1)
- Citation :
- La fonction racine carrée est définie sur R+.
Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.
Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.
Donc, la fonction f(x) sera définie sur :
]-Inf ; -2]U[1 ; +Inf.[
2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :
f'(x) = [2x+1] / [2Racine[(x-1)(x+2)]
Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[
car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!
Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :
--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[
Pourquoi les crochets sont-ils ouverts? Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.
3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim
h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim
x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en 1 car elle n'admet pas de limite finie en 1.
4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim
h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim
x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en -2 car elle n'admet pas de limite finie en -2.
5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :
- Citation :
- La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.
Lim
x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim
x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim
x-->-Inf. f(x) = +Inf.
Lim
x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim
x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim
x-->+Inf. f(x) = +Inf.
Lim
x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim
x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim
x-->-2 f(x) = 0
Lim
x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim
x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim
x-->1 f(x) = 0
6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].
L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)
Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)
Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.
7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :
Lim
x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]
Donc, la droite d'équation y= x + 1/2 est bel et bien asymptote à la courbe de f en + Infini.
8) On a vu à la question 6 que la courbe de f était symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2
ET
On vient de prouver que y = x + 1/2 était asymptote à la courbe en + Infini
DONC :
Logiquement, la droite d'équation y = -x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en -Infini.
Je vais tout de même le démontrer :
Je dois calculer f(x) - (-x -1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)
= [Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]] / [1 * Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (-x - 1/2)²] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [(x-1)(x+2) - [(-x - 1/2)(-x - 1/2)]] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x -2 - (x² + 1/2x + 1/2x + 1/4)] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x - 2 - x² -x -1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-8/4 - 1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
Je dois chercher la limite en -Infini de cette expression :
Lim
x-->-Inf.x² + x - 2 = +Infini
Lim
x-->+Inf. Racine(X) = +Infini
Jusque là normalement limite de fonction composée c'est ok.
Lim
x--> - Inf (-x -1/2) = +Infini
DONC :
Lim
x-->-Inf.[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = 0
--> Type "1/Inf."
Dim 23 Nov - 11:48
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