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 Exercice étude de signes

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 12:54

Salut!
Voici le premier des 3 exercices que je dois faire et terminer impérativement ce week-end... Ici, on parle d'étude de signes et je pense avoir quand même fait plus de 3/4 du travail bien que la dernière fonction me laisse sur la paille.
J'aurais donc besoin d'un peu d'aide là-dessus.

Voici l'énoncé :

---------------------------------

Pour chaque fonctions, faire l'étude du signe.
La réponse doit être donnée sous la forme f(x) est positive lorsque.... f(x) est négative lorsque...
Les méthodes qui peuvent être utilisées :
Règle des signes d'un trinôme
Factorisation et tableau de signes
Emploi des variations pour avoir le signes à partir des variations de f(x).

1. f(x) = -4x + 5
2. f(x) = (2x-1)(x²-4) ² (x²-4)(x-7)
3. f(x) = (4x -5) / [Racine(x +2)]
4. f(x) = (x² -5) / (x² -4)
5. f(x) = ex -(1/2)x + 3

---------------------------------


Et voici pour mes réponses :

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[


2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)] --> Le dénominateur ne doit pas être négatif donc, Racine(x+2) doit être différent de 0!
Donc : x ≠ -2
--> f(x) est donc définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; +Inf.[
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :



car : 4x - 5 = 0
----> 4x = 5
----> x = 5/4

DONC :

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur [5/4 ; +Inf.[
f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 5/4[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5. Ici, je bloque... Je pense que je pourrais considérer f(x) tel un trinôme et ainsi trouver les Racines et donc faire l'étude de signes. C'est bien cela?



Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 13:44

Bonjour,

La première fonction pouvait être résolu sans faire de dérivation car il s'agit tout simplement d'un polynôme du premier degré dont on peut donc déduire le signe directement.

D'ailleurs, tu t'es trompé car ta dérivée est négative et non positive Wink. Je te laisse corrigé ceci et la réponse qui en découle.


La deuxième fonctio, est juste.

La troisième fonction ne l'ai pas par contre. En effet, quel est l'ensemble de définition de la fonction?

La quatrième fonction est très bien traitée.

Pour la cinquième fonction, tu ne peux pas factorisé et donc déduire sont signe directement. Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations. A partir de là, je te laisse commencerl 'étude de cette fonction sur son ensemblde de définition c'est à dire R.


Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 15:35

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0 donc, il ne faut pas que Racine(x+2) = 0
donc :
x + 2 différent de 0
x doit être différent de -2
DONC:
f(x) définie sur ]-Infini ; -2[U]-2 +Infini[ non?


4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3 --> ex est strictement positive et est ici croissante sur R.
Sachant ceci, f(x) sera donc positive sur R.

C'est bien cela?
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 17:59

Le premier est bon maintenant.

Pour le troisième que vaut F(-3)? Tu risques de comprendre rapidement le problème de ton ensemble de définition. Et si tu ne vois pas encorel e soucis, demande toi sur quoi est définie le dénominateur de ta fonction.


Pour la 5ème fontion, tu t'es trompé sur la dérivé, elle n'est pas égale à ex. Je te laisse reprendre la dérivée de ta fonction ainsi que ses variations donc.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 19:05

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
C'est bien cela?


4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



Problème, je ne trouve pas pour quel x f(x)=0...
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:04

Citation :
3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
C'est bien cela?

Nickel maintenant, il suffit d'adapter ce que tu avait fait pour avoir les bons résultats dans ton tableau de signe tout simplement.


Pour la 5ème, il s'agit d'une soustraction et non d'une multiplication. Donc le signe de la dérivé est un peu plus complexe que celà car la dérivé s'annule ne un point.

Je te laisse reprendre l'étude de fonction.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:31

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je ne comprends pas...
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:35

On cherche le signe de f'(x) = ex -1/2

Donc en gros on cherche le signe de X-1/2 avec X=ex si tu préfères.

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:43

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2)
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:50

Donc la dérivée s'annule en Ln(1/2) c'est à dire -Ln(2) en effet. Et sont signe c'est quoi alors ?

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 20:58

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:09

Pour la 1),

Citation :
C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?
F(x)= -4x + 5

Donc F(x)>0 <=> -4x + 5>0 <=> x<5/4 tout simplement en fait. Ca évite la dérivation et c'est plus court donc.


Nickel pour la 3)!



Pour la 5ème, c'est tout à fait juste, donc au niveau des variation del a fonction F cela donne quoi? Et quelle conclusion avons nous pour les solution de F(x)=0 ?

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:19

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
donc :

f(x) sera décroissante sur ]-Inf. ; -ln(2)] et croissante sur [-ln(2) ; +Inf.[.

solutions f(x) = 0?
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:28

Ok on a les variations de F pour la 5ème.

Mais le soucis c'est que la question est de trouver son signe et non c'est variation. Donc à partir du tableau de variations de F il va falloire trouver le signe de F et pour celà, il va falloir regarder le limite à l'infini pour que notre tableau soit bien complet.

Et ensuite, il va falloir trouver sur quelle intervalle il va y avoir annulation de notre fonction (c'est à dire un x tel que F(x)=0) ce qui nous permettra avec la croissance ou la décroissance de la fonction de trouver le signe de cette fonction sur l'intervalle considéré.

Est-ce que tu comprends la démarche?

Démarche:

On arrive pas à avoir le signe de la fonction directement (factorisation ou résolution d'inéquation), comment fait-on?

Et bien on étudie notre fonction sur son ensemble de définition pour en déduire ses variation. Puis on calcul les limites aux bornes de notre ensemble de définition pour que notre tableau de variation soit complet. Et enfin on s'aide de celui-ci pour en déduire le signe de notre fonction.

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:37

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[U]-2 ; 2[U]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
donc :

f(x) sera décroissante sur ]-Inf. ; -ln(2)] et croissante sur [-ln(2) ; +Inf.[.
Je dois donc chercher les limites de f(x) en -Inf, -ln(2) et +Inf.

Limx-->-Inf. f(x) = Limx-->-Inf. ex = 0
Limx-->+Inf. f(x) = Limx-->Inf. ex = +Inf.
Limx-->-ln(2) f(x) = ?
Ici, je trouve un nombre à virgule...
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:44

Les borne de notre intervalle sont seulement -∞ et +∞ vu que notre fonction est définie sur R.

Citation :
Limx-->-Inf. f(x) = Limx-->-Inf. ex = 0

Il y a une erreur ici car la limite de l'exponentielle est certes égale à 0 en -∞ mais la limite de x vaut -∞ en -∞.

Fait attention, tu n'as pas sous les yeux une fonction polynôme donc les réflexes sur les limites ne s'applique pas ici, il faut réellement calculer les limites.

Je te laisse reprendre ça et faire un tableau de variations de F.

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:53

Désolé, ce soir je suis fatigué et je fais plus attention.
Je pense qu'il sera lus bénéfique pour moi de reprendre ça demain après avoir dormi. En tout cas, merci d'avoir été là pour m'aider et à demain Very Happy .
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Sam 13 Déc - 21:58

C'est ce que j'allais te proposer à mon prochain post si tu m'avais proposer une nouvelle bourde Wink car ce n'est plus du travaille à ton véritable niveau là, je confirme.

Mais déjà réussir à rester concentré jusqu'à 22h30 en terminale peu de monde y arrive, il faut le temps d'apprendre à gérer sa capacité de travail et sa capacité de concentration, c'est pas simple.

Bonne nuit donc et bon courage pour reprendre ça demain!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 12:04

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[ U ]-2 ; 2[ U ]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
donc :

f(x) sera décroissante sur ]-Inf. ; -ln(2)] et croissante sur [-ln(2) ; +Inf.[.
Je dois donc chercher les limites de f(x) en -Inf et +Inf.

Limite en -Inf. :

limx-->-Inf.ex = 0
limx-->-Inf.-(1/2)x = +Inf.
Donc :
limx-->-Inf.f(x) = +Inf.

Limite en +Inf. :

limx-->+Inf.ex = +Inf.
limx-->+Inf.-(1/2)x = +Inf.
Donc :
limx-->+Inf. f(x) = +Inf.
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 18:03

La limite en -l'infini est juste.

Par contre la limite ne +infini ne l'est pas en effet, limx-->+Inf.-(1/2)x = -Inf.

Nous avons une forme indéterminée du coup, il faut donc factoriser par x et se souvenir que la limite lorsque x tend vers +infini de ex/x est égale à +infini.

Ensuite, il reste à dresser le tableau de variation de notre fonction sur R en mettant les limites. Ainsi nous allons pouvoir conclure sur le signe de cette fonction.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 18:29

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[ U ]-2 ; 2[ U ]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
donc :

f(x) sera décroissante sur ]-Inf. ; -ln(2)] et croissante sur [-ln(2) ; +Inf.[.
Je dois donc chercher les limites de f(x) en -Inf et +Inf.


Limite en -Inf. :

limx-->-Inf.ex = 0
limx-->-Inf.-(1/2)x = +Inf.
Donc :
limx-->-Inf.f(x) = +Inf.


Limite en +Inf. :

limx-->+Inf.ex = +Inf.
limx-->+Inf.-(1/2)x = -Inf.
Donc :
limx-->+Inf. f(x) = Ind. de type "Inf. - Inf."

Je vais donc factoriser par x :

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f(x) = x[(ex/x) -(1/2) + 3/x]

limx-->+Inf. ex/x = +Inf.
limx-->+Inf. 3/x = 0
limx-->+Inf. -1/2 = -1/2
Donc :
limx-->+Inf.(ex/x) -(1/2) + 3/x = +Inf.
limx-->+Inf.x = +Inf.
DONC :
limx-->+Inf.f(x) = +Inf.

Je dresse ainsi le tableau de variations de f(x) :



f(x) est donc positive sur R
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 18:36

La limite est maintenant jsute et elle est d'ailleurs cohérente avec les variations de la fonction (ce qui n'est pas plus mal après tout Wink)

Pour dire qu'elle est positive sur R, il faudrait ajouter la valeur en -Ln(2) et voir si la valeur de la fonction en ce point est bien positive.

On touche au but un dernier petit effort!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 18:50

1.
f(x) = -4x + 5 est définie sur l'ensemble R.
--> f'(x) = -4
Je dresse dont le tableau de variations suivant :




-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = 5/4


DONC :

f(x) positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]- Inf. ; 5/4[
f(x) négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[

C'est réglé! Comment aurais-je pu faire sans tableau de signe?



2.
f(x) = (2x-1)(x²-4) - (x²-4)(x-7) est définie sur l'ensemble R.
f(x) = (x²-4)[(2x-1)-(x-7)]
f(x) = (x² -4)[2x -1 -x +7]
f(x) = (x²-4)(x+6)
Je dresse donc le tableau de signes suivant :



DONC :

f(x) est donc négative lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -6[ et ]-2 ; 2[
f(x) est donc positive lorsque x est situé sur ]-6 ; -2[ et ]2 ; +Inf.[


3.
f(x) = (4x-5) / [Racine(x+2)]
Une racine carrée est toujours positive donc , x appartiendra forcément à l'intervalle [-2 ; +Infini[
Mais, il ne faut pas que le dénominateur soit nul donc, f(x) définie sur ]-2 ; +Infini[.
Je dresse donc le tableau de signes de f(x) :


car 4x -5 = 0
4x = 5
x = 5/4

f(x) est donc positive lorsque x est situé sur l'intervalle ]-2 ; 5/4] et négative lorsque x est situé sur l'intervalle [5/4 ; +Inf.[



4.
f(x) = (x²-5)/(x²-4) --> Il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0
donc :
x² -4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ Racine(4) OU x ≠ -Racine(4)
x ≠ 2 OU x ≠ -2

donc :
f(x) définie sur ]-Inf. ; -2[ U ]-2 ; 2[ U ]2 ; +Inf.[

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



car :
x² - 5 = 0
x² = 5
x = Racine(5) OU x = -Racine(5)


f(x) sera donc positive lorsque x est situé sur ]-Inf. ; -Racine(5)] ; ]-2 ; 2[ ; [Racine(5) ; +Inf.[
f(x) sera donc négative lorsque x est situé sur [-Racine(5) ; -2[ ; ]2 ; Racine(5)[



5.
Citation :
Par contre tu peux étudier la fonction pour en déduire son signe à partir de ses variations

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f'(x) = ex -1/2

Je cherche le signe de f'(x) :

ex est positif sur tout R
ET
-1/2 est négatif sur tout R

ex = 1/2
x = ln(1/2) = -ln(2)

f'(x) sera donc négative sur ]-Inf. ; -ln(2)] et positive sur [-ln(2) ; +Inf.[
donc :

f(x) sera décroissante sur ]-Inf. ; -ln(2)] et croissante sur [-ln(2) ; +Inf.[.
Je dois donc chercher les limites de f(x) en -Inf et +Inf.


Limite en -Inf. :

limx-->-Inf.ex = 0
limx-->-Inf.-(1/2)x = +Inf.
Donc :
limx-->-Inf.f(x) = +Inf.


Limite en +Inf. :

limx-->+Inf.ex = +Inf.
limx-->+Inf.-(1/2)x = -Inf.
Donc :
limx-->+Inf. f(x) = Ind. de type "Inf. - Inf."

Je vais donc factoriser par x :

f(x) = ex -(1/2)x + 3
f(x) = x[(ex/x) -(1/2) + 3/x]

limx-->+Inf. ex/x = +Inf.
limx-->+Inf. 3/x = 0
limx-->+Inf. -1/2 = -1/2
Donc :
limx-->+Inf.(ex/x) -(1/2) + 3/x = +Inf.
limx-->+Inf.x = +Inf.
DONC :
limx-->+Inf.f(x) = +Inf.

Je dresse ainsi le tableau de variations de f(x) :



f(x) est donc positive sur R

Et voilà! Inutile de préciser que comme 3.84 est le minimum de la fonction alors elle sera positive sur tout R Wink
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 19:01

Nickel !!

Alors je fais un récapitulatif des méthodes par rapport à ton exercice:

1) Méthode directe => résolution d'une inéquation de degré 1 (la fonction est définie sur R, tout est simple là)

2) Méthode par tableau de signe avec polynôme du second degré (il s'agit donc de factoriser notre fonction un maximum et d'utiliser nos résultat sur le signe des fonctions polynômes du second degré/ il n'y a pas de problème de définition de la fonction)

3) Méthode par tableau de signe simple (se sont des polynômes du premier degré) mais attention l'ensemble de définition n'est plus R, il faut donc le cacluler d'abord! (Racine et fraction).

4) Méthode par tableau de signe avec polynôme du second degré (utilisation de nos résultats sur le signe des polynômes du second degré) mais attention l'ensemble de définition n'est plus R, il faut donc le mettre en évidence d'abord!

5) Méthode par étude de variation avec limite aux bornes de l'intervalle de définition (On ne peut pas factoriser ni déduire le signe directement, il faut donc faire le tableau de variation et en déduire le signe seulement après.


Dans tous les cas l'ordre est le suivant:

- Rechercher et écrire l'ensemble de définition
- Si c'est un polynôme de degré 1, on effectue une résolution directe
- Si c'est un polynôme de degré deux ou une fraction de polynôme de degré inférieur ou égale à 2, on effectue un tableau de signe
- Si c'est un polynôme de degré supérieur ou égale à 3 ou si ce n'est pas un polynôme, on effectue une étude de fonction pour en déduire le tableau de variation avec les limites aux bornes de l'ensemble de définition.


A ma connaissance si tu retiens ça tu peux résoudre un bon nombre d'exercice de demandant une recherche de signe d'une fonction.

En espérant que ce résumer soit clair et comprehensible.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Dim 14 Déc - 19:23

Merci pour ton ide et pour ce récapitulatif. il a été imprimé et sera très utile tu peux me croire.
Encore merci pour tout!
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MessageSujet: Re: Exercice étude de signes   Aujourd'hui à 16:01

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