7 - 0 + +
F(x) + 0 - 0 +

Conclusion: F(x)>0 pour xЄ]-∞; -7[È]1;+∞[


Ceci conclut cette exercice qui est vraiment un exercice type au niveau del a factorisation d'une fonction du second degré et sur la détermination de son signe.

Bon courage @toutes et tous et @bientôt au sein du forum

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