Théorème de Bezout : Application

Salut!
J'ai un problème assez énervant car, je ne comprends pas quelque chose dans mon cours à propos du théorème de Bezout.
Ici, on a une égalité de Bezout type c'est-à-dire :

avec :

ce qui nous donne donc :


Jusqu'ici tout va bien.

J'applique ensuite l'algorithme d'Euclide :

38 = 1 * 35 + 3
35 = 11 * 3 + 2
3 = 1* 2 + 1 --> 1 est le PGCD donc a et b sont premiers entre-eux donc Bezout est possible!

Ici, je dois donc remonter l'algorithme d'Euclide à, partir de 1 pour trouver des valeurs de u et v :

1 = 3 - 1*2
1 = 3 - 1(35 - 11*3) = 12 *3 - 1*35
1 = 12 (38 - 1*35 -1*35
1 = 12 * 38 - 13 * 35
Donc :

12 * 38 - 13 * 35 = 1

Bon, c'est pas que c'est faux mais, déjà que je galère à remonter l'algorithme d'Euclide, je tombe dans deux cas sur un passage d'une étape à une autre que je ne comprends pas : comment passe-t-on de l'étape verte à l'étape rouge???

Ta question est légitime en effet car je n'arrive pas moi même à passer de la verte à la rouge pour le moment.

Par contre la remontée de l'algorithme d'Euclide, il suffit de l'avoir (bien) vu écrit une fois pour ne pas se planter. Alors je te l'écris:

Algorithme d'Euclide poru trouver le pgcd:
38 = 1 * 35 + 3
35 = 11 * 3 + 2
3 = 1* 2 + 1

Remontée de l'algorithme d'Euclide:

1= 3 - 1*2
1= 3 - 1*(35 - 11*3) (car 2=35 - 11*3)
1= (38 - 1*35) -1*[35 - 11*(38 - 1*35) ] (car 3= 38-1*35)

Maintenant on développe en gardant en évidence le couple de départ c'est à dire 38 et 35 ici ce qui donne:

1= 38 - 35 -1*[35 - 11*38 - 11*(-35) ]

Donc 1= 38 - 35 - 35 + 11*38 - 11*35

Conclusion: 1= 12*38 - 13*35

Il ne sert strictement à rien de vouloir brûler les étapes de calculs car c'est le meilleur moyen de se planter! Autant prendre 2 minutes pour faire quelque chose de juste que de bâcler la remontée de l'algorithme d'Euclide car celà sera très mal vue par le correcteur car c'est une méthode de calcul classique qu'il faut savoir maîtriser et faire juste. Cette méthode doit être considérée comme des points cadeau lors d'un devoir et non comme une corvée de calculs. C'est chiant à faire mais ça se fait il suffit juste de rester concentrer et de prendre le temps de le faire car 1-2 points c'est pas négligeable dans un exercice de spécialité .

As-tu mieux compris la démarche de calcul? Car ça sera la même dans tous les exercice de ce type là, il faut mieux bien l'avoir comprise donc.


EDIT: Le passage du vert au rouge:

1 = 3 - 1(35 - 11*3) = 3 + 11 *3 - 1*35 = (1+11)*3 - 1*35= 12*3 -1*35

Oui, je pense avoir saisi donc merci!
Peux-tu poster un exemple que je devrais faire afin d'être sûr de pouvoir le refaire stp?

Exercice application du théorème de Bezout:

Trouver u et v tel que u*17 + v*48=1

Bon courage!

17 * 17 + 48 *(-6)

Ai un peu galéré en factorisant le tout ai du m'y reprendre à deux fois mais j'ai trouvé!

C'est tout à fait ça!

Le calcul n'était pas simple mais bon c'était fait exprès aussi sinon, je ne teste pas le calcul .


Si tu as le temps de "t'amuser" un peu sur ce principe là.

Exercice (rarement demandé en cours comme ne devoir):

Trouver u, v et w tel que:

u*2 + v*7 + w*11 =1


Indication: on pourra remarque que 2, 7 et 11 sont des nombres premiers. Donc 2 et 7 donc premiers entre eux par exemple.


Les nombres sont volontairement petits pour éviter que les calculs soient trop complexe.

Bon courage!

Désolé, j'ai pas le temps ce soir mais je le ferais pour demain soir!

ou plutôt pur samedi soir... Désolé mais j'ai encore pas mal de boulot et je préfère le faire sérieusement que de bâcler ça. Je pense que tu comprendras.

C'est un exercice qui est là à titre indicatif nul obligation de le faire non plus ne t'inquiète pas .

Bon courage pour ton boulot!

Bon voilà, ça semble foireux mais, j'ai repris une méthode que j'ai vu en cours mais, pour 2 inconnues donc , je l'ai adaptée mais, ça a pas l'air de marcher :

Je trouve déjà des valeurs simples pour u, v et w :


--> 2 * 2 + 1 * 7 - 11 = 4 + 7 - 11 = 1


2u₀ + 7v₀ + 11₀ = 1 = 2u + 7v + 11w
2(u₀ -u) + 7(v₀ -v) = 11(w - w₀)

J'emploie ici Gauss :

2|11(w - w₀) donc :
2|w - w₀ donc il existe une relation telle que :
2k = w - w₀
w = 2k + w₀



2(u₀ -u) + 7(v₀ -v) = 11(w - w₀)
2(u₀ -u) = 11(w - w₀) - 7(v₀ -v)

2|-7(v₀ -v) donc d'après Gauss :
2|v₀ -v
donc, il existe un relation telle que :
2k = v₀ -v
v = v₀ -2k

Je trouve donc u par substitution :

2(u₀ -u) + 7 * 2k = 11 * 2k
2(u₀ -u) = 11 -7 = 4
(u₀ -u) = 4/2 = 2
(u₀ -u) = 2
donc :
u = u₀ -2

Ensemble des solutions S :

S = {u₀-2 ; v₀-2k ; w₀ +2k}
S = {2-2 ; 1-2k ; -1 + 2k}
S = {0 ; 1-2k ; -1 +2k}

C'est faux je pense...

Citation :

--> 2 * 2 + 1 * 7 - 11 = 4 + 7 - 11 = 1

Ca commence mal car 4+7=11 donc 4+7-11=0 et non 1.

Sinon c'est une bonne démarche pour trouver des solution dansu n cas général. Mais ici c'estp lus simple que celà que cela ne fait appelle que à Bezout.

En effet, 2 et 7 sont premier entre eux. Donc il existe u₀ et v₀ tel que 2*u₀ + 7*v₀=1

Et à partir de là, il faut trouver u, v et w mais c'estp lus simplement car 1 et 11 sont aussi premier entre eux de façon trivial on trouve ce qui nous manque.

L'avantage ici c'était d'avoir des nombre premier entre eux deux à deux.

Est-ce que tu vois comment reprendre ceci et conclure?

Bonjour,
Merci pour cette explication.
c'est beaucoup plus clair avec les couleurs!