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 Incompréhension triogonométrie

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MrTheYo



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MessageSujet: Incompréhension triogonométrie   Mer 14 Jan - 19:40

Salut!
En fait, j'ai un ENORME problème : je n'arrive pas à passer de certaines formes à d'autres. Exemple :

z = 4 - 4iRacine(3)
On me demande de passer ça à la forme trigo et après à la forme exponentielle.
J'ai la solution sous les yeux avec les Racines etc je ne comprends pas du tout et encore celui-là est un exemple simple au niveau de la forme...

J'ai vraiment besoin de comprendre ça donc j'ai besoin d'un GROS coup de main svp...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Mer 14 Jan - 20:47

Re-re-bonsoir (xD),

Alors dans un autre exercice, lorsqu'on t'a donné le module et l'argument d'un complexe tu as su retrouver sa forme algébrique. Ici c'est l'inverse mais la formule reste là même:

z= a + i*b (forme algébrique)

z=|z|*[ Cos( Arg(z) ) + i*Sin( Arg(z) ) ] (forme trigonométrique)

z=|z|*ei*Arg(z) (forme exponentielle)



La seule difficulté réside donc dans le calcul de |z| et de Arg(z) lorsqu'on te donne un z quelconque. Et bien il faut avoir en tête les étapes suivante pour passer de l'algébrique à la forme trigonométrique:

On sait que si on a: t²+h²=1, il existe un angle x tel que t=Cos(x) et h=Sin(x).

A partir de là, on va forcer la mise sous la forme trigonométrique comme suit:

z= √(a²+b²)*[ a/√(a²+b) + i*b/√(a²+b²) ] (si √(a²+b²) non nul)

On a: [a/√(a²+b²)]² + [b/√(a²+b²)]² = a²/(a²+b²) + b²/(a²+b²) = (a²+b²)/(a²+b²) = 1

Donc il existe un x tel que a/√(a²+b²) = Cos(x) et b/√(a²+b²)= Sin(x)


Et on retrouve bien si on se souvietn que |z|=√(a²+b²): z= |z|*[ Cos(x) + i*Sin(x)]. Et donc on a bien x=Arg(z) car c'est l'angle formé entre l'axe des réelle et le vecteur OM(a+i*b).


Maintenant, tu vas me dire que c'est bien joli mais comment on peut se rappeler que |z|=√(a²+b²)? Et bien on se rappelle que |z| c'est la distance entre l'origine de notre repère O et le point M d'affixe (a+i*b) donc OM(a+i*b) et la distance en complexe c'est √(Re(z)² + Im(z)²).


Donc ton exercice revient à déterminer |z| et Arg(z) tout simplement.

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Mer 14 Jan - 21:16

D'accord.
Je reprends l'exemple :
Z = 4 - 4iRacine(3)

r = Racine ( x² + y²) = Racine(4² + (4Racine(3))²) = Racine(64) = 8

z = 8 [ (1/2) + [-4Racine(3) / 8] ]

x = r * cos(Alpha) --> cos (Alpha) = x / r
y = r * sin(Alpha) --> sin (Alpha) = y / r

cos-1(1/2) = Pi/4
sin-1 -4Racine(3) / 8 = ??

Je déduis ici à partir du cosinus la valeur de Alpha non?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Mer 14 Jan - 21:27

Alors attention au fonction inverse de Sinus et cosinus c'est très dangereux dans le sens où ta calculatrice ne va te donne qu'une seul solution à chaque fois!

Or pour la valeur d'un cosinus donné, il y a deux angles possibles vu que Cos(x)=Cos(-x). Il faut donc être très prudent et plutôt travailler avec la valeur des cosinus et des sinus et ce que tu sais.

On cherche donc un réel (compris entre -π et π) tel que:

Cos(α)=1/2 et Sin(α)= -4*(√3)/8

Déjà ne pouvons-nous pas simplifier un peu le sinus? Ensuite, quelle valeur de alpha sont possibles lors que Cos(α)=1/2 (ne pas oublier qu'il y a 2 valeurs possibles)? Et enfin, laquelle de ses deux valeurs de α donne le sinus que nous voulons?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Jeu 15 Jan - 12:19

Citation :
Quelle valeur de alpha sont possibles lors que Cos(α)=1/2? (ne pas oublier qu'il y a 2 valeurs possibles)

Cos (Pi/3) = 1/2
Cos (-Pi/3) = 1/2

Il faut donc simplifier le sinus pour savoir lequel de ces deux angles on recherche.
Je pensais aussi employer le cercle trio pour savoir dans quel quart nous somme ci qui nous aurait aidé mais avec le -4iRacine(3) ça va être compliqué...

Sin(α)= -4*(√3)/8 = -4/8 * √3 = -1/2 * √3 = -√3/2

Il est donc clair que l'angle cherché sera -Pi/3 car on se situe dans le quart sud-est du cercle trigonométrique et, on retrouve dans ce quart les valeurs du cosinus et du sinus.

Je pense que là c'est compris ou en tout cas c'est bon pour celui-là.
SI tu en as un du même genre à faire je suis preneur ^^.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Sam 17 Jan - 21:04

Bonsoir,

Une petite absence de ma part quelques jours, je m'excuse de ce léger décalage dans le temps.

Ta méthode est tout à fait juste et tu peux même faire autre chose:

Tu sais d'après la valeur du Cosinus que l'angle est Pi/3 ou -Pi/3, il reste donc à regarder la valeur du sinus pour ses deux angles là et vérifier que l'une des deux valeurs correspond à celles qu'on veut tout simplement:

Sin(Pi/3)=√3/2 et Sin(-Pi/3)=-√3/2

Conclusion, l'angle cherché est bien -Pi/3, donc la forme trigonométrique (car il faut conclure tout de même) est:

z= 8*[ Cos(-Pi/3) + i*Sin(-Pi/3) ]


Voilà quelque exemple si tu en veux d'autre:

Déterminer la forme trigonométrique des complexe suivant:

z1=2√3 + 2*i

z2=1+i

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Dim 18 Jan - 10:50

z1=2√3 + 2*i

r = Racine( (2√3)² + 2²) = Racine( 4 * 3 + 4) = Racine(16) = 4

cos(Teta) = x / r --> 2√3 / 4 = Racine(3/2)
sin(Teta) = y / r --> 2 / 4 = 1 / 2

Donc d'après les angles remarquables : Teta = Pi/6
DONC :

z = 4 ( cos(Pi/6) + isin(Pi/6) )




z2=1+i

r = Racine (1² + 1²) = Racine(2)

cos(Teta) = x / r --> 1/Racine(2) = Racine(2)/2
sin(Teta) = y / r --> 1 / Racine(2) = Racine(2) / 2

Donc d'après le tableau des angles remarquables :
Teta = Pi/4
DONC :
z = Racine(2) [ cos(Pi/4) + isin(Pi/4)]
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Dim 18 Jan - 11:18

Bonjour,

Citation :
cos(Teta) = x / r --> 2√3 / 4 = Racine(3/2)

Attention au parenthèse (je chipote là Wink).

Sinon, les deux calculs sont tout à fait juste rien à redire sur la démarche pour ma part.

Est-ce clair comme de l'eau de roche maintenant?

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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Dim 18 Jan - 18:58

Non mais t'as raison les parenthèses sont importantes. Je ferais gaffe dorénavant. Sinon oui, c'est bien compris pour ma part ^^ donc merci!
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MessageSujet: Re: Incompréhension triogonométrie   Aujourd'hui à 15:59

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