Exercice fonctions et suites

Salut!
Et voici le dernier exercice du lot, celui-ci posant un peu plus problème du fait que je ne sais pas du tout comment débuter une question... J'aurais donc besoin d'un bon aiguillage svp .

Voici l'énoncé :



Exercice 3 :

1. On pose a(x) = ln(x) - (x-1)/x et b(x) = x – 1 – ln(x) avec x appartient ]0 ; +Infini[.
a. Etudier les variations de a sans chercher les limites, en déduire le signe de a sur ]0 ; +Infini[.
b. Déterminer de la même façon le signe de b.
c. Déduire des deux questions précédentes que, pour tout x > 0 :



2. On pose x = (k +1)/x, k étant strictement positif.
Déduire du 1.c. que (1/(k+1)) < ou égal ln(k+1) – ln(k) < ou égal 1/k.

3. Soit (v_n) la site définie par v_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ……….. + 1/(n+n).
En utilisant plusieurs fois l’encadrement de la question 2 pour k = n+1, k = n+2…………………. K = 2n -1, prouver que, pour tout n appatient à l’ensemble N :


Et voici mes réponses :

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3. A partir de la question 3 je bloque…

Je vois pas comment partir de l'encadrement trouvé plus haut pour arriver à l'encadrement demandé... J'aurais besoin d'un petit coup de pouce là-dessus.
Merci d'avance!

Tout est juste jusqu'à la question 3 !! Nickel!

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

A partir de là, il faut suivre ce que te dit l'énoncer c'est à dire d'utiliser l'inégalité pour k=n+1, jusqu'à 2n-1 c'est à dire qu'on va faire l'addition de toutes ses inégalités là. après il va falloir effectuer des changement d'indice au niveau des sommes pour retrouver Vn.

Bon courage!

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, je vais me servir des propriétés du logarithme :
[ln (n+2)/(n+1)] + [ln (n+3)/(n+2)] + [ln (2n)/(2n-1)]

Ici, je peux regrouper tout ceci dans un seul logarithme et mettre ainsi au même dénominateur et simplifier ou pas?

Merci pour ta réponse!!

Alors les idées sont biens là mais la rédactions manque un peu de rigueur.

En effet, fait attention, il n'y a pas seulement 3 inégalités mais (n-1) inégalités! C'est pour celà qu'on écrit "..." pour ne pas écrire tous les termes mais si on les enlève cela risque d'être mal compris (la preuve).

Donc sinon le raisonnement pour le côté gauche et droit de l'inégalité c'est juste sauf qu'il manque les "..." entre le deuxième terme de la somme et le dernier (car sinon il manquerait beaucoup de termes à notre suite Vn).

Et en regardant le terme centrale avec "tous" les termes, tu vas voir apparaître ce qu'on appelle un "effet domino" c'est à dire que les terme vont s'annuler sauf deux d'entre eux qui resteront à la fin.

Bon courage, tu n'es plus très loin là!

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +....... + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +........ + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + ........ + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
v_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, je vais me servir des propriétés du logarithme :
[ln (n+2)/(n+1)] + [ln (n+3)/(n+2)] +........ + [ln (2n)/(2n-1)]

Comment dois-je rédiger ici?
Je dis que tous les termes s'annulent sauf ln(2n) - ln(n+1)?

Alors la rédaction s'est grandement améliorée maintenant.

Citation :

Comment dois-je rédiger ici?
Je dis que tous les termes s'annulent sauf ln(2n) - ln(n+1)?

Et bien tu vas railler proprement sur ta ligne de calcul les termes qui s'annulent deux à deux en n'oubliant pas de railler aussi dans les "......." car il y a deux terme qui s'annuleront dans ses pointillés avec ceux qui sont écrits et il faut vraiment montrer que tu as compris comment cela marchait.

Et là il ne te restera que les termes qui t'intéressent donc.

Pour conclure cet exercice, il faut penser au théorème des gendarmes tout simplement mais attention au inégalité lorsque tu va mettre Vn au centre de celle-ci ainsi que faire attention au limite car il s'agit de limite de fonction composée pour certaines.

Bon courage!

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +....... + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +........ + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + ........ + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
v_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, on observe que des termes s'annulent deux à deux :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
= ln(2n) - ln(n+1)
J'emploie ici les propriétés du logarithme :
= ln (2n / (n+1))

Au final, j'obtiens finalement l'inégalité demandée :

v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))


4.

Citation :

Pour conclure cet exercice, il faut penser au théorème des gendarmes tout simplement mais attention au inégalité lorsque tu va mettre Vn au centre de celle-ci ainsi que faire attention au limite car il s'agit de limite de fonction composée pour certaines.

Je n'ai pas bien saisi --> Je passe les v_n au centre et je les isole j'obtiendrais donc une inégalité du type :

et, je cherche les limites de X et Y qui seront les mêmes et je concluerais avec le théorème des gendarmes?

C'est tout à fait ça dans les grand ligne!

En fait dans ton inégalité Vn est dans chaque extrémité, donc il est majoré et minoré par quelque chose ce qui va permettre de mettre Vn au centre de l'inégalité et après il nous restera à conclure en effet.

Bon courage!

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +....... + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +........ + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + ........ + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
v_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, on observe que des termes s'annulent deux à deux :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
= ln(2n) - ln(n+1)
J'emploie ici les propriétés du logarithme :
= ln (2n / (n+1))

Au final, j'obtiens finalement l'inégalité demandée :

v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))


4.

Citation :

Pour conclure cet exercice, il faut penser au théorème des gendarmes tout simplement mais attention au inégalité lorsque tu va mettre Vn au centre de celle-ci ainsi que faire attention au limite car il s'agit de limite de fonction composée pour certaines.

Je n'ai pas bien saisi --> Je passe les v_n au centre et je les isole j'obtiendrais donc une inégalité du type :

et, je cherche les limites de X et Y qui seront les mêmes et je conclurais avec le théorème des gendarmes.

DONC :


v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))
- 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) - 2v_n≤ - (1/(n+n))
- 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) - 2v_n≤ - (1/(n+n))

Je passe le ln (2n / (n+1)) de n'importe quel côté?
C'est normal le -2v_n??

Alros voilà une erreur classique lorsqu'on utilise le bon vieux "je passe del'autre coté en changeant de signe".

En effet, pour "enlever" le Vn de chaque côté des inégalités, il faut ajouter -Vn à tout le monde. Et donc il n'y a que -Vn qui apparaît au centre !!!

Si tu as des doutes pour faire tout en même temps, coupe ta double inégalité en deux inégalités simples comme ça tu es sur de ne pas faire d'erreur et c'est plus prudent donc.

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +....... + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +........ + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + ........ + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
v_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, on observe que des termes s'annulent deux à deux :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
= ln(2n) - ln(n+1)
J'emploie ici les propriétés du logarithme :
= ln (2n / (n+1))

Au final, j'obtiens finalement l'inégalité demandée :

v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))


4.

Citation :

Pour conclure cet exercice, il faut penser au théorème des gendarmes tout simplement mais attention au inégalité lorsque tu va mettre Vn au centre de celle-ci ainsi que faire attention au limite car il s'agit de limite de fonction composée pour certaines.

Je n'ai pas bien saisi --> Je passe les v_n au centre et je les isole j'obtiendrais donc une inégalité du type :

et, je cherche les limites de X et Y qui seront les mêmes et je conclurais avec le théorème des gendarmes.

DONC :


v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))
- 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) -v_n ≤ - (1/(n+n))
Ca ne change rien si je passe le ln (2n / (n+1)) à droite ou à gauche?

Citation :

Ca ne change rien si je passe le ln (2n / (n+1)) à droite ou à gauche?

Cette question n'a aucun sens!

En effet, "on ne passe rien ni a gauche ni à droite". La routine est une merveille mais encore faut-il savoir ce qu'on manipule réellement comme mathématiques là-dessous. Lorsqu'on apprend au tout début à manipuler les inégalités on dit "j'ajoute de chaque côté la même valeur pour annuler telle valeur" ou "je soustrais de chaque côté la même valeur pour annuler telle valeur".

Il faut vraiment comprendre ce qu'on manipule dans ce genre de question car c'est assez courant de manipuler des doubles inégalités. Je te laisse donc reprendre cette question et te convaincre que cette question n'a pas plus de sens que d'avoir 2*Vn tout à l'heure. Considère les deux inégalités séparément si il le faut tu comprendras peut-être mieux dans un premier temps comment manipuler celle-ci ensemble par la suite.

Bon courage!

1.a
a(x) = z(x) – u(x)/v(x) = z(x) – b(x)
avec : z’(x) = 1/x

ET
B’(x) = [u’(x)v(x) – u(xv(x)]/[v(x)]²

Avec :
U(x) = x - 1
U’(x) = 1
Et
V(x) = x
V’(x) = 1
Donc :
B’(x) = [(1*x) – ((x-1) *1)]/x²
B’(x) =[x –(x-1)]/x² = (x –x +1) / x² = 1/x²

Donc :
A’(x) = z’(x) – b’(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²

Je dresse le tableau de signes de a’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de a(x) :



A(x) sera donc positive sur ]0 ; +Infini[.


b.
b(x) = x -1 – ln(x)
b’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

Je dresse le tableau de signes de b’(x) :



J’en déduis donc le tableau de variations de b(x) :



B(x) sera positive sur ]0 ; +Infini[.


c. On sait que :
ln(x) – (x-1)/x > ou égal à 0
donc :
ln(x) > ou égal à (x-1)/x
et
x-1-l(x) > ou égal à 0
x-1 > ou égal à ln(x)

Donc : pour tout x > 0 :
(x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1



2. x = (k+1) /k
Il suffit ici de remplacer x dans : (x-1)/x < ou égal à ln(x) < ou égal à x-1 et se servir des propriétés du logarithme.

3.

Citation :

Pour la question 3), il faut se souvenir qu'on peut additionner des inégalité du moment qu'elles sont dans le même sens.

On a l'inégalité suivante :

1/(k+1) ≤ ln (k+1) - ln (k) ≤ 1/k

--> Pour k = n+1 :
1/(n+2) ≤ ln (n+2) - ln (n+1) ≤ 1/(n+1)

--> Pour k = n+2 :
1/(n+3) ≤ ln (n+3) - ln (n+2) ≤ 1/(n+2)

--> Pour k = 2n - 1 :
1/(2n) ≤ ln (2n) - ln (2n-1) ≤ 1/(2n-1)

Je fais ensuite l'addition de ses 3 inégalités :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +....... + [1/(2n)] ≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
avec :

[1/(n+2)] + [1/(n+3)] +........ + [1/(2n)] = [1/(n+2)] + [1/(n+3)] + ........ + [1/(n + n)]
ce qui est égal à v_n sans le premier terme soit 1/(n+1) ce que l'on retrouve dans l'inégalité sous la forme :

(le côté gauche de l'inégalité est réglé)

_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ [1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]

avec :
[1/(n+1)] + [1/(n+2)] +........ + [1/(2n-1)]
Ici aussi, on retrouve v_n dépourvu d'un membre mais cette fois-ci, le dernier soit : 1/(n+n) écrit dans l'inégalité sous la forme :


DONC :
v_n - 1/(n+1)≤ [ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)] ≤ v_n - (1/(n+n))

Reste à faire la partie centrale :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
Ici, on observe que des termes s'annulent deux à deux :
[ln (n+2) - ln (n+1)] + [ln (n+3) - ln (n+2)] +........ + [ln (2n) - ln (2n-1)]
= ln(2n) - ln(n+1)
J'emploie ici les propriétés du logarithme :
= ln (2n / (n+1))

Au final, j'obtiens finalement l'inégalité demandée :

v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))


4.

Citation :

Pour conclure cet exercice, il faut penser au théorème des gendarmes tout simplement mais attention au inégalité lorsque tu va mettre Vn au centre de celle-ci ainsi que faire attention au limite car il s'agit de limite de fonction composée pour certaines.

Je n'ai pas bien saisi --> Je passe les v_n au centre et je les isole j'obtiendrais donc une inégalité du type :

et, je cherche les limites de X et Y qui seront les mêmes et je conclurais avec le théorème des gendarmes.

DONC :


v_n - 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) ≤ v_n - (1/(n+n))
- 1/(n+1)≤ ln (2n / (n+1)) -v_n ≤ - (1/(n+n))
- 1/(n+1) - ln (2n / (n+1)) ≤ -v_n ≤ - (1/(n+n)) - ln (2n / (n+1)
[Je viens de comprendre c'est vrai que c'est tout bête en fait...]
--> On a donc notre encadrement de V_n

Je vais chercher la limite quand n tend vers l'infini de - 1/(n+1) - ln (2n / (n+1)) :

lim_n-->+Inf. -1/(n+1) = 0
--> Pour la limite de -ln[2n/(n+1)], limite de fonction composée :


lim_n-->+Inf. [2n/(n+1)] = lim_n-->+Inf. [n(2)] / [n(1 + (1/n)]
lim_n-->+Inf. = 2 / (1 + (1/n)) = 2

lim_n-->2 -ln(x) = -ln(2)

Donc : lim_n-->+Inf. -ln[2n / (n+1)] = -ln(2)

DONC :



Je vais maintenant chercher la limite quand n tend vers l'infini de -(1/(n+n)) - ln (2n / (n+1)) :

lim_n-->+Inf. -(1/(n+n)) = 0

--> Pour la limite de - ln (2n / (n+1)), limite de fonction composée :


Lim_n-->+Inf. 2n / (n+1) = Lim_n-->+Inf. [n(2)] / [n(1 + (1/n)] = Lim_n-->+Inf. 2 / (1 + (1/n)) = 2

Lim_n-->2 =-ln(x) = -ln(2)

Donc : lim_n-->+Inf. - ln (2n / (n+1)) = -ln(2)

DONC :



J'emploie donc le théorème des gendarmes donc :
lim_n-->+Inf. -V_n = -ln(2)
Donc :
lim_n-->+Inf. V_n = ln(2) ???

Rien à dire c'est nickel !

Ah!
Merci beaucoup pour ton aide si précieuse parce que seul j'aurais probablement jamais trouvé!
Heureux d'avoir tout de même réussi et compris le mécanisme!
Encore merci!