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 Exercice sur le "théorème des gendarmes"

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Lun 10 Nov - 19:33

Salut!
Pour donc faire une pierre deux coups avec l'autre exercice posté, voici un exercice rangé dans la partie "théorème des gendarmes" donc, ça doit être là-dessus bien que je ne vois pas totalement le rapport...

Voici l'énoncé :

----------------------------------

f et g sont les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par f(x) = √x et g(x) = √(x+1).

Dans un repère orthonormal, M et N sont des points d'abscisse x ≥ 0 respectivement situés sur les courbes Cf et Cg représentant f et g.
On pose h(x) = MN.

a) Conjecturer la limite de la fonction h en +∞.
b) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 :
h(x) = 1 / [ √(x+1) + √x]


c) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 :
0 ≤ h(x) ≤ 1 / (2 √x)


d) En déduire la limite de la fonction h en +∞.
e) Trouver un réel x0 tel que, pour tout réel x ≥ x0, MN ≤ 0,05.
----------------------------------

Et voici pour mes résultats :

On pose h(x) = MN (distance)
avec M et N ≥ 0.

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0



b) x > ou égal à 0
Je dois démontrer que : h(x) = 1 / [ √(x+1) + √x] = 1 / [g(x) + f(x)]
--> g(x) et f(x) étant toujours positives (fonction racine carrée), 1 / [g(x) + f(x)] équivaudra à 1 / (nombre positif) et, plus ce nombre sera grand (donc x grand) et plus l'expression tendra vers 0.

OU (autre explication) :

f(x) = √x
g(x) = √(x+1)

f(x) + g(x) = √x + √(x+1)
avec lim (x --> +∞) f(x) + g(x) = +∞

--> 1 / [f(x) + g(x)] = 1 / [ √x + √(x+1)]

or, h(x) = MN : distance entre Cf et Cg avec x ≥ 0 donc :

h(x) = 1 / [f(x) + g(x)] = 1 / [ √x + √(x+1)]



c ) x>0
--> 0 ≤ h(x) ≤ 1/[2 √x] ????

On sait que :

0 ≤ f(x) ≤ +∞ --> 0 ≤ √x ≤ +∞

0 ≤ g(x) ≤ +∞ --> 0 ≤ √(x+1) ≤ +∞

DONC : 0 ≤ f(x) g(x) ≤ +∞
DONC 0 ≤ 1 / [f(x) + g(x)] ≤ 1 / +∞
0 ≤ h(x) ≤ 1 / +∞ qui est un très petit nombre!

D'où vient le 1/[2 √x]?? Je cherche toujours...

d)
lim (x --> +∞) h(x) = 0


e) J'ai tenté une démarche bancale ayant pour commencement ceci :

x ≥ x0
MN ≤ 0,05
h(x) = MN
1 / [f(x) + g(x)] = MN ≤ 0,05

Mais après....
j'aurais donc besoin d'un coup de main conséquent...
Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Lun 10 Nov - 20:32

Bonsoir,

Pour la première question, il faut conjecturer et ta conjecture est tout à fait juste et son explication aussi.

A partir de la question suivante, il n'y a plus d'à peu près mais des questions d'ordre calculatoire. Le but étant de démontrer la conjecture que tu viens de poser.

Donc dans un premier temps, il faut exprimer h(x) puis encadrer h(x) pour en déduire sa limite à l'aide du théorème des gendarmes (dit aussi "théorème d'encadrement").

La question e) est une question du type résolution d'inéquation.


Bon maintenant rentrons dans le vif du sujet. Comment calcule-t-on une distance dans un repère orthonormée ? A partir de la réponse tu vas pouvoir déduire la forme de h(x) sachant qu'on calcul la distance entre M et N lorsqu'il ont la même abscisse x. (N'oublie par l'expression conjugué pour conclure Wink).


Pour la question c), il faut encadrer h(x), pour celà, il va falloire minorer h(x). Je te conseille de ne plus considérer les fonction F et G, elle ne servent seulement dans la conjecture et dans le calcul de H(x) pour les encadrement, il faut considérer h(x) globalement.

Nous verrons la suite après.

bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 0:44

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0




Citation :
Comment calcule-t-on une distance dans un repère orthonormée ?

MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)]

Problème : on a pas de coordonnées précises, on a juste la courbe Cf, la courbe Cg et les fonctions associées.... Il serait facile de déterminer un point M et un point N mais, cela signifierait qu'il faudrait prendre une valeur de x > ou égal 0

ex : x = 4

f(x) = Racine(x) --> f(4) = Racine(4) = 2 --> xM = 4 et Ym = 2
g(x) = Racine (x+1) --> f(4) = Racine(4+1) = Racine(5) --> Xn = 4 et Ym = Racine(5)

MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)]
MN = RacineCarrée[(4-4)² + (2 - Racine(5))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (2 - Racine(5))²]

--> Pas bon...


c)
Citation :
il va falloire minorer h(x)
h(x) = 1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] --> Fonction de type "1/x"
Cette fonction sera minorée par 0 non?
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 1:43

Et au lieu de prendre x=4, on prenais tout simplement xM=x et xN=x pour obtenir notre fameux h(x).

Vu que nous sommes à l'abscisse x tout bêtement en fait. Et on connais yM et yN vu qu'il appartienne à une courbe dont on a l'équation.

C'est vrai que l'énoncer n'était pas clair sur ce point là. Mais h(x)=MN c'est considéré l'abscisse x pour les deux points. Tu va ainsi retrouver la forme cherché en utilisant une identité conjugué.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 10:29

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0


Citation :
Comment calcule-t-on une distance dans un repère orthonormée ?

MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)


DONC :

MN = RacineCarrée[(x - x)² + ((x+1) - x)²]
MN = RacineCarrée[0 + 1] = RacineCarrée(1) = 1
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 13:50

Bonjour,

Où sont passées les racines carré pour yN et yM ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 18:00

On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + x+1 - x]
MN = RacineCarrée [1] = 1
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 19:52

Citation :
MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + x+1 - x]

Attention sacre bleu! (a+b)² n'a jamais été égale à a² + b² Wink. Je te conseille de ne pas développerl e carré d'ailleurs vu qu'il y a une racine carré les deux vont s'annuler et tu va retrouver ce que tu cherches du coup.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 20:49

On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
Après, je ne vois pas où les 2 vont s'annuler...
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mar 11 Nov - 21:42

Citation :
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]

c'est équivalent à:

MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

Sachant que MN>0, on prend donc la racine positive de (Racine(x+1)-Racine(x))² et par concéquent:

MN = Racine(x+1) - Racine(x)

Et avec l'aide de l'entité conjuguée, tu devrais arriver à la forme qu'on te propose si tout se passe bien.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mer 12 Nov - 11:59

On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée Very Happy .
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Mer 12 Nov - 23:21

Nickel pour la b)!

Passons à la c),
Citation :
c) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 :

0 ≤ h(x) ≤ 1 / (2 √x)

On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x). Comment faire?

En bien on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)

Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 17:10

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0

b) On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée.

c)
Citation :
On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x).

Citation :
on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)

Citation :
Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?

Racine(x) est minoré par 0 car , une racine carrée est toujours positive
ET Racine(x+1) est aussi positive mais, pas minorée par 0 mais par -1.

--> On a donc Racine(x) + Racine(x+1) minoré par 1.

donc, h(x) = 1/[Racine(x+1) + Racine(x)] est majorée par 1 car 1/h(x) est minorée par 1.
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 17:23

Les deux majoration sont bonnes mais trop brutale, hélas. En effet, on veux qu'il reste une fonction qui dépend de x après avoir minorer nos deux fonction.

On a pris x positif ou nul, par conséquent, x+1 ≥ x et par croissance de la fonction racine carrée, on en déduit une minoration de la fonction G. Il ne reste plus qu'à ajouter F(x) (ce qui ne change rien à l'inégalité) et nous aurons trouvé notre minoration de F(x)+G(x)=1/H(x). Et on déduit directement par décroissance de la fonction inverse, la majoration demander dans ton exercice.

Est-ce que tu comprends la démarche?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 17:41

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0

b) On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée.

c)
Citation :
On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x).

Citation :
on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)

Citation :
Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?

x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[ et car la fonction RacineCarrée est croissante, g(x) est donc minorée par -1.
f(x) est quant à elle minorée par 0 car la racine carrée est toujours positive donc F(x)+G(x) est minorée par 1 donc 1/h(x) est minorée par 1.
Par décroissance de la fonction inverse, h(x) sera donc majorée par 1.
[Je pense avoir compris mais, je vois que tout ceci n'est qu'un histoire de rédaction en fin de compte non?]
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 17:50

En fait ce n'estp as une histoire de rédaction ici car là tu va conclure:

1≥H(x)≥0

On nous, on veut: 1/(2√x) ≥ H(x) ≥ 0

Donc tu constates que la majoration par 1 est juste mais celà ne nous aidera pas car pour appliquer le théorème des gendarmes, il nous faut la même limite à gauche et à droite lorsque x va tendre vers l'infini. Donc si on laisse 1, on ne répond pas à la question même si c'est justem ais surtout il y a un intérêt à ne pas mettre 1 vu que le but est de conclure que H(x) tend vers 0 à l'infini par le théorème des gendarmes.

Citation :
x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[

Ok maintenant si j'applique la fonction racine carrée à cette inégalité celà me donne quoi comme minoration de G(x) ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 18:13

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0

b) On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée.

c)
Citation :
On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x).

Citation :
on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)

Citation :
Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?

x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[ et car la fonction RacineCarrée est croissante, g(x) est donc minorée par -1.
f(x) est quant à elle minorée par 0 car la racine carrée est toujours positive donc F(x)+G(x) est minorée par 1 donc 1/h(x) est minorée par 1.
Par décroissance de la fonction inverse, h(x) sera donc majorée par 1.
DONC :
1≥H(x)≥0


Citation :
Citation:
x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[


Ok maintenant si j'applique la fonction racine carrée à cette inégalité cela me donne quoi comme minoration de G(x) ?
g(x) sera minorée par -1
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 18:23

Citation :
DONC :

1≥H(x)≥0

Cette réponse n'est pas fausse en soi mais ce n'est pas ce qu'on te demande. Relis ta question!


[quote]x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[quote]

On travaille sur l'ingalité telle qu'elle est écrite et j'applique seulement la fonction racine carré, qu'est-ce que celà donne comme inégalité?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 20:44

Ca donne g(x) ≥ f(x)
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Ven 14 Nov - 20:51

Nous y voilà Very Happy.

Du coup, G(x) + F(x) ≥ F(x) + F(x) (j'ajoute F(x) de chaque côté cela ne change rien à l'inégalité)

En conclusion: 1/H(x) ≥ 2*F(x)

Et en appliquant la fonction inverse à cette inégalité là, on aboutit à ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Sam 15 Nov - 11:52

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0

b) On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée.

c)
Citation:
On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x).


Citation:
on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)


Citation:
Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?


x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[ et car la fonction RacineCarrée est croissante, g(x) est donc minorée par -1.
f(x) est quant à elle minorée par 0 car la racine carrée est toujours positive donc F(x)+G(x) est minorée par 1 donc 1/h(x) est minorée par 1.
Par décroissance de la fonction inverse, h(x) sera donc majorée par 1.
DONC on aura :
g(x) ≥ f(x)

donc en ajoutant f(x) de chaque côté :

G(x) + F(x) ≥ F(x) + F(x)
1/H(x) ≥ 2*F(x)

J'applique ici la fonction inverse :
h(x) ≤ 1/(2*f(x))

avec f(x) = Racine(x)
DONC :
h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]

DONC :
0 ≤ h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]

car h(x) est positive sur [0 ; +∞[

d) En déduire la limite de la fonction h en +∞ :

limx-->+∞ h(x) = 1/[2Racine(x)]
car, on vient de voir dans la question précédente que h(x) était majorée par 1/[2Racine(x)].

e) Trouver un réel x0tel que, pour tout réel x ≥ x0,
MN ≤ 0.05 :

Il faut donc que :
MN ≤ 0.05

avec MN = h(x) donc :
h(x) ≤ 0.05

De plus, on sait que :
0 ≤ h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]


Il faut donc trouver un x pour que :
1/[2Racine(x)] = 0.05


Je résous donc cette équation :

1/[2Racine(x)] = 0.05
1 = 0.05 * [2Racine(x)]
1 = 0.1Racine(x)
10 = Racine(x)
x = 10²
x = 100


x0 sera donc égal à 100.
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Sam 15 Nov - 13:48

Bonjour,

Nickel poru l'encadrement !!!


Citation :
d) En déduire la limite de la fonction h en +∞ :

limx-->+∞ h(x) = 1/[2Racine(x)]
car, on vient de voir dans la question précédente que h(x) était majorée par 1/[2Racine(x)].

Une limite qui dépend encore de x??? Bizarre vous avez dit bizarre Wink. Utilise le théorème des gendarmes pour trouve la limite de H(x).


Ta démarche pour la dernière question est original dans le sens où tu n'étais pas pas sûr qu'il existe un x tel qu'il y est égalité. Dans tous les cas ce qu'il faut avoir à l'esprit c'est que le réel x0 existe forcément vu que ta fonction h est positive et elle tend vers 0. Donc d'après la définition d'une limite, tu sais qu'à partir d'un certain réel x0 h(x) sera au-dessous de n'importe quelle valeur.

La dernière question est donc tout à fait juste avec une bonne intuition Smile.

Il ne reste plus qu'à corriger la limite de H(x) car une limite qui dépend de x encore à la fin, ça passera pas Wink.

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Sam 15 Nov - 14:02

a) Mes Courbes de f(x) et g(x) se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre plus x augmente donc :

lim (x --> +∞) h(x) = 0

b) On a :
MN = RacineCarrée[(Xn - Xm)² + (Yn - Ym)²]


avec Xm = Xn = x

donc :
f(x) = Racine(x) et g(x) = Racine(x + 1)
(équivalents aux Y)

Je recommence :

MN = RacineCarrée[(x-x)² + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ 0 + (Racine(x+1)-Racine(x))²]
MN = RacineCarrée[ (Racine(x+1)-Racine(x))²]

MN>0 donc :

MN = Racine(x+1) - Racine(x)


J'emploie ensuite la technique de la quantité conjuguée :

[Racine(x+1) - Racine(x)][Racine(x+1) + Racine(x)] / [1 * Racine(x+1) + Racine(x)]
[Racine(x+1)² - Racine(x)²] / [Racine(x+1) + Racine(x)]
x + 1 - x / [Racine(x+1) + Racine(x)]
1 / Racine(x+1) + Racine(x) soit : la forme demandée.

c)
Citation:
On sait déjà vu que MN est une distance que h(x) est positif ou nul.
Il nous reste donc à majorer h(x).


Citation:
on sait que h(x)=1 / [Racine(x+1) + Racine(x)] d'après la question b). Donc majorer h(x) revient à minorer 1/h(x)= Racine(x+1) + Racine(x)


Citation:
Donc la question est par quoi est minoré Racine(x+1) + Racine(x) (pour tous les x positifs ou nul) ?


x+1 ≥ x car les fonctions sont définies sur [ 0 ; +∞[ et car la fonction RacineCarrée est croissante, g(x) est donc minorée par -1.
f(x) est quant à elle minorée par 0 car la racine carrée est toujours positive donc F(x)+G(x) est minorée par 1 donc 1/h(x) est minorée par 1.
Par décroissance de la fonction inverse, h(x) sera donc majorée par 1.
DONC on aura :
g(x) ≥ f(x)

donc en ajoutant f(x) de chaque côté :

G(x) + F(x) ≥ F(x) + F(x)
1/H(x) ≥ 2*F(x)

J'applique ici la fonction inverse :
h(x) ≤ 1/(2*f(x))

avec f(x) = Racine(x)
DONC :
h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]

DONC :
0 ≤ h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]

car h(x) est positive sur [0 ; +∞[

d) En déduire la limite de la fonction h en +∞ :
On sait que :
0 ≤ h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]
J'emploie ici le théorème des gendarmes :
limx-->+∞ 0 = 0
limx-->+∞ 1/2Racine(x) = 0
DONC :

limx-->+∞ h(x) = 0


e) Trouver un réel x0tel que, pour tout réel x ≥ x0,
MN ≤ 0.05 :

Il faut donc que :
MN ≤ 0.05

avec MN = h(x) donc :
h(x) ≤ 0.05

De plus, on sait que :
0 ≤ h(x) ≤ 1/[2Racine(x)]


Il faut donc trouver un x pour que :
1/[2Racine(x)] = 0.05


Je résous donc cette équation :

1/[2Racine(x)] = 0.05
1 = 0.05 * [2Racine(x)]
1 = 0.1Racine(x)
10 = Racine(x)
x = 10²
x = 100


x0 sera donc égal à 100.

Il y avait donc une autre méthode pour la dernière question?
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Sam 15 Nov - 14:15

L'exercice est nikel!

Pour la dernière question, il y avais nue méthode pour trouver l'existence du x0 mais pour trouver un réel x0 j'avais employé une méthode par dichotomie (mais je ne sais pas si tu l'as déjà vue).

Le principe n'est pas bien compliqué en fait:

- Je considère la fonction T(x)=H(x)-0.05 et je sais que cette fonction est strictement décroissante sur [0;+∞[. Donc l'équation G(x)=0 a forcément une solution sur cette intervalle là.

- Et après tu prend un intervalle [a,b] tel que G(a)*G(b)<0 (c'est à dire que les deux images sont de signe contraire) ce qui implique que le réel x qui annule G se situe entre a et b.

Cette méthode est longue car il faudrait commencer par exemple avec a=0 et b=1000 puis réduire cette intervalle au fur et à mesure.

Mais ta méthode est beaucoup plus rapide vu que tu trouves la valeur qui se rapproche de la valeur optimale beaucoup plus rapidement ce qu iest très bien comme ça Smile. Après dans un devoir si tu fais cela tu aura les point vu que te demande pas forcménet une méthode pour trouver x0 mais si dès fois ta majoration est trop grossière (comme celle que tu faisait avant une majoration à 1) et bien il ne faut pas que tu t'étonnes si l'équation n'a pas forcménet de solution lorsque tu la pose. C'est surtout dans ce sens là que je faisais cette remarque.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Dim 16 Nov - 14:48

Euh non, je n'ai pas vu cette méthode par "dichotomie"...
La valeur optimale? Donc, il y avait encore plus précis via cette méthode.
En tout cas merci pour tout Very Happy !
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MessageSujet: Re: Exercice sur le "théorème des gendarmes"   Aujourd'hui à 16:02

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Exercice sur le "théorème des gendarmes"
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