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 Exercice sur le PGCD et le PPCM

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Dim 2 Nov - 16:16

Me revoici (déjà)...
Désolé de poster ça de manière aussi rapide mais la semaine de "vacances" était mal venue...

Là, je me retrouve confronté à un exercice employant les propriétés du PGCD et du PPCM mais, je ne m'en sors pas... Crying or Very sad

Avant de poster l'énoncé, voici un rappel fourni avec donc, je le poste aussi ça m'aidera sûrement :

"Suivre la méthode classique en posant :
a = δa' et b = δb' avec a' et b' premiers entre-eux.
Ne pas oublier la relation :

δμ = ab

(avec, μ le PPCM et δ le PGCD)

Voici l'énoncé :

------------------------------------


Déterminer toutes les paires {a ; b} de nombres entiers naturels tels que :

2μ + 7δ = 111

avec μ = PPCM (a ; b) et δ = PGCD(a ; b)


------------------------------------

Voici mon "raisonnement" :

On a :
2μ + 7δ = 111 ---> Equation à 2 inconnues donc, je ne vois pas comment faire.
Donc, je tente ceci :
2μ + 7δ -111 = 0


C'est foiré pour la résolution de type polynomiale vu qu'on a deux inconnues...
Pourquoi ne pas tenter d'isoler μ et δ :

2μ + 7δ = 111
2μ = 111 - 7δ
μ = (111 - 7δ) / 2


ET

2μ + 7δ = 111
7δ = 111 - 2μ
δ = (111 - 2μ) / 7


Logiquement, δ < μ donc :

(111 - 2μ) / 7 < (111 - 7δ) / 2 (j'ai l'impression de tourner en rond...)

Et là, je me demande si résoudre ceci sera utile vu qu'on aura pas de a et de b...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Dim 2 Nov - 18:08

C'est toujours un plaisir d'avoir un peu d'arithmétique à résoudre (et oui c'est amusant malgré la difficulté c'est presque ce qui rend intéressant ce genre de maths Wink).

En tout cas avec ton raisonnement, tu as redémontré sur cette exemple que δ < μ c'est à dire que le PGCD est toujours inférieur au PPCM (il ne faut oublier qu'il y a des données dans le rappel).

En fait que cherche-t-on?

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111). Le rappel nous dit que δμ=ab (c'est à dire que PGCD(a,b)*PPCM(a,b) = a*b ) et nous dit qu'il va falloire utiliser a=δa' et b=δb' avec PGCD(a';b')=1.

Dans un premier temps, on va suposer que a et b sont non nul c'est à dire que δ n'estp as nul.

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Dim 2 Nov - 23:56

Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ


On incorpore donc notre égalité dans l'équation donnée dans l'énoncé :

2μ + 7δ =111
2ab/δ + 7δ =111

Je vais tenter d'isoler le δ :
2ab + 7δ = 111δ
2ab = 111δ - 7δ
2ab = 104δ
δ = (2ab)/104


Correct ou pas pour le moment?

ERREUR D'EDITION


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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 0:00

Jusque là c'est bon mais nous n'allons pas aboutir comme ça en fait car là tu as écrit: μ = (111 - 7δ) / 2 comem tu l'avais déjà fait.

Pour le moment, n'utilise pas l'équation, travaille seulement sur les données et les rappels et exprime μ en fonction de δ, a' et b'.

Nous allons ainsi pouvoir remplacer μ par sa valeur dans l'expression qu'on te donne mais après l'avoir exprimé sinon, on va se tourner en rond là.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 10:21

Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ


On incorpore donc notre égalité dans l'équation donnée dans l'énoncé :

2μ + 7δ =111
2ab/δ + 7δ =111

Je vais tenter d'isoler le δ :
2ab + 7δ = 111δ
2ab = 111δ - 7δ
2ab = 104δ
δ = (2ab)/104


Correct ou pas pour le moment?
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 19:09

Bonsoir,

C'est toujours juste tout tes calculs sont justes depuis le début de toute façon c'est déjà une très bonne chose en soi. Le soucis restant dans la possibilité de pouvoir conclure avec la méthode entamée.

Alors je vais te paraître un peu plus humain peut-être en te disant qu'il m'a fallu un certain temps pour trouver une démarche qui aboutisse pour cette exercice. Et oui bizarrement, je n'ai pas réponse à tout, tout de suite Wink.

J'avais donc employé ta méthode étant moi-même persuadé qu'elle aboutirait car nous isolions le PGCD et vu qu'il doit être entier, il suffisait de trouver tous les couples (a,b) de tel sorte que 52 divise a*b (j'ai simplifié ton résultat par 2).

Le soucis réside dans le fait que des multiples de 52 ce n'est pas ce qui manque et nous pourrions donc prendre tous les pgcd possible et en déduire des a et des b plausibles. Cependant pour tous les avoir c'est loin d'être gagné surtout qu'on a aucune considération sur a et b mis à part qu'ils sont des entiers naturels.

Et c'est là que je me suis apperçu d'une chose primordiale, on nous dit d'utiliser a' et b' !

Du coup, il faut exprimer μ non pas en fonction de a et b mais en fonction de a' et b' et là, nous allons pouvoir aboutir car nous savons que a' et b' sont premiers entre-eux ce qui va nous permettre de déterminer les couples de façon plus logique et plus précise.

Encore un effort donc, tu vas bientôt arriver à la bonne équation sur laquelle nous allons pouvoir travailler.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 19:34

Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ
μ = δa'δb' / δ
μ = δ(a' + b') / δ(1)
μ = a' + b'


On incorpore donc cette égalité dans l'équation de l'énoncé :

2μ + 7δ =111
2(a' + b') + 7δ = 111
7δ = 111 - 2(a' + b')
δ = [111 - 2(a'+b')] / 7

Voilà pour l'instant.
On a donc une écriture du PGCD de a' et b' mais, on nous demande a et b...
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 21:07

C'était presque ça!

Dommage qu'il y ait une erreur de calcul (pour une fois):

Citation :
μ = δa'δb' / δ
μ = δ(a' + b') / δ(1)

J'ai une manie, tu l'as sans doute remarquée. Je met quasiment toujours les multiplication en évidence et c'est pas pour rien Wink. Donc si je re-écris la premièr ligne que je cite:

μ = [δ*(a')*δ*(b')] / δ

Tu constates donc qu'on arrive à: μ = [δ²*(a')*(b')] / δ et par simplification: μ = δ*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1

Maintenant pourrais-tu re-écire notre équation de départ, en mettant les constante à droite et tout ce qui dépend de δ à gauche et avec un membre de gauche factorisé.

A partir de là, en constatant que 111=3*37 et que 3 et 37 sont premiers, on va pouvoir faire des disjonctions de cas (et cela va te rappeler un autre exercice où on avait aussi fait des disjonction de cas pour pouvoir avancer).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 23:13

Exact pour l'erreur de calcul... Pourtant je l'ai fait sur feuille... Moment d'égarement sans doute... Erreur bête en tout cas...

Je récapitule :

Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ
μ = δa'δb' / δ
μ = [δ²*(a')*(b')] / δ
μ = δ*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1


On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans lénoncé soit :

2μ + 7δ =111


donc :
2δ*(a')*(b') + 7δ =111
δ (2a'b' + 7) = 111


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->
δ (2a'b' + 7) = 3 * 37


On a donc un système de deux équations :

δ = 3
2a'b' + 7 = 37


On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :

2a'b' + 7 = 37
2a'b' = 30
a'b' = 15


On a donc 2 couples (a';b') : (3 ; 5) et (5 ; 3).
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 23:33

Il manque encore deux couples pour (a',b') pour le cas que tu considères. En effet le pgcd(a',b')=1 n'empêche pas d'avoir a'=1 et b'=15 et inversement ce qui ajoute deux autres couples.

Donc nous trouvons 4 couples dans ce cas de figure là. Cependant, nous avons en tout 4 cas de figure à considérer (dont 2 qui ne sont pas possibles mais il faudra dire pourquoi il ne sont pas possibles).

En effet, pourquoi par exemple δ=1 et 2a'*b' + 7 = 111 ne serait-il pas possible ? La multiplication des deux fait bien 111, nous avons donc un autre cas ici et les deux autres ce sont l'inverse entre 1 et 111 et l'autre entre 3 et 37 mais pourquoi c'est deux cas ne donne pas de couples en plus?

Et tout cas ne pas oublier, le léger détail 111=1*111=111*1=3*37=37*3. C'est comme pour l'autre exercice où on s'intéressait au diviseur d'un nombre ici les diviseurs sont bien 1, 3, 37 et 111 cela nous donne bien 4 couples possibles.

Nous y sommes presque donc, il ne reste plus qu'à faire des calculs et ne pas oublier que a' et b' sont des entiers naturels car a et b le sont! Pas question qu'ils soient négatifs l'un ou l'autre Wink.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Lun 3 Nov - 23:51

Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ
μ = δa'δb' / δ
μ = [δ²*(a')*(b')] / δ
μ = δ*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1


On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans lénoncé soit :

2μ + 7δ =111


donc :
2δ*(a')*(b') + 7δ =111
δ (2a'b' + 7) = 111


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->
δ (2a'b' + 7) = 3 * 37


On a donc un système de deux équations :

δ = 3
2a'b' + 7 = 37


On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :

2a'b' + 7 = 37
2a'b' = 30
a'b' = 15


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :
δ (2a'b' + 7) = 1 * 111


On a donc un système de deux équations :

δ = 1
2a'b' + 7 = 111


On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :

2a'b' + 7 = 111
2a'b' = 104
a'b' = 52


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1

On a donc 4 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4).


On a donc 8 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) avec δ = 1

Et on sait que :
a = δa' et b = δb'


Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 4 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)

Soit 8 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Mar 4 Nov - 0:02

En effet, les 8 couples sont exactes (pour en être sûr, tu pourra toujours vérifier que 2*PPCM + 7*PGCD = 111 pour chacun des couples).

Maintenant, il reste à voir pouruqoi les 2 autres cas de figures n'ajoute pas de couple à ceux déjà trouvé.

Un dernier effort et l'exercice sera donc bouclé Wink.

EDIT:

Citation :
52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1

On a donc 4 autres couples (a' ; b')

Pourquoi le couple (a',b')=(2,26) ou (26,2) n'est pas possible? car ici nous avons 6 couples possibles pour a' et b' si on ne dit rien de plus. Attention à bien tout écrire quand même car toute solution possible écartée doit être justifiée c'est la règle de base en maths Wink.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Mar 4 Nov - 0:10

Bien vu pour les couples oubliés...


Citation :
On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :
Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :
2μ + 7δ =111


Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :

a = δa' et b = δb'

et on a :
δμ = ab

donc :
μ = ab/δ
μ = δa'δb' / δ
μ = [δ²*(a')*(b')] / δ
μ = δ*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1


On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :

2μ + 7δ =111


donc :
2δ*(a')*(b') + 7δ =111
δ (2a'b' + 7) = 111


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->
δ (2a'b' + 7) = 3 * 37


On a donc un système de deux équations :

δ = 3
2a'b' + 7 = 37


On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :

2a'b' + 7 = 37
2a'b' = 30
a'b' = 15


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :
δ (2a'b' + 7) = 1 * 111


On a donc un système de deux équations :

δ = 1
2a'b' + 7 = 111


On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :

2a'b' + 7 = 111
2a'b' = 104
a'b' = 52


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)


On a donc 10 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
avec δ = 1

Et on sait que :
a = δa' et b = δb'


Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 6 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)

Soit 10 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2).




Par contre, je ne saisis pas l'histoire de couples impossibles...
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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Mar 4 Nov - 0:14

Quel est le PGCD de a' et b'?

Donc peut-être avoir (a',b')=(2,26) ou (26,2) ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le PGCD et le PPCM   Mar 4 Nov - 0:17

Le PGCD(a' ; b') = 1 vus qu'ils sont premiers entre-eux non?

EDIT : J'ai compris!
Les 2 couples que tu as écrit ne fonctionnent pas car 26 et 2 ne sont pas premiers entre-eux!


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Exercice sur le PGCD et le PPCM

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