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 Exercice sur la limite d'une suite

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 14:36

Salut!
Voici le dernier exercice sur les limites (pour le moment). Ici, on parle de limite d'une suite mais, le problème vient d'égalités à démontrer (comme toujours)...
Voici l'énoncé :

On pose un = 1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + ...... + 1/Racine(n+1).
(avec n ≥ 2)

1. Calculer avec 4 chiffres significatifs les termes u2 à u5.
2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p+1)]

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2racine(p-1)]

4. Ecrire l'inégalité ci-dessus pour p=2, p=3, .... p=n.
Disposer les calculs en colonne, et montrer que Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(un).
5. Déterminer les limites de la suite un

--------------------------------------

Voici mes résultats :

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1/[Racine(3-1)] = 1/Racine(2) = (à peu près) 0.7071
u4 = 1/[Racine(4-1)] = 1/Racine(3) = (à peu près) 0.5773
u5 = 1/[Racine(5-1)] = 1/Racine(4) = 1/2 = 0.5


2. Dès là, ça bloque... J'ai essayé un produit en croix entre les deux (en désespoir de cause), ayant tenté pas mal de chose et en ayant pas mal réfléchi auparavant mais, je ne vois pas comment prouver ceci mis à part avec la propriété de la fonction décroissante qu'on avait vu dans un exercice précédent mais, je ne sais pas comment présenter tout ça...

J'aurais donc besoin encore une fois d'un coup de pouce pour pouvoir me débrouiller avec ça.
Merci d'avance.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 17:10

Bonsoir,

Alors la première question est bonne.

Pour la deuxième question, on montre une inégalité en partant d'un côté pour aller vers l'autre le plus souvent. Donc partons de:

Racine(p) - Racine(p-1)

Et montrons que c'est bien égale à 1/[Racine(p) + racine(p+1)].

Nous avons une différence de racine carré, qu'as-tu appris à faire systématiquement lorsque tu vois cela?

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 17:45

Salut!
Voici le dernier exercice sur les limites (pour le moment). Ici, on parle de limite d'une suite mais, le problème vient d'égalités à démontrer (comme toujours)...
Voici l'énoncé :

On pose un = 1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + ...... + 1/Racine(n+1).
(avec n ≥ 2)

1. Calculer avec 4 chiffres significatifs les termes u2 à u5.
2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p+1)]

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2racine(p-1)]

4. Ecrire l'inégalité ci-dessus pour p=2, p=3, .... p=n.
Disposer les calculs en colonne, et montrer que Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(un).
5. Déterminer les limites de la suite un

--------------------------------------

Voici mes résultats :

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1/[Racine(3-1)] = 1/Racine(2) = (à peu près) 0.7071
u4 = 1/[Racine(4-1)] = 1/Racine(3) = (à peu près) 0.5773
u5 = 1/[Racine(5-1)] = 1/Racine(4) = 1/2 = 0.5


2. J'emploie ici la technique de la quantité conjuguée :

[[Racine(p) - Racine(p+1)] * [Racine(p) - Racine(p+1)]] / [Racine(p) + Racine(p+1)]
[(Racine(p))² - (Racine(p-1))²] / [Racine(p) + Racine(p+1)]
p - (p -1) / [Racine(p) + Racine(p+1)]
p - p +1 / [Racine(p) + Racine(p+1)]
1 / [Racine(p) - Racine(p+1)]
--> On trouve donc la forme demandée.

3. Ici, la technique de la quantité conjuguée ne marchera pas. On pourrait peut-être se servir de l'égalité de la question précédente.
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 17:47

Nickel !!

Alors maintenant pour la question d'après, il faut te souvenir de ton autre exercice du même style. Qu'avions-nous fait pour trouver la majoration ??

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 17:51

Si je ne me trompe pas, on avait un encadrement.
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 18:08

En effet, il y avait un encadrement ou plutôt une minoration d'une certaine fonction qui nous donne une minoration globale et donc une majoration de l'inverse.

p ici est supérieur ou égale à 2 et donc de surcroit est positif.

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 18:45

3. On sait que p ≥ 2 donc :

1 ≤ p-1 ≤ p
Racine(1) ≤ Racine(p-1) ≤ Racine(p)
Racine(p) - Racine(1) ≤ Racine(p) - Racine(p-1) ≤ Racine(p) - Racine(p)
Racine(p) - 1 ≤ Racine(p) - Racine(p-1) ≤ 0

Racine(p) - Racine(p+1) est donc minorée par Racine(p) - 1 ≤ 0

C'est cela?
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 19:54

Il n'y aurait pas une légère erreur dans ton énoncer?

Citation :

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p+1) < 1/[2racine(p+1)]

????

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:15

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2Racine(p-1)]

Sur l'énoncé en tout cas, c'est ça.
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:28

Et pour la première question c'est aussi ça:

Citation :
Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p+1)]

????

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:34

Oui. En tout cas, c'est ce que j'ai sur dans l'énoncé.
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:35

Ok je vais reprendre l'exercice alors.

Désolé mais j'ai l'impression qu'il y a une erreru d'énoncer mais je vais le reprendre car la routine avait voulu que je le résolve comme un exercice classique.

Je te tiens au courant rapidement!

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:41

ok merci!
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 20:47

Alors alors! Désolé du léger cafouillage.

La premièer question est bien fausse dans ton énoncer, il devrait être écrit:

2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,

Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p-1)]


Le reste des questions est juste.

Maintenant reprenons la première question avec les bonnes données et démontrons que:

Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p-1)

En utilisant l'entité conjuguée.

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 21:05

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1/[Racine(3-1)] = 1/Racine(2) = (à peu près) 0.7071
u4 = 1/[Racine(4-1)] = 1/Racine(3) = (à peu près) 0.5773
u5 = 1/[Racine(5-1)] = 1/Racine(4) = 1/2 = 0.5


2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3.
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 21:25

Attention pour la toute première question:

U2 = 1
U3= 1 + 1/Racine(3-1)
U4= 1 + 1/Racine(3-1) + Racine(3-2)

(Un) est une somme de termes. à quoi est égale U5 ?

Sinon la question 2 est juste!

Pour la quesiton 3), il faut en effet minorer Racine(p) + Racine(p-1) avec la même méthode que nous avions utilisé avec pour objectif cette fois-ci de trouver: Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2racine(p-1)]

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 21:46

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u4 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u 5 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

2 ≤ p
Racine (2-1) ≤ Racine(p-1)
1 ≤ Racine (p-1)
-1 ≥ -Racine(p -1)
Racine(p) - 1 ≥ Racine(p) - Racine(p-1)
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 21:58

tout est bon pour les 2 première question!

Pour la 3), utlise le fait que: p>p-1 et essaie d'arrivé à Racine(p-1) + Racine(p) > "???"

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 22:20

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u4 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u 5 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))

Je fais la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1) = Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1)
= -1 + 2 + Racine(n) - Racine(n-1) = 1 + Racine(n) - Racine(n-1)

Je fais maintenant la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

[1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2))] + [1/(2Racine(3)) + 1/(2Racine(n-1))]
= [(2Racine(2) + 2Racine(1))/(2Racine(1)2Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1))
= [(2Racine(2) + 2)/(4Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [(2Racine(2) + 2)(2Racine(3)2Racine(n-1))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))(4Racine(2))] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [8Racine(6)Racine(n-1) + 8Racine(3)Racine(n-1)] + [8Racine(2)Racine(n-1) + 8Racine(6)] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= 8Racine(6n-6) + 8Racine(3n-3) + 8Racine(2n-2) + 8Racine(6)
= (8[Racine(6n-6) + Racine(3n-3) + Racine(2n-2) + Racine(6)]) / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]

Après euh...


Dernière édition par MrTheYo le Dim 16 Nov - 10:01, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Sam 15 Nov - 22:47

Nickel chrome !!!

Maintenant, on passe à la question 4). Dans cette question on ne te demadne pas de faire de calcul!!! Il faut juste remplacer p par une valeur et cic à chaque ligne.


La conclusion vien en sommant de chaque côté de l'inégalité!

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Dim 16 Nov - 10:02

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u4 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u 5 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))

Je fais la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1) = Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1)
= -1 + 2 + Racine(n) - Racine(n-1) = 1 + Racine(n) - Racine(n-1)

Je fais maintenant la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

[1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2))] + [1/(2Racine(3)) + 1/(2Racine(n-1))]
= [(2Racine(2) + 2Racine(1))/(2Racine(1)2Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1))
= [(2Racine(2) + 2)/(4Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [(2Racine(2) + 2)(2Racine(3)2Racine(n-1))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))(4Racine(2))] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [8Racine(6)Racine(n-1) + 8Racine(3)Racine(n-1)] + [8Racine(2)Racine(n-1) + 8Racine(6)] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= 8Racine(6n-6) + 8Racine(3n-3) + 8Racine(2n-2) + 8Racine(6)
= (8[Racine(6n-6) + Racine(3n-3) + Racine(2n-2) + Racine(6)]) / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]

Après euh...
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Dim 16 Nov - 13:03

Bonjour,

Alors tu n'as pas l'habitude de ce genre de raisonnement mais ne fait on ajoute pas seulement les 4 lignes mais toutes les lignes jusqu'à n. Lors de l'écriture, on écrit cela plutôt comme ça:

Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Tu constates en fait qu'à gauche, tous les termes vont se compenser sauf 2 et à droite si on met 1/2 en facteur, tu va retrouver une donnée du problème.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Dim 16 Nov - 13:29

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u4 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u 5 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [Racine(1) + Racine(2) + Racine(3) + .... + Racine(n-1]
= 1/2 [1 + Racine(2) + Racine(3) + .... + Racine(n-1]
= 1/2(Un
DONC :
Racine(n) - Racine(1) = 1/2(Un)
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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Dim 16 Nov - 13:33

Nickel sauf qu'il te manque des "1/" partout dans ta somme Wink. En effet, toutes tes racines sont au dénominateur et non au numérateur.


ET pour la dernière question, comment tu compte conclure et qu'utilises-tu pour le faire ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur la limite d'une suite   Dim 16 Nov - 13:45

1.
u2 = 1/[Racine(2-1)] = 1
u3 = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u4 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u 5 = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [1/Racine(1) + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1]
= 1/2 [1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1)]
= 1/2(Un)
DONC :
Racine(n) - Racine(1) ≤ 1/2(Un)



5. On sait que :
Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(Un)
donc :

[Racine(n) - Racine(1)]/(1/2) ≤ (Un)
Problème : On a une minoration de Un au lieu d'avoir une majoration (vu qu'on cherche la limite en + Infini) donc là, je ne sais pas... mais, ça doit avoir un rapport avec ce que je viens d'énoncer.
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