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 Second exercice sur les nombres premiers

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MrTheYo



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MessageSujet: Second exercice sur les nombres premiers   Lun 20 Oct - 17:15

Salut !
Tu risques de râler mais me revoici de nouveau avec un nouvel exo sur les nombres premiers que j’ai tenté de faire avec les astuces et conseils que l’on ma donné ici mais, certaines questions posent toujours problème… J’aurais donc besoin d’un petit peu d’aide stp…

Voici l’énoncé :

-----------------------------------------


Les nombres de Mersenne sont les entiers naturels du type : Mn = 2n -1, avec n entier naturel strictement positif.

1. Vérifier que : M2 ; M3 ; M5 ; M7, sont des nombres premiers.
Le nombre M11 est-il premier ?

2. Soit x un nombre entier, x > ou = 2. Soit p appartient à l’ensemble N*.

a) Justifier l’égalité : 1 + x + x² + x3 + ……… + x(p-1) = (1-xx) / (1-x)
b) En déduire que (xp – 1) est divisible par (x-1)

3. En utilisant la question 2.b), démontrer que si d divise n, alors Md divise Mn.
4. Le nombre M2001 est-il premier ?

-----------------------------------------


Voici mes réponses :

Mn = 2n -1

1.
--> M2 = 2² - 1 = 4 -1 = 3
----> 3 est bel et bien un nombre premier donc M2 est un nombre premier.

--> M3 = 23 - 1 = 7
----> 7 est bel et bien un nombre premier donc M3 est un nombre premier.

--> M5 = 25 -1 = 32 - 1 = 31
----> 31 est bel et bien un nombre premier donc M5 est premier.

--> M11 = 211 - 1 = 2047
----> Racine carrée (2047) = (à peu près) 45.24.
Je teste tous les nombres premiers jusqu'à 45 soit : 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2047/23 = 89

------> M11 n'est pas premier.


2. x > ou égal 2

a) 1 + x + x² + x3 + .... + xp-1 = (1-xp) / (1-x)

La première partie de cette égalité est une suite géométrique de raison q = x et de forme :
u0 * qn


--> U0 = M1 car le premier terme de la partie gauche de l'égalité est 1.
ET : M1 = 21 - 1 = 2 - 1 = 1

-->
1 * xn


* Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1) / (1-q)]

avec :
u0 = 1 et q = x

Donc :
S = 1* [(1-xn+1) / (1-x)]

or, la fin de la partie gauche de l'égalité se termine par xp-1
--> n = (p-1) DONC :

S = [(1-x(p-1) + 1) / (1-x)]
S = [(1-xp) / (1-x)]


b) On a vu que :
S = [(1-xp) / (1-x)]
donc : xp -1 devrait être divisible par (x-1)

[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]


3) On sait que :
xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1

4. M2001 = 22001 -1
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Lun 20 Oct - 21:13

Bonsoir,

Quelles raisons aurais-je pour râler, dis moi? Le forum a pour but d'aider et si je n'aimais pas cela nous ne l'aurions pas ouvert tout simplement Wink. Il faut aimer cela pour s'investir pleinement dans ce genre de chose et je dois donc adorer ça. Et ma plus grande satisfaction et ma récompense résident dans le fait de voir évoluer les élèves qui passent par là tout simplement.


Pour ton exercice, dans la première question, il faudrait peut-être montrer que 31 est premier car on donne comme acquis 2;3;5;7;11;13;17;19 et 23 le plus souvent au-delà, nous préférons avoir une petit justification comme celle que tu propose pour montrer que 2047 n'est pas premier par exemple.

Citation :
[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]


Mais pourquoi tu doutes? Toi qui doute souvent de toi dans les résolutions quand tu sens que quelque chose est juste c'est qu'elle doit être vraiment très proche de la solution si ce n'est pas exactement à celle-ci! Fais-toi confiance Wink.

Tu ajoutes avec k un entier non nul et puis le tour est joué Smile.


Citation :
3) On sait que :

xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1


Je suis convaincu que tu as conscience ici de n'avoir rien démontré mis à part avoir écrit plusieurs fois ce qu'on cherche à démontrer. C'est le travail de brouillon de reformuler et reformuler encore et encore un énoncer qu'on ne comprend pas ou qui nous ne donne pas de piste pour avancer. Mais à un moment, il faut se convaincre qu'on ne fait qu'écrire l'énoncer de plusieurs manière et non qu'on fait une démonstration.

Comment se sortir de cette question? On nous dit d'utiliser la question 2)b) et bien allons-y utilisons là avec une bonne valeur de x et regardons pour les deux valeur de p qui nous intéresse ici. Qu'obtient-on?

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mar 21 Oct - 16:51

Mn = 2n -1

1.
--> M2 = 2² - 1 = 4 -1 = 3
----> 3 est bel et bien un nombre premier donc M2 est un nombre premier.

--> M3 = 23 - 1 = 7
----> 7 est bel et bien un nombre premier donc M3 est un nombre premier.

--> M5 = 25 -1 = 32 - 1 = 31
----> Racine(31) = (à peu près) 5.56.
Je teste donc les nombres premiers suivants : 2, 3, 5. 31 n'est divisible par aucun des 3 : 31 est donc premier donc M5 est donc premier.


--> M11 = 211 - 1 = 2047
----> Racine carrée (2047) = (à peu près) 45.24.
Je teste tous les nombres premiers jusqu'à 45 soit : 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2047/23 = 89

------> M11 n'est pas premier.


2. x > ou égal 2

a) 1 + x + x² + x3 + .... + xp-1 = (1-xp) / (1-x)

La première partie de cette égalité est une suite géométrique de raison q = x et de forme :
u0 * qn


--> U0 = M1 car le premier terme de la partie gauche de l'égalité est 1.
ET : M1 = 21 - 1 = 2 - 1 = 1

-->
1 * xn


* Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1) / (1-q)]

avec :
u0 = 1 et q = x

Donc :
S = 1* [(1-xn+1) / (1-x)]

or, la fin de la partie gauche de l'égalité se termine par xp-1
--> n = (p-1) DONC :

S = [(1-x(p-1) + 1) / (1-x)]
S = [(1-xp) / (1-x)]


b) On a vu que :
S = [(1-xp) / (1-x)]
donc : xp -1 devrait être divisible par (x-1)

[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]

Citation :
Tu ajoutes avec k un entier non nul et puis le tour est joué.

1-xp = k(x-1) avec k un entier non-nul.

Il faut que je calcule k maintenant?


3) On sait que :
xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1


On sait que (xp -1) est divisible par (x-1) et on nous demande de démontrer que si d divise n alors, Md divise Mn ce qui reviendrait à dire :

Md = 2d -1 divise Mn = 2n -1
or, xp -1 divisible par x - 1

donc, Mn s'écrirait sous la forme : (x-1) tandis que Md s'écrirait sous la forme :
xp -1

--> On sait qu : xp -1 divise (x-1) donc, Md divise Mn

En tout cas, le raisonnement semble se tenir.


4. M2001 = 22001 -1
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mar 21 Oct - 18:47

Bonsoir,

Citation :
1-xp = k(x-1) avec k un entier non-nul.

Il faut que je calcule k maintenant?

La valeur de k, tu ne l'as pas déjà par hasard Wink. C'est la même chose que sur notre dernier exercice vu qu'on a encore calculé une somme, S.


Citation :
On sait que (xp -1) est divisible par (x-1) et on nous demande de démontrer que si d divise n alors, Md divise Mn ce qui reviendrait à dire :

Md = 2d -1 divise Mn = 2n -1
or, xp -1 divisible par x - 1

donc, Mn s'écrirait sous la forme : (x-1) tandis que Md s'écrirait sous la forme :
xp -1

--> On sait qu : xp -1 divise (x-1) donc, Md divise Mn

En tout cas, le raisonnement semble se tenir.

Le raisonnement se tient même trèsbien mais maintenant quelles valeurs prend-on pour x,n et p pour qu'on ait bien ce qu'on cherche? N'oublie pas que nous avons l'hypothèse d|n c'est à dire qu'il existe un entier non nul k tel que n=k*d.

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mar 21 Oct - 19:08

Mn = 2n -1

1.
--> M2 = 2² - 1 = 4 -1 = 3
----> 3 est bel et bien un nombre premier donc M2 est un nombre premier.

--> M3 = 23 - 1 = 7
----> 7 est bel et bien un nombre premier donc M3 est un nombre premier.

--> M5 = 25 -1 = 32 - 1 = 31
----> Racine(31) = (à peu près) 5.56.
Je teste donc les nombres premiers suivants : 2, 3, 5. 31 n'est divisible par aucun des 3 : 31 est donc premier donc M5 est donc premier.

--> M11 = 211 - 1 = 2047
----> Racine carrée (2047) = (à peu près) 45.24.
Je teste tous les nombres premiers jusqu'à 45 soit : 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2047/23 = 89

------> M11 n'est pas premier.


2. x > ou égal 2

a) 1 + x + x² + x3 + .... + xp-1 = (1-xp) / (1-x)

La première partie de cette égalité est une suite géométrique de raison q = x et de forme :
u0 * qn


--> U0 = M1 car le premier terme de la partie gauche de l'égalité est 1.
ET : M1 = 21 - 1 = 2 - 1 = 1

-->
1 * xn


* Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1) / (1-q)]

avec :
u0 = 1 et q = x

Donc :
S = 1* [(1-xn+1) / (1-x)]

or, la fin de la partie gauche de l'égalité se termine par xp-1
--> n = (p-1) DONC :

S = [(1-x(p-1) + 1) / (1-x)]
S = [(1-xp) / (1-x)]


b) On a vu que :
S = [(1-xp) / (1-x)]
donc : xp -1 devrait être divisible par (x-1)

[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]

Citation :
Tu ajoutes avec k un entier non nul et puis le tour est joué.

1-xp = k(x-1) avec k un entier non-nul.

Il faut que je calcule k maintenant? :
Or, on a calculé la somme S de la suite géométrique dans la question 2)a. :

S = [(1-xp) / (1-x)]


DONC :

(1-x) = S(1-xp)
--> Or, on avait :
1-xp = k(x-1)

ET là, je remplace (1-x) par S(1-xp)? Or, on me demande k...



3) On sait que :
xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1


On sait que (xp -1) est divisible par (x-1) et on nous demande de démontrer que si d divise n alors, Md divise Mn ce qui reviendrait à dire :

Md = 2d -1 divise Mn = 2n -1
or, xp -1 divisible par x - 1

donc, Mn s'écrirait sous la forme : (x-1) tandis que Md s'écrirait sous la forme :
xp -1

--> On sait qu : xp -1 divise (x-1) donc, Md divise Mn

En tout cas, le raisonnement semble se tenir.

Désolé, je ne vois pas quelles valeurs prendre...

4. M2001 = 22001 -1
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mar 21 Oct - 19:48

Citation :
S = [(1-xp) / (1-x)]

DONC :

(1-x) = S(1-xp)


L'erreur bête qui t'empêche de conclure La première ligne est exacte mais la deuxième qui tu écris est fausse voyons Wink.


Sinon, pour l'autre question on cherche à montrer que 2d-1| 2n-1 sachant qu'on a:

- existence d'un entier naturel k tel que n=k*d vu que d|n
- d'après 2)b), (x-1) | (xp-1)

Donc d'après la première condition qu'on ait, on doit montrer que 2d-1| 2k*d-1

Comment peut-on écrire 2k*d-1 pour bien mettre ne évidence l'application de la deuxième hypothèse qu'on a?

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 10:46

Mn = 2n -1

1.
--> M2 = 2² - 1 = 4 -1 = 3
----> 3 est bel et bien un nombre premier donc M2 est un nombre premier.

--> M3 = 23 - 1 = 7
----> 7 est bel et bien un nombre premier donc M3 est un nombre premier.

--> M5 = 25 -1 = 32 - 1 = 31
----> Racine(31) = (à peu près) 5.56.
Je teste donc les nombres premiers suivants : 2, 3, 5. 31 n'est divisible par aucun des 3 : 31 est donc premier donc M5 est donc premier.

--> M11 = 211 - 1 = 2047
----> Racine carrée (2047) = (à peu près) 45.24.
Je teste tous les nombres premiers jusqu'à 45 soit : 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2047/23 = 89

------> M11 n'est pas premier.


2. x > ou égal 2

a) 1 + x + x² + x3 + .... + xp-1 = (1-xp) / (1-x)

La première partie de cette égalité est une suite géométrique de raison q = x et de forme :
u0 * qn


--> U0 = M1 car le premier terme de la partie gauche de l'égalité est 1.
ET : M1 = 21 - 1 = 2 - 1 = 1

-->
1 * xn


* Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1) / (1-q)]

avec :
u0 = 1 et q = x

Donc :
S = 1* [(1-xn+1) / (1-x)]

or, la fin de la partie gauche de l'égalité se termine par xp-1
--> n = (p-1) DONC :

S = [(1-x(p-1) + 1) / (1-x)]
(1-x) = [(1-xp) / S]


b) On a vu que :
S = [(1-xp) / (1-x)]
donc : xp -1 devrait être divisible par (x-1)

[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]

Citation :
Tu ajoutes avec k un entier non nul et puis le tour est joué.

1-xp = k(x-1) avec k un entier non-nul.

Il faut que je calcule k maintenant? :
Or, on a calculé la somme S de la suite géométrique dans la question 2)a. :

S = [(1-xp) / (1-x)]


DONC :

(1-x) = S(1-xp)
--> Or, on avait :
1-xp = k(x-1)

ET là, je remplace (1-x) par S(1-xp)? Or, on me demande k...

2kd - 1 = 2n -1 = xp -1 avec :
p = k * d
et (x-1) | xp-1
--> J'écris donc 2d -1 sous la forme --> x-1 donc Md[/sup] divise M[sub]n


3) On sait que :
xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1


On sait que (xp -1) est divisible par (x-1) et on nous demande de démontrer que si d divise n alors, Md divise Mn ce qui reviendrait à dire :

Md = 2d -1 divise Mn = 2n -1
or, xp -1 divisible par x - 1

donc, Mn s'écrirait sous la forme : (x-1) tandis que Md s'écrirait sous la forme :
xp -1

--> On sait qu : xp -1 divise (x-1) donc, Md divise Mn

En tout cas, le raisonnement semble se tenir.

Désolé, je ne vois pas quelles valeurs prendre...

4. M2001 = 22001 -1
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 18:59

Bonsoir,

Citation :
S = [(1-xp) / (1-x)]


DONC :

(1-x) = S(1-xp)


Ceci est toujours faux, regarde ce que tu as trouvé pour S et écris 1-xp= ?



Sinon pour la question suviante (la question 3) donc):

Citation :
2kd - 1 = 2n -1 = xp -1 avec :
p = k * d
et (x-1) | xp-1
--> J'écris donc 2d -1 sous la forme --> x-1 donc Md divise Mn


Si tu pose p=k*d, tu vas être obligé de poser x=2, du coup d'après la question 2)b), tu auras (2-1)|(2kd-1) et ce n'est pas ce que tu cherches vu que ce que tu cherches c'est:

(2d-1)|(2kd-1)

Tu n'es pas loin mais tu ne poses pas le bon n et le bon p pour le moment. Il ne reste plus beaucoup de possibilité maintenant d'ailleurs. Tu devrais donc mettre la main dessus dans pas longtemps je pense. N'oublie pas que xab=(xa)b ça débloquera fortement la situation avec ça Wink.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 19:39

Mn = 2n -1

1.
--> M2 = 2² - 1 = 4 -1 = 3
----> 3 est bel et bien un nombre premier donc M2 est un nombre premier.

--> M3 = 23 - 1 = 7
----> 7 est bel et bien un nombre premier donc M3 est un nombre premier.

--> M5 = 25 -1 = 32 - 1 = 31
----> Racine(31) = (à peu près) 5.56.
Je teste donc les nombres premiers suivants : 2, 3, 5. 31 n'est divisible par aucun des 3 : 31 est donc premier donc M5 est donc premier.

--> M11 = 211 - 1 = 2047
----> Racine carrée (2047) = (à peu près) 45.24.
Je teste tous les nombres premiers jusqu'à 45 soit : 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2047/23 = 89

------> M11 n'est pas premier.


2. x > ou égal 2

a) 1 + x + x² + x3 + .... + xp-1 = (1-xp) / (1-x)

La première partie de cette égalité est une suite géométrique de raison q = x et de forme :
u0 * qn


--> U0 = M1 car le premier terme de la partie gauche de l'égalité est 1.
ET : M1 = 21 - 1 = 2 - 1 = 1

-->
1 * xn


* Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1) / (1-q)]

avec :
u0 = 1 et q = x

Donc :
S = 1* [(1-xn+1) / (1-x)]

or, la fin de la partie gauche de l'égalité se termine par xp-1
--> n = (p-1) DONC :

S = [(1-x(p-1) + 1) / (1-x)]
(1-x) = [(1-xp) / S]
Pourquoi ne pas conclure et dire directement que S = [(1-xp)/(1-x)??

b) On a vu que :
S = [(1-xp) / (1-x)]
donc : xp -1 devrait être divisible par (x-1)

[Bancal... mais j'ai rien d'autre... quoique, maintenant que j'y pense, pourquoi ne pas dire que :
1-xp = k(x-1)???]

Citation :
Tu ajoutes avec k un entier non nul et puis le tour est joué.

1-xp = k(x-1) avec k un entier non-nul.

Il faut que je calcule k maintenant? :
Or, on a calculé la somme S de la suite géométrique dans la question 2)a. :

S = [(1-xp) / (1-x)]


DONC :

(1-x) = S(1-xp)
--> Or, on avait :
1-xp = k(x-1)

ET là, je remplace (1-x) par S(1-xp)? Or, on me demande k...

2kd - 1 = 2n -1 = xp -1 avec :
p = k * d
et (x-1) | xp-1
--> J'écris donc 2d -1 sous la forme --> x-1 donc Md[/sup] divise M[sub]n


3) On sait que :
xp -1 divisible par x - 1


Si d divise n, alors Md divise Mn
Md = 2d -1 ET Mn = 2n -1
Si d|n alors, 2d -1 divise 2n -1


On sait que (xp -1) est divisible par (x-1) et on nous demande de démontrer que si d divise n alors, Md divise Mn ce qui reviendrait à dire :

Md = 2d -1 divise Mn = 2n -1
or, xp -1 divisible par x - 1

donc, Mn s'écrirait sous la forme : (x-1) tandis que Md s'écrirait sous la forme :
xp -1

--> On sait qu : xp -1 divise (x-1) donc, Md divise Mn

En tout cas, le raisonnement semble se tenir.

Désolé, je ne vois pas quelles valeurs prendre...
Je saisis pas..., J'ai beau chercher je vois pas...

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 19:54

Alros on sait mal compris:

Citation :
Pourquoi ne pas conclure et dire directement que S = [(1-xp)/(1-x)??


Pour la question 2)a) c'est la réponse qu'il faut mettre ne effet Wink.


Mais ce que je citais dans mes dernier post c'est pour la question 2)b) poru montrer que (x-1)|(xp-1).

Il nous reste la 2)b), la 3) et la 4) en découlera.

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 20:05

2)b) 1- xp = S(1-x) = [(1-xp)/(1-x)] * (1-x) = (1-x-xp + xp+1 ) / (1-x)
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Mer 22 Oct - 20:14

Citation :
1- xp = S(1-x)


Ca suffit amplement!! Pourquoi? Car S est une sommes d'entier relatif. Mais x est supérieur ou égale à 2, donc tu constate que pour n'importe quel entier p non nul, S est strictement positif. Donc S est un entier non nul.

On a donc trouvé notre fameux k Wink.

Alors maintenant la 3)?

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Jeu 23 Oct - 18:16

Euh...

Si d|n alors n = kd

avec Md = 2d-1 et Mn = 2n -1 = 2dp -1 = (2d)p -1
= (2d-1) [(2d)p-1 -1]

Mn = Md * k''

Md divise Mn

Ca semble se tenir même si j'ai des doutes sur certaines étapes...
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Jeu 23 Oct - 20:46

Bonsoir,

Nous arrivons au bout du supplice que je t'es imposé je l'avoue car je t'es laisser ramer sur le sujet car ce sont des question de fond et sachant que tu es capable de les trouver avec du temps, j'ai laissé jouer le temps justement en cadrant au minimum.


Le fait est que ce passage là reste faux:
Citation :
(2d)p -1
= (2d-1) [(2d)p-1 -1]


Mais tu as l'idée, alors bon, je te donne l'astuce et fait moi la rédaction qui va bien avec celle-ci, je pose x=2d et p=k

avec n = kd et d'après 2)b) (x-1) | (xp-1)

C'était pas très facile à trouver lorsqu'on n'a jamais vu ça mais bon, tu n'était vraiment pas loin. Maintenant, il faut te convaincre que tout marche bien et je vais le vérifier par la rédaction de la réponse que ut proposera.

Pour la question 4), il faut appliqué se résultat à partir de la décomposition en facteur de 2003.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Ven 24 Oct - 14:48

Citation :
x=2d et p=k
avec n = kd et d'après 2)b) (x-1) | (xp-1)


Md = 2d-1
Mn = 2n -1 = 2kd - 1
or, x=2d
donc....
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Ven 24 Oct - 15:21

Bonsoir,

Citation :
Mn = 2n -1 = 2kd - 1


Va jusqu'au bout de la mise en évidence de ce que tu vas appliquer:

Mn = (2d)k -1

Donc en posant x=2d et p=k, on a d'aprsè la question 2)b) que (2d-1) | ((2d)k-1)

C'est à dire que si d|n alors Md | Mn

Et voilà le tour est joué. Est-ce que le raisonnement te convient?

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Ven 24 Oct - 19:42

Du moment que je le comprends ça me va tu sais Very Happy
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Ven 24 Oct - 19:50

Ok et bien maintenant comment allons-nous faire la 4) ??

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Sam 25 Oct - 20:19

J'ai cherché mais, il faudrait décomposer 2001 en somme de deux nombres de Mersenne je pense


PS : Je dois m'absenter une semaine donc, si je ne réponds pas tout de suite c'est normal.
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 26 Oct - 17:28

Bonsoir,

Il n'y a rien à voir avec la décomposition de Mersenne ici en fait. On vient de faire une question 3) et logiquement celle-ci sert à la question 4) vu qu'il s'agit d'une application à ce qu'on vient de démontrer Wink.

Bon courage et bonnes vacs!

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 2 Nov - 14:48

Me revoici.
Désolé pour la longue période d'inactivité...

Faut donc se servir de la question 3...
Donc, il fait décomposer 2001 selon 2 formes :

2001 = k * d
2001 = k * e

et donc, le k va faire le rapprochement et permettre de le calculer non?
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 2 Nov - 14:56

J'espère que tes vacances fut agréables en tout cas. Faire un break ne fait jamais de mal après tout du moment qu'on puisse se remettre dans le boulot au retour ce qui n'est pas forcément facile et ceci poru tout le monde de toute façon (on est humain il paraît Wink).

Alors je te rappelle ce que nous avons prouvé dans la question 3):

si d divise n, alors Md divise Mn

Nous ici, on cherche à savoir si M2001 est premier.

Or si je pose n=2001 justement, qu'en déduit-on?

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 2 Nov - 15:04

Blagu'cuicui a écrit:

Alors je te rappelle ce que nous avons prouvé dans la question 3):

si d divise n, alors Md divise Mn

Nous ici, on cherche à savoir si M2001 est premier.

Or si je pose n=2001 justement, qu'en déduit-on?

On en déduit qu'un nombre d divise n = 2001
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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 2 Nov - 15:09

En fait, si tu trouves un entier qui divise 2001, tu montres donc que M2001 n'est pas premier d'après la question 3).

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MessageSujet: Re: Second exercice sur les nombres premiers   Dim 2 Nov - 15:19

Ah! j'me disais bien!
Je pensais à une décomposition en produits de facteurs premiers (d'ailleurs c'est ce que j'ai mis sur la copie lol! ) pour trouver les diviseurs de 2001.

On a donc :
2001 = 3 * 23 * 29.

Citation :
En fait, si tu trouves un entier qui divise 2001, tu montres donc que M2001 n'est pas premier d'après la question 3).

Donc d'après la question3, M2001n'est pas premier.
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