Exercices sur les congruences

Salut!
J'ai deux exercices à faire sur les congruences (bientôt trois..) et, je bloque sur certaines questions et, j'ai beau me baser sur le modèle que j'ai, ça ne traite pas ce genre de cas.... J'aurais donc besoin d'un petit coup de main stp!

Voici l'énoncé :


Exercice 1 :

On pose A_n = n⁵ - n, n étant un nombre entier naturel quelconque.

a) Démontrer que A_n est un nombre positif.
b) Démontrer que A_n est un multiple de 3.
c) En utilisant les congruences modulo 5, démontrer que A_n est un multiple de 5.
On demande donc dans cette question d'effectuer une disjonction en 5 cas suivant que n est congru à 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 modulo 5.
d) Pourquoi A_n est-il divisible par 30?



Exercice 2 :

a) En utilisant les congruences, établir le fait que pour tout entier naturel n, le nombre 4ⁿ + 2 est un multiple de 3.
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre 4ⁿ + 6n -1 est un multiple de 9 (On pourra utiliser le résultat du a).



Et voici mes réponses :

Exercice 1 :

a) A_n pair?
--> Un nombre pair s'écrit sous la forme 2k.
[Et ça s'arrête ici, je ne vois pas comment utiliser les congruences là-dessus....]


b) A_n multiple de 3?
--> On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 et 2 :



DONC : A_n est un multiple de 3.


c) A_n multiple de 5?
--> On a ici 5 cas de figure possibles :


--> n = 5k :
Et là, je ne comprends pas la démarche...




Exercice 2 :

a) 4ⁿ + 2 multiple de 3?
--> Je procède ici par disjonction des cas :
Avec 0 ; 1 et 2 (restes possibles de la division par 3) :



DONC : 4ⁿ + 2 est un multiple de 3.

b) Soit : 4ⁿ + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité : On suppose que 4ⁿ + 6n - 1 est un multiple de 9 donc : il faut maintenant prouver que 4ⁿ⁺¹ + 6(n+1) -1 est également un multiple de 9 :

->4ⁿ⁺¹ + 6(n+1) - 1
= 4ⁿ⁺¹ + 6n + 6 - 1
= 4ⁿ⁺¹ + 6n + 5

Je ne pense pas pouvoir caser ici un tableau pour prouver ça par disjonction des cas... donc me voilà bloqué...


Je pense maîtriser les congruences dans les grandes lignes mais, quelques techniques me gênent tout de même c'est pour cela que j'aurais besoin d'un petit coup de main svp.
Merci d'avance!

Bonsoir,

Citation :

a) Démontrer que A_n est un nombre positif.

Vu la réponse que tu donnes, je pense que la question est de savoir si A_n est pair et non positif.

Alors pour montrer qu'un nombre est pair, il faut montrer qu'il est de la forme 2*p avec p un entier quelconque. Mais comment faire?

La méthode est souvent la même. En effet, un entier n peut être pair ou impaire, c'est à dire n=2k ou n=2k+1. Il suffit de faire le calcul pour les deux cas et bien montrer que notre A_n reste pair dans ses deux cas là.

Vu comment tu traites la deuxième question, la première question peut aussi se traité en regardant les congruence de n modulo 2.

La deuxième question est juste. Cela revient en fait à remplacer n par 3k, 3k+1 et 3k+2 mais le tableau de congruence est un outils qui permet de gagner du temps du moment qu'on se souvient de ce qu'il y a derrière.


D'ailleurs, vu comment est poser les 3ème questions, les deux première pouvaient donc être traitées sans congruence mais on ne te dira rien si tu l'utilises du moment que c'est juste .



Alors pour cette 3ème question, je ne comprend pas ton problème. En effet, tu revient à la forme 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3 et 5k+4 alors que dans la question précédente tu utilisais les congruences modulo 3. Ici, il suffit de faire un tableau de congruence modulo 5 identique sur le principe à celui que tu fait pour la 2ème question.
D'ailleurs l'indication te dit comment procéder et c'est la méthode que tu emplois tout seul dans la 2ème.


La question d) se déduit du théorème chinois si tu l'as vu en cours car 2, 5 et 3 sont premiers entre-eux.

Nous verrons l'exercice 2 après mais je tiens à préciser de faire attention avec les congruence dans cette exercice car le n est en puissance et non en multiplication ce qui change la démarche.

Bon courage!

Exercice 1 :



a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :




b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :



Donc A_n multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :


Donc A_n est un multiple de 5.


d) Théorème chinois? Excuse-moi je ne connais pas...

Bonsoir,

Tout m'a l'air correcte avec la méthode utilisée.

Alors le théorème chinois, tu connais pas mais on va s'en passer, c'est pas grave.

Qu'a-t-on montrer en a), b) et c) ? Qu'en déduits-tu sur la forme de A_n?

A_n est un nombre pair multiple de 3 et de 5

Ok.

Vu que A_n est pair, celà signifie que 2|A_n, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que A_n=2k

Or A_n est un multiple de 3, donc 3|A_n c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc A_n= 2*(3k')= 6k'

Or A_n est un multiple de 5, donc 5|6k'

Si tu as compris le raisonnement comment on conclut?

Citation :

Vu que An est pair, celà signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Là d'accord.

Citation :

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Là toujours d'accord.

Citation :

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

Je comprends là mais pourquoi 3|k?? Là je ne saisis pas...

Bonsoir,

Si 3|2*k, celà signifie donc que 3 divise un des facteurs de 2*k, alors 2 est premier avec 3. Donc 2 n'est pas un multiple de 3.

Conclusion, k contient un facteur qui est divisible par 3 vu que 2*k est divisible par 3.

Donc 3|k.

Est-ce plus clair ainsi?

La théorème général est le suivant:

Si a|b*c et PGCD(a,b)=1
Alors a|c

Là d'accord .
Et je dois utiliser ceci pour résoudre la question?

Bonsoir,

Tu utilises en fait deux fois ce procédé pour résoudre cette question en effet .

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

Exercice 1 :



a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :




b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :



Donc A_n multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :


Donc A_n est un multiple de 5.


d)

Citation :

Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'

[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Et là, je ne vois pas comment conclure...

Bonsoir,

Tu y es presque! On a donc 5|k'

Qu'est-ce que celà signifie en terme d'égalité k'= ???

Et conclusion, on remplace k' par sa valeur et on va avoir An= ?? ce qui va nous permettre de conclure qu'il est divisible par 30.

Bon courage pour finaliser cette exerice.

ps: tu te souviens:

-Qu'est-ce que j'ai? Qu'est-ce que je veux? Comment faire le lien? Tu as un critère de divisibilité par 5 et tu as déjà un critère de divisibilité par 6 (2*3)! Tu as un critère de disibilité par 30 à trouver! Le lien? Utiliser la définition des critère de divisibilité .

Exercice 1 :



a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :




b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :



Donc A_n multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :


Donc A_n est un multiple de 5.


d)

Citation :

Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'

[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc A_n = 6 * (5k') = 30k'
Donc A_n est divisible par 30!

Yes !!!

Bon est-ce que c'est plus clair maintenant au niveau de la démarche de cette exercice? Utiliser les congruences pour les deux premières questions n'est pas forcément nécessaire mais cela se fait sans problème avec aussi (c'est une question de choix après).

Sinon, pour la première question de l'exercice 2), il faut faire très attention sur le fait que n est en exposant et non en multiplication ce qui change la méthode de résolution.

En effet, nous allons ici devoir appliquer le petit théorème de Fermat (que tu as normalement vu en cours sinon cette question risque d'être plus complexe xD).

Qui nous dit que:

Citation :

Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors a^p-1-1 est un multiple de p

Il va donc falloir se ramener à ces hypothèses là pour montrer que 4ⁿ+2 est un multiple de 3 (3 est un nombre premier).

Une idée pour faire celà?


Bon courage!

Exercice 1 :



a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :




b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :



Donc A_n multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :


Donc A_n est un multiple de 5.


d)

Citation :

Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'

[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc A_n = 6 * (5k') = 30k'
Donc A_n est divisible par 30!



Je pense avoir saisi l'idée de la chose mais, disons que ça rentre toujours mieux avec des exercices sur le sujet


Exercice 2:

Théorème de Fermat... Pourquoi on nous donne des exos sur ce qu'on a pas vu!

Citation :

Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors a^p-1-1 est un multiple de p

Dans notre cas, 4 est le a et, il n'est pas divisible par 3 qui est le p donc :
via le théorème de Fermat :

> 4^3-1 - 1 est un multiple de 3
= 4² - 1 = 15 qui est un multiple de 3.
Il y a peut-être un rapport avec tout ça...

Il y a un rapport en effet. Mais là on ne trouve pas pour tout n le fait que ça soit divisible par 3.

Tu n'as pas une autre forme pour écrire 4ⁿ à l'aide d'un carré (3-1=2) ?

Je vais rechercher un moyen de faire l'exercice sans le théorème de Fermat mais bon vu que pour le moment je te le rappelle, on va au moins pouvoir avancer avec ça (c'est au programme de terminale spécialité maths ne t'inquiète pas ).

(2²)ⁿ ?

C'est ça alors maintenant nous on veut a², donc quelle serait la valeur de a?

a vaudrait 2?

Si a vaut 2,

Alors on aurait a² - 1 multiple de 3 ce n'est pas ce qu'on veut d'une part. Et d'autre part, a² si a=2, celà donne 4 et non 4ⁿ.

Souviens-toi du calcul avec puissance, ici faut qu'on est le carré en puissance de a, et là nous avons encore le n pour l'instant.

(a²)ⁿ

Bonjour,

Là tu poses encore a=2, vu que(2²)ⁿ=4ⁿ

Or nous on veux a². Comment peux-tu écrire d'une autre façon (2²)ⁿ ?

Il y a deux autres façons d'écrire ce terme.

Bon courage!

(2²)ⁿ = 4ⁿ = 2²ⁿ

C'est presque ça, on veut une forme a².

Donc ici, a= ?

a = 2ⁿ