Bonjour et bienvenue Doll!
Je te souhaite une excellente année 2009 avec la réussite qui va avec bien entendu.
Alors pour montrer que notre fonction F est de classe C∞, il nous suffit de montrer que pour tout n dans N, F est de classe Cn et c'est donc ici qu'on va appliquer notre récurrence. Mais pour celà, il va falloir montrer qu'à chaque étape, on a une fonction qui est continue et dérivable et pour se faire, il va donc falloir savoir quelle peut bien avoir notre dérivée nième.
Donc notre hypothèse de récurrence sera que pour n appartient à N, on a:
F est de classe Cn et il existe un polynôme Pn tel que F(n)=Pn/[(1-x²)n+1/2]
Et ce qui te gène le plus je pense c'est:
"Mais d'où sort ce foutu Pn ??????"
Et bien, si tu regardes bien la question qu'on te pose, on ne t'as jamais demandé de l'expliciter mais seulement de montrer qu'il existe et c'est toute la subtilité!
En effet, lorsque tu vas montrer que notre propriété est vrai au rang 0 et 1, tu vas carrément posé P0 et P1 comme tu l'entends du moment qu'il s'agit bien d'un polynôme.
Et lorsque tu passeras à l'hérédité, tu vas donc supposer l'existence d'un polynôme Pn et tu vas dériver ta fonction pour en déduire un plynôme Pn+1 qui sera une combinaison de Pn, de Pn' qui te donnera bien un nouveau polynôme.
Donc dans ce genre de question, il ne faut absolument pas se laisser démonter par la structure de la question et bien regarder ce qu'on te demande réellement de faire et non ce que tu crois devoir faire. Je te conseille fortement de bien assimiler la méthode de cette récurrence car il s'agit d'une récurrence qui tombe assez souvent dans les examens.
Je te laisse donc reprendre la démarche pour le moment et n'hésite pas si tu as des quesstions surtout!
Bon courage!
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