Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 Autre exercice combinaison

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MrTheYo



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MessageSujet: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 11:08

Salut!
Me revoici avec un autre exo sur les combinaisons que j'ai réussi à faire mais, avec une méthode vraiment bizarre donc, j'aimerais que tu me donnes ton avis sur la question si c'est possible.

Voici l'énoncé :

----------------------------------------


Déterminer toutes les paires {a ; b} de nombres entiers naturels tels que :
PGCD (a ;b) = 14 et PPCM (a ; b) = 1848

----------------------------------------


Et voici pour ma "méthode" :

a = δa' et b = δb'

avec a' et b' des nombres premiers entre-eux (leur PGCD = 1)

δμ = ab

DONC :

14 * 1848 = ab
25872 = ab

Je cherche les diviseurs de 25872 :

25872 = 24 * 3 * 7² * 11

(1 + 2 + 2² + 23 + 24)(1+3)(1+7+7²)(1+11)
= (1 + 3 + 2 + 6 + 4 + 12 + 8 + 24 + 16 + 48)(1 + 11 + 7 + 77 + 49 + 539)
= 1 + 11 + 7 + 77 + 49 + 539 + 3 + 33 + 21 + 231 + 147 + 1617 + 2 + 22 + 14 + 154 + 98 + 1078 + 6 + 66 + 42 + 462 + 294 + 3234 + 4 + 44 + 28 + 308 + 196 + 2156 + 12 + 132 +84 + 924 + 588 + 6468 + 8 + 88 + 56 + 616 + 392 + 4312 + 24 + 264 + 168 + 1848 + 1176 + 12936 + 16 + 176 + 112 + 1232 + 784 + 8624 + 48 + 528 + 336 + 3696 + 2352 + 25872

On a donc TOUS ( lol! ) les diviseurs de 25872.

Il suffit de prendre le premier nombre et le dernier de cette comme pour avoir a et b :

1 * 25872
2 * 12936
3 * 8624
4 * 6468
6 * 4213
7 * 3696
8 * 3234
11 * 2352
12 * 2156
14 * 1848
16 * 1617
21 * 1232
22 * 1176
24 * 1078
28 * 924
33 * 784
42 * 616
44 * 588
48 * 539
49 * 528
56 * 462
66 * 392
77 * 336
84 * 302
88 * 294
98 * 264
112 * 231
132 * 196
147 * 176
154 * 168


On a donc 30 paires {a ; b} répondant au critère δμ = ab .

Or, PGCD (a ; b) = 14 = 2 * 7

--> Il faut donc que a et b décomposés en produit de facteurs premiers aient 2 et 7 en commun.
----> Dans la liste précédente, on décompose les termes de gauche en produit de facteurs premiers : il faut qu'il y ait au moins 2 * 7 dans cette composition et pas plus (car cela signifierait que l'on aurait un PGCD > 14).

14 * 1848 --> 14 = 2 * 7
28 * 924 --> 28 = 2 * 2 * 7 = 2² * 7
42 * 616 --> 42 = 2 * 3 * 7
56 * 462 --> 56 = 2 * 2 * 2 * 7 = 23 * 7
84 * 302 --> 84 = 2* 2 * 3 * 7 = 2² * 3 * 7
98 * 264 --> 98 = 2 * 7 * 7 = 2 * 7²
112 * 231 --> 112 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7 = 24 * 7
154 * 168 --> 154 = 2 * 7 * 11

Soit tous les nombres multiples de 14 tout simplement!
Reste à voir les termes de droite :

1848 = 2 * 2 * 2 * 3* 7 * 11
et 14 = 2 * 7

Leur PGCD est bien 14! Cette paire correspond à ce qu'on nous demande!


924 = 2 * 2 * 3 * 7 * 11
28 = 2 * 2 * 7
Leur PGCD est 28! Cette paire ne correspond pas à ce qu'on nous demande.


616 = 2 * 2 * 2 * 7 * 11
42 = 2 * 3 * 7
Leur PGCD est bien 14! Cette paire correspond à ce qu'on nous demande!


462 = 2 * 3 * 7 * 11
56 = 2 * 2 * 2 * 7
Leur PGCD est bien 14! Cette paire correspond à ce qu'on nous demande!


302 = 2 * 151
84 = 2 * 2 * 3 * 7
Leur PGCD est 2. Cette paire ne correspond pas à ce qu'on nous demande.


264 = 2 * 2 * 2 * 3 * 11
98 = 2 * 7 * 7
Leur PGCD est 2. Cette paire ne correspond pas à ce qu'on nous demande.


231 = 3 * 7 * 11
121 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7
Leur PGCD est 7. Cette paire ne correspond pas à ce qu'on nous demande.


168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7
154 = 2 * 7 * 11
Leur PGCD est bien 14! Cette paire correspond à ce qu'on nous demande!


On a donc 4 paires répondant à la demande :
{14 ; 1848} ; {56 ; 462} ; {42 ; 616} ; {156 ; 168}

Ca semble long est compliqué et je pense qu'il y a plus simple à faire mais, ça semble néanmoins correct.
Merci d'avance.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 16:08

C'est énorme !!!!!!!!

Je n'ai pas trop compris d'où sortait se calcul :

Citation :
(1 + 2 + 2² + 23 + 24)(1+3)(1+7+7²)(1+11)

Mais je te tire ma révérence pour avoir abouti totalement pour cette exercice avec une méthode aussi loooooooongue et fastidieuse (j'imagine les loooongue minutes/heures de calculs et de vérification).

Tu as juste oublié de considérer les couple inversé aussi dans les solutions et du coup on arrive bien à 8 solutions (c'est à dire les 4 que tu cites + les 4 avec (b,a) au lieu de (a,b))! Ta méthode est donc tout ce qu'il y a de plus juste (la preuve elle aboutie) mais maintenant je vais juste te montrer que tu as oublié comme dans l'autre exercice un fabuleux détail qui te permettait de simplifier grandemetn les calculs.

En effet:

Citation :
a = δa' et b = δb'

ET oui tu ne l'a pas utilisé et tu es parti droit dans les calcul avec ab=δμ et vas-y donc que je te fasse 4 pages de calculs pour aboutir. Le principale c'est d'aboutir de toute façon Wink mais dans un devoir tu risque de regretter amèrement d'avoir abouti en oubliant un détail de l'énoncer te permettant de couper très court. Alors voyons voir ce que cela donne si on se sert de ce "léger" détail.

On a donc δμ=δ²*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1

C'est à dire: μ/δ=a'*b' avec PGCD(a',b')=1

On est donc raméné à cherche tous les couples (a',b') avec PGCD(a',b')=1 tels que (a')*(b')=μ/δ=1848/14=132

Je décompose en facteurs premier 132=2²*3*11. Sans considérer le fait que a' et b' sont premier entre eux les couple qui peuvent être solutions sont:

(1,132); (132,1); (2,66); (66,2); (4,33); (33,4); (11,12); (12,11); (3,44) et (44,3)

Cependant, a' et b' sont premiers entre-eux, donc les couples (2,66); (66,2) ne sont pas solutions de mon problème.

En conclusion j'ai bien 8 couples (a',b') tels que PGCD(a',b')=1 et a'*b'=132

En conclusion, on a bien 8 couples d'entiers naturels (a,b) tel que PGCD(a,b)=14 et PPCM(a,b)=1848 qui sont:

(14,1848) ; (1848,14) ; (56,462) ; (462,56) ; (154,168) ; (168,154) ; (42,616) et (616,42)
(j'ai mis ne rouge les 4 car tu avais mal recopié à la fin vu que tu marquais 156 alors que dans ton développement tu avais bien mis 154).

Très bon travail de ta part en tout cas. En espérant qu'à l'avenir tu n'oublieras pas de prendre en compte notre hypothèse non négligeable lorsqu'on en a besoin Wink.

Bon courage pour la suite!

ps: le lien du livre d'or est sur le portail du forum tout simplement (l'icone du livre Wink).

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 18:20

Citation :
Je n'ai pas trop compris d'où sortait se calcul :

Citation :
(1 + 2 + 2² + 23 + 24)(1+3)(1+7+7²)(1+11)

Cela permet de trouver tous les diviseurs d'un nombre à partir de se décomposition en produits de facteurs premiers (vu dans un bouquin et ça marche toujours).


Citation :
Tu as juste oublié de considérer les couple inversé aussi dans les solutions et du coup on arrive bien à 8 solutions

On nous demande des paires donc logiquement, pour les couples on en a bien 8 mais, 4 paires (en tout cas dans ce genre d'exercice on faisait ça pour différencier paires et couples).


Content que ça marche mais c'est vrai que j'aurais pu faire comme ça. Remarque, sachant que j'ai fait cet exo avant de te montrer l'autre, c'est pas étonnant lol! .
Mais c'est vrai que pour un DS j'ai pas intérêt à faire ça...
Merci d'y avoir jeté un oeil et merci pour les précisions (et merci d'avoir corrigé la faute de frappe Very Happy )


PS : Livre d'or rempli ce matin (ai trouvé tout seul geek )
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 19:47

Ok pour les pairs. Je ne connaissais pas cette appellation ou cette distinction (les B.O. ne parle pas de toutes les appellation au programme hélas xD).

En tout cas j'aurai appris quelque chose même si je préfère tout marquer par habitude pour ne rien n'oublier peut-être. Le principale étant de bien s'y retrouver dans ses notations. Je retiendrais pas ta façon de trouver tous les diviseurs d'un nombre car c'est très rare qu'on demande les diviseur d'un nombre aussi grand par contre je l'ai noté dans un coin au cas où ça peut toujours servir en cas de panne sèche sur un exercice Wink.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

ps: j'ai vu après avoir rédigé mon post en effet et je te remercie d'ailleurs pour le livre d'or Smile.

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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 20:19

B.O.?

(De rien pour le livre d'or Very Happy C'était pas grand chose)
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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 21:11

Arf désolé.

B.O. =Bulletin Officielle (de l'Éducation Nationale). Cela me permet d'essayer de rester le plus proche possible de vos programme et de l'attente de vos professeur et du bac aussi d'ailleurs.

Après, je ne suis pas infaillible la preuve tout le monde en apprend dans ce forum c'est ça qui est le plus intéressant Wink.

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MessageSujet: Re: Autre exercice combinaison   Mar 4 Nov - 22:56

Ouais et c'est tout ce qui compte.
Encore merci pour tout!
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