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 Exercices sur les congruences

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 18:51

Nikel !!

Du coup, on a bien a3-1 -1 congru à 0 modulo 3 par le petit théorème de Fermat.

Or -1 est congru à combien modulo 3 ?

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 19:03

Je recite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.

C'est bien cela?
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 20:10

C'est tout à fait ça!

Bon maintenant pour la récurrence, l'initialisation était bonne. Pour l'hérédité on suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Maintenant pour le passage à (n+1), on avait: 4n+1 + 6n + 6 - 1

Est-ce que nous pourrions pas dans un premier temps écrire ceci seulement avec des puissance de 4 et des constante (il n'y est plus de "6n" donc)?

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 21:30

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n + 1 -1 est un multiple de 9. [Pourquoi 6-1 vu que c'est n+1? Cf. ton message.]
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 21:58

Car 4(n+1) + 6(n+1) -1= 4n+1 + 6n + 6 -1

comme tu l'avais bien fait dans ton premier message Smile.

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 22:23

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.
[Désolé j'ai pas fait attention]

Je dois écrire : 4n+1 + 6n +5 avec des puissances de 4?
Comment tu veux faire ça?
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptySam 6 Déc - 23:24

J'avais laissé la forme: 4n+1 + 6n +6 - 1 exprès en fait.

Le but est d'avoir que des puissances de 4 et des constante mais plus de multiplication par n.

A quoi est égale 6n-1 ??

Et du coup que vaut: 4n+1 + 6n +6 - 1 en fonction de n et de k?

Or nous avons fait une question a), que nous dit-elle?

J'enchaîne les question pour te montrer quel es idées s'enchaîne en fait même si elles ne sont pas forcément évidente à voir j'en suis tout à fait conscient mais le but est d'utiliser la question a) donc il nous faut des puissance de 4 ainsi que des constantes seulement, c'est ce qui motive les interrogation que je te propose.

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 9:25

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.

6n - 1 = (41 +2)n - 1
Désolé, là je ne vois pas....
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 10:57

Bonjour,

Tu as marqué:
4n + 6n -1 =9k

Celà permettait de mettre en évidence que 4n + 6n -1 était un multiple de 9 (notre hyptohèse de récurrence).

Maintenant, je te demandais d'exprimer 6n-1 en fonction de k et d'une puissance de 4.

Utiliser ce qu'on sait pour aller là où nous voulons (nous voulons utiliser le a) pour pouvoir conclure).

Est-ce que tu vois mieux comment avancer?

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 13:01

4n + 6n -1 =9k
Je dois exprimer 6n-1 en fonction de k et d'une puissance de 4

Je t'assure que je vois ce que tu veux dire mais le terme puissance de 4 me bloque...
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 17:34

Bon alors allons-y: 4n est une puissance de 4.

donc 6n-1= 9k - 4n

Conclusion, 4n+1 + 6n + 6 -1 = 4n+1 + 6 + 9k - 4n

Maintenant, la question a) nous dit quoi en terme d'égalité? Il existe un entier k' tel que ...

Puis tu remplaces au fur et à mesure dans ton expression en espérant qu'au bout du compte tu auras un terme divisible par 9.

Bon courage! (Le calvaire est bientôt fini Wink).

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 18:16

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.

On a :
6n-1= 9k - 4n
Donc :
4n+1 + 6n + 6 -1 = 4n+1 + 6 + 9k - 4n

La question a) nous dit qu'il existe un entier k' tel que k' = 3k'' (on nous parle de multiple de 3 donc, ça devrait être ça...)
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 18:38

On nous parle de multiple de 3 en effet, mais qu'est-ce qui est un multiple de 3 petit malin?? Razz ("Qu'est-ce qu'on a?" !!!)

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 18:55

On a 4n + 2 multiple de 3
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 20:07

Qu'est-ce que celà signifie concrètement (en terme dégalité)?

Il existe un entier k' tel que ?

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 20:22

Cela signifierait qu'il existe un entier k' tel que 3k' = 4n + 2
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 20:25

Nickel !!

Maintenant, nous ce qu'on a c'est: 4n+1 + 6 + 9k - 4n

Il faudrait pouvoir remplacer 4n et 4n+1 en utilisant la relation que tu viens d'écrire.

Qu'est-ce que cela donne?

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 20:49

On a :

4n+1 + 6 + 9k - 4n
et : 3k' = 4n + 2

4n+1 + 6 + 9k - 4n = 4n+1 -3k' +9k +4
= 4n * 4 - 3k' + 9k + 4 = 3k'*4 - 3k' + 9k + 2??
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyDim 7 Déc - 21:13

Légère erreur:

Si 4n+2=3k' alors 4n=3k' - 2

Ca va te permettre de simplifier ce qui ne marchait pas encore si tout se passe bien.

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 17:47

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

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b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.

On a :
6n-1= 9k - 4n
Donc :
4n+1 + 6n + 6 -1 = 4n+1 + 6 + 9k - 4n

La question a) nous dit qu'il existe un entier k' tel que k' = 3k''
On a :

4n+1 + 6 + 9k - 4n
et : 3k' = 4n + 2

4n+1 + 6 + 9k - 4n = 4n+1 -3k' +9k +4
= 4n * 4 - 3k' + 9k + 4 = 3k'*4 - 3k' + 9k - 2

Où es-ce que ça change je suis perdu là...
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 18:00

Bonsoir,

Le changement se fait dans le signe lorsque tu remplaces 4n

En effet, 4n=3k' - 2

Et toi tu écris l'égalité:

4n+1 + 6 + 9k - 4n = 4n+1 -3k' +9k +4

tu as écrit 6-2=4 cependant, ici c'est -4n que tu remplaces sachant que 4n=3k' - 2. Donc -4n=-(3k' - 2)= -3k' + 2

L'erreur vient de là en fait.

Je te laisse reprendre ton calcul.


Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 18:45

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.

On a :
6n-1= 9k - 4n
Donc :
4n+1 + 6n + 6 -1 = 4n+1 + 6 + 9k - 4n

La question a) nous dit qu'il existe un entier k' tel que k' = 3k''
On a :

4n+1 + 6 + 9k - 4n
et : 3k' = 4n + 2 donc : 4n = 3k' - 2

> 4n+1 + 6 + 9k - 4n
= 4n+1 + 6 + 9k - 3k' + 2
= 4n+1 + 3k' + 9k + 8
= 4n * 4 + 3k' + 9k + 8
= (3k' -2) *4 +3k' +9k + 8
= 12k' -8 + 3k' + 9k +8
= 15k' + 9k
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 19:57

The last error:

Citation :
= 4n+1 + 6 + 9k - 3k' + 2
= 4n+1 + 3k' + 9k + 8

Pourquoi le -3k' c'est transformé par enchantement par +3k'? Wink.

Du coup à la fin on va avoir 12k'-3k'=9k' et tu vas constater qu'enfin tu as un multiple de 9 Smile.

Très calculatoire cette exercice et il faut vraiment rester très concentré et attentif lors des calculs, la moindre erreur ne pardonne pas c'est indéniable.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 20:06

Exercice 1 :

An = n5 - n


a) Un nombre pair s'écrit sous la forme n = 2k
--> On fait ici une disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 88640510zu7



b) On fait ici une disjonction des cas avec les 3 restes possibles de la division par 3 soit : 0 ; 1 ; 2 :

Exercices sur les congruences - Page 2 79721277en8


Donc An multiple de 3.


c) Je procède par disjonction des cas avec les restes possibles de la division par 5 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 :

Exercices sur les congruences - Page 2 15516687ps1

Donc An est un multiple de 5.


d)
Citation :
Vu que An est pair, cela signifie que 2|An, c'est à dire qu'il existe un entier naturel k tel que An=2k

Or An est un multiple de 3, donc 3|An c'est à dire 3|2k

Or 2 et 3 sont premier entre eux, donc 3|k

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k' tel que k=3k'

Donc An= 2*(3k')= 6k'

Or An est un multiple de 5, donc 5|6k'


[Je viens de voir ça sous le nom du théorème de Gauss si je ne me trompes pas.]

Donc 5|k'

Or 5 et 6 sont premiers entre eux donc 5|k'

C'est à dire qu'il existe un entier naturel k'' = 6*(5k')

Donc An = 6 * (5k') = 30k'
Donc An est divisible par 30!



Exercice 2:

a) Je cite le théorème de Fermat

Citation :
Soit a un entier naturel non nul et p un nombre premier.

Si a n'est pas divisible par p, alors ap-1-1 est un multiple de p

avec a = 2n

On a bien a3-1 -1 = (2n)3-1 -1 congru à 0 modulo 3.

Or -1 est congru à 2 modulo 3

donc, le nombre 4n + 2 est congru à (2n)3-1 -1 qui est multiple de 3.


b) Soit : 4n + 6n - 1 multiple de 9

Initialisation :
40 + 6*0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 * 9

Donc, l'hypothèse de récurrence est vérifiée!

Hérédité :

On suppose que 4n + 6n -1 est un multiple de 9, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que:

4n + 6n -1 =9k

Donc, je dois prouver que :
4n+1 + 6n +6 - 1 est un multiple de 9.

On a :
6n-1= 9k - 4n
Donc :
4n+1 + 6n + 6 -1 = 4n+1 + 6 + 9k - 4n

La question a) nous dit qu'il existe un entier k' tel que k' = 3k''
On a :

4n+1 + 6 + 9k - 4n
et : 3k' = 4n + 2 donc : 4n = 3k' - 2

> 4n+1 + 6 + 9k - 4n
= 4n+1 + 6 + 9k - 3k' + 2
= 4n+1 - 3k' + 9k + 8
= 4n * 4 - 3k' + 9k + 8
= (3k' -2) *4 - 3k' +9k + 8
= 12k' -8 - 3k' + 9k +8
= 9k' + 9k
= 9(k + k')

Et voilà! On a donc un multiple de 9!
Donc : 6n+1 + 6(n+1)-1 est un multiple de 9
Donc : 4n +6n - 1 est bel est bien un multiple de 9!

Et voilà, c'est bel et bien clos!
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MessageSujet: Re: Exercices sur les congruences   Exercices sur les congruences - Page 2 EmptyLun 8 Déc - 21:53

§J'ai rayé une phrase qui ne servait à rien cr on ne parle pas d'un k".

Mais sinon tout est juste en effet.

Beau boulot!

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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