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 Exercice cercle trigonométrique et affixes

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Mer 28 Jan - 22:25

Bonsoir,

Les méthodes sont bonnes maintenant et l'ultime méthode est juste aussi. En effet, lorsqu'on a un argument sahcant que le cosinus et le sinus sont 2*Pi périodique, on va donc pouvoir réduire la valeur de notre argument.

Pour cela, on sait qu'on doit écrire notre argument sous la forme m + k*2*Pi avec k un entier et m un réel.

Sachant que notre argument vaut pour l'instant: 2007*Pi/12, pour trouver la forme ci-dessus, cela revient donc à faire la division euclidienne de 2007 par 24.

En effet, si je fais cette division euclidienne de façon formelle, je trouve l'existence de deux entier q et r tels que 2007=q*24 + r avec r<24

Donc notre argument deviendrait: 2007*Pi/12= q*24*Pi/12 + r*Pi/12= q*2*Pi + r*Pi/12 et nous avons ainsi la forme voulue.

Donc la division euclidienne est: 2007=83*24 +15

Donc 2007*Pi/12= 83*2*Pi + 15*Pi/12= 83*2*Pi + 5*Pi/6

Par concéquent, Arg(Z2007)=5*Pi/6 modulo 2*Pi

Est-ce plus clair au niveau de la simplification d'un argument modulo 2*Pi? Ici vu qu'on divisait par 12, c'est pour cela qu'on effectuait la division euclidienne de 2007 par 2*12 vu qu'on veux voir apparaître 2*Pi à la fin.

Conclusion, quelle est la forme trigonométrique de Z2007? Déduire sa forme algébrique.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Jeu 29 Jan - 12:38

1. Je trouve désormais ceci :
z = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] + i [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]



2.
Pour z1, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z1 est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z2, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z2 est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z3, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est :
Argu(z1/z2) = Arg(z1) - Arg(z2)


Argument de z1 = Pi/3
Argument de z2 = Pi/4

Argu(z1/z2) = Arg(z1) - Arg(z2)
Argu(z1/z2) = Pi/3 - Pi/4 = 4Pi/12 - 3Pi/12 = Pi/12



3)
cos(Pi/12) = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]
sin(Pi/12) = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]

4) La figure est faite.

5) Z2007 :

Je sais que le module de Z est 1 donc :
Le module de Z2007 est 12007 = 1 car :
"Le module d'un complexe mis à une puissance est bien égale à la puissance du module de notre complexe."

Maintenant, reste à trouver son argument :

Je sais que :
Arg(Zn)=n*Arg(Z)


DONC :
Arg(Z2007) = 2007 * Arg(Z) avec Arg(Z) = Pi/12
Arg(Z2007) = 2007Pi/12 que l'on peut simplifier :

Il faut écrire l'argument sous cette forme :

m + k*2*Pi avec k un entier et m un réel


Je comprends le fait que l'on veuille 2Pi à la fin mais, pourquoi par 24... Désolé, j'ai lu et relu et je vois pas pourquoi...
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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Jeu 29 Jan - 20:46

Plus précisément pourquoi par 24??

Parce qu'on m'a donné une méthode qui fait comme ceci :

2007Pi/12 =-->??

2007 = 167 * 12 + 3 donc 3Pi/12
167 = 83 * 2 + 1 donc Pi

Donc : 3Pi/12 + 12Pi/12 = 15Pi/12 = 5Pi/4
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Sam 31 Jan - 14:10

Bonjour,

Ta méthode est tout à fait juste en fait mais comprends-tu ce que tu fais dans cette méthode?

Je pose cette question car en fait, le 24 apparaît aussi dans ta méthode sauf que tu ne le vois pas au premier abord. En effet, tu fais une division euclidienne de 2007 par 12 ce qui te permet de pourvoir écrire:

2007*Pi/12= 3Pi/12 + 167*Pi

Puis tu effectues une division euclidienne de 167 par 2, ce qui te permet d'écrire:

2007*Pi/12= 3*Pi/12 + Pi + 83*2*Pi

Donc 2007*Pi/12=5Pi/4 + 2*k*Pi avec k=83


Mais si je remets les deux divisions euclidienne en une seule, je trouve:

2007=167*12+3=(83*2+1)*12 + 3

Donc 2007= 83*24 + 12 +3

D'où 2007=83*24+15

En fait, on effectue toujours une division euclidienne de la constante multiplicative du numérateur par deux fois le dénominateur. Ce qui permet de trouve tout de suite la forme a + 2*k*Pi. Mais sinon ta méthode est tout à fait juste aussi après la difficulté réside dans la rédaction de ta méthode car rédigé ainsi cela parait plutôt flou même si la réponse finale est juste.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Sam 31 Jan - 15:20

D'accord! Very Happy
Merci pour ces précisions et pour tout en tout cas car cette méthode de simplification était totalement floue pour moi!

Donc, je divise toujours par 2 fois la valeur du numérateur!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Sam 31 Jan - 20:04

C'est tout à fait ça!

Pour trouver la simplification modulo 2*Pi d'une expres​sion(je parle de modulo car je sais que tu fais Spé Maths bien entendu Wink): t*Pi/s

Il suffit d'effectuer la division euclidienne de t par 2*s. En effet, il existe deux entier q et r tel que t=q*2s +r avec |r|<2*|s|

Donc t*Pi/s= (q*2s+r)*Pi/s= q*(2s)*Pi/s + r*Pi/s

D'où t*Pi/s=2*q*Pi + r*Pi/s (en simplifiant par s dans le premier terme)

C'est une démonstration un brin théorique mais tout de même très accessible je trouve et au moins elle a le mérite de montrer concrètement d'où viennent les choses.

Bon courage pour la suite!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Dim 1 Fév - 11:27, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Dim 1 Fév - 10:47

D'accord!
Quand même compliqué au premier abord..
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MessageSujet: Re: Exercice cercle trigonométrique et affixes   Aujourd'hui à 16:33

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