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 Cylindre inscrit dans une sphère et variation .

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stephs



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MessageSujet: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Ven 5 Déc - 16:33

Bonsoir Smile Je bloque sur une question d'un exercice , car j'ai des doutes quand a mes résultats précédents . Serait-il possible de les vérifier? Merci .

Voici l'énoncé :

On coupe une sphère de rayon R par un cylindre de rayon r dont l'axe passe par le centre de la sphère . On détermine ainsi un cylindre de rayon r de hauteur h inscrit dans la sphère . Le but de l'exercice est de déterminer r en fonction de R pour que le volume du cylindre inscrit soit maximal .

1. Exprimer r² en fonction de R et h .

Ici j'ai appliqué pythagore . Ainsi j'ai dit que :

R² = (h/2)² + r²
R² = h²/4 + r²
r² = R² - h²/4
r = rac ( R² - h²/4 )


2. En déduire l'expression du volume V(h) du cylindre inscrit en fonction de h .

V(h) = pi x r² x h
V(h) = pi*(R² - h²/4)*h
V(h) = pi*R²h - pi*h^3/4

3. Etudier les variations de la fonction V puis répondre au problème posé .

Donc mon soucis , c'est que si je dérive v(h) je trouve :

V'(h) = pi*R² - 3pi*h² / 4


Or je trouverais la limite pour h , donc le volume maximal en fonction de h , et pas de r .
Comment pourrais-je faire alors pour trouver cette limite de r?

En vous remerciant d'avance pour votre aide .


Stephs
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Ven 5 Déc - 17:48

Bonsoir,

Alors un truc sympathique à faire lorsqu'on est bloquer c'est de regarder ce qu'on a déjà fait et ce qui est fixé dans notre problème.

- Ce qui est fixé c'est le rayon de notre sphère R et c'est la seule chose.

- Ce qu'on a fait, c'est la question 1 et 2. A la question 1, on a trouver un lien entre r², h² et R² et en 2) on a calculé le volume de notre cylindre.

Trouver une relation entre r², h² et R² sachant que R est fixé cela revient à dire que si on trouve h, on trouve r vu que r s'exprime ne fonction de h (et inversement).

Le volume dépend de h seulement vu que R est une constante fixé. Il s'agit donc d'une fonction de h qui nous l'espérons va admettre un maximum et c'est ce maximum que nous cherchons.

Lorsque tu parles de limite de h, je crois que tu veux dire que tu cherches la valeur que prend h lorsque le volume est maximal. Enfin, je l'espère car ici, il n'y a pas de limite à calculer en h vu qu'on étudie notre fonction V pour trouver son sens de variation et ainsi en déduire la valeur de h lorsque V(h) est maximal.

Ensuite connaissant la valeur de h lorsque le volume est maximal, on en déduit grâce à la question 1), la valeur de r en fonction de R poru quel e volume soit maximal.


C'est quelque chose qui est difficile a faire je le conçois mais un exercice n'est pas seulement une suite de question cherchant à tester tes connaissance mathématiques. En effet, il a un but et donc les questions s'enchaînent dans un ordre précis menant au résultat que nous cherchons. Ici ton exercice a un but précis et on te donne 3 questions pour y arriver c'est à dire que ces trois questions sont liées et utile pour résoudre ton problème (et que normalement tu n'as pas besoin d'autre question pour y arriver aussi mais bon c'est un aspect purement scolaire ça). Il faut donc essayer le plus possible de comprendre ce l'enchaînement des questions et leur utilités à tous les niveaux de l'exercice. Ce n'est pas parce qu'on a déjà utiliser la question 1) qu'elle ne resservira pas par la suite, en effet.


Sinon, d'un point de vu rédaction, on applique le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle en un point. C'est bête à dire mais il est si facile de l'appliquer qu'on en oublierait presque qu'il faut quel e triangle soit rectangle et qu'il ne faudrait pas oublier de l'appliquer avec les bons côtés (c'est à dire préciser l'angle droit qu'on a). J'imagine donc qu'ici il faudrait faire une figure, y mettre 3 points délimitant ton triangle et après seulement appliquer ton théorème pour que ton professeur (et le correcteur si on parle du bac) puisse savoir ce que tu fais et surtout comment tu le fais. Pour cette première question n'oublie pas l'énoncer de celle-ci, on te demande d'exprimer r², inutile de perdre du temps à écrire une ligne avec une racine carrée (en oubliant pas de justifier que nos paramètres sont bien positif pour ne considérer que la racine "positive").

La question 2) est nickel mais sache que ce n'est pas perdre du temps que de marquer à côté de la deuxième ligne "d'après la question 1)". Il faut savoir que tout ce qu'il y a dans ta tête ne sera pas lu par le correcteur Wink. Je chipote là c'est évident vu que c'est un petit exercice de recherche mais les bonnes habitudes se prennent sur les petits exercices car si ce n'est pas fait sur les petits ça sera oublié sur les gros problèmes où là par contre ils sont plus que nécessaires.

Pour la question 3), la dérivée est juste, il reste maintenant à conclure sur son signe puis sur la variation de V pour trouver la valeur de h pour que V soit maximal.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

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stephs



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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Sam 6 Déc - 14:36

Comment en déduis t-on son signe? Je ne me rapelle plus comment faire .
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Sam 6 Déc - 18:03

Bonsoir,

Alors c'est une fonction de h et toutes les constantes sont positives. Il suffit donc de résoudre V'(h)>0 par exemple (sachant que la fonction racine carré est croissante).

Celà revient donc à résoudre une inéquation en h.

Est-ce que tu vois mieux comment faire ?

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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Dim 7 Déc - 14:26

V'(h) = pi*R² - 3pi*h² / 4

Considérant pi*R² positif car c'est une racine carrée , on a donc :

V'(h) = -3 pi * h² / 4

Si v'(h) > 0 :

-3pi * 0 / 4


Ce qui nous fait V'(h) = 0/4 .


Donc c'est impossible?
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Dim 7 Déc - 18:00

C'est en effet très gênant qu'il n'y ait pas de volume maximale.

Alors pourquoi tu ne démarres pas directement avec ça: On cherche h positif tel que V'(h) > 0

Ainsi, on a à résoudre l'inéquation en h (h>0): pi*R² - 3pi*h²/4 >0

Et là tu vas trouver les valeurs de h pour que la dérivée soit positive. u fait de même pour qu'elle soit négative et ainsi tu pourras faire ton tableau de variation de V.

Est-ce que tu comprends la démarche de l'exercice? Ici en fait, on effectue une étude de fonction c'est à dire qu'on essaie de faire le tableau de variation de notre fonction et pour celà il nous faut le signe de sa dérivée.

si dès fois cette méthode là n'est pas clair n'hésite pas à demander plus de précision car elle est importante.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Dim 7 Déc - 19:46

Je trouve h = 2Rrac(3)/ 3 et h = -2R rac(3) / 3

V' est donc positive pour 0 < h < 2R rac(3) / 3 et négative pour tout autre valeur supérieur .

C'est ca?


Donc on peut en conclure que la valeur de h est le volume maximal?
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Dim 7 Déc - 20:00

On en conclue que V est croissante sur [0, 2R rac(3) / 3] et décroissante sur [2R rac(3) / 3;+infini[ Car V'(h) est positif sur le premier intervalle et est négatif sur le second.

En conclusion, d'après le tableau de variation V(h) est maximal pour h= 2R rac(3) / 3.

C'est tout à fait ça, et maintenant comment on trouve le r correspondant ?

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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Lun 8 Déc - 18:38

r = rac ( R² - h² / 4 )

r= rac (R² - (2Rrac(3)/ 3 )²

r= rac ( R² - 4R² x 3 / 9 )

r= rac ( R² - 12R² / 9 )


Mais on trouvera une racine impossible .... non? Puisqu'elle sera négative . OU me suis -je trompé?
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Lun 8 Déc - 19:49

Bonsoir,

C'est une bonne remarque, nous allons trouver avec ton calcul une racine d'un nombre négatif. Il y a donc une erreur quelque part mais où?

Citation :
r = rac ( R² - h² / 4 )

r= rac (R² - (2Rrac(3)/ 3 )²

ET bien dès le départ Wink. En effet, il y a la division par 4 du h² qui c'est perdu en route et qui fausse donc le résultat finale.

Je te laisse reprendre ce calcul qui devrait cette fois-ci s'avérer juste pour ta plus grande satisfaction, je pense. Moralité, il faut rester concentrer jusqu'au bout, c'est pas lorsqu'il n'y a plus que du calcul à faire qu'il faut relâcher son attention, une erreur est si vite arrivée.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Lun 8 Déc - 20:10

r = rac ( R² - h² / 4 )

r= rac (R² - [(2Rrac(3)/ 3 ]² /4)


r= rac ( R² - [12R² / 9] / 4 )

r= rac ( R² - 12R² / 9 x 1/4 )

r= rac ( R² - 12R² / 36 )

r= rac ( R² - 1/3 R² )

r= rac ( 2/3 R² )

r= 2/3 R


C'est ca?
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Lun 8 Déc - 21:49

Il manque une racine pour le 2/3 Wink. De la rigueur que diable! Razz

Mais sinon c'est juste en effet!

J'espère que tu as retenu la démarche pour trouver un maximum d'une fonction par son tableau de variation et que tu te souviendras de l'utilité de bien comprendre le lien entre les questions. Chaque question a son importance dans ce genre d'exercice.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Lun 8 Déc - 23:06, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   Lun 8 Déc - 22:42

Oui je pensais extraire tout ^^ Une erreur d'inattention . Merci beaucoup pour cette aide . Smile
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MessageSujet: Re: Cylindre inscrit dans une sphère et variation .   

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