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 Exercice équation complexe et trigo

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice équation complexe et trigo   Ven 23 Jan - 18:02

Salut!
Voici le second exercice de la série sur les nombres complexes et la trigo. Ici, je sais tout faire sauf la dernière question où j'ai un petit doute...

Voici l'énoncé :

--------------------------------

1. Soit une fonction f définie sur l'ensemble C par :
f(z) = z3 - 2(Racine(3) + i)z² + 4(1 +iRacine(3))z -8i.
Vérifier que, pour tout z appartient C, f(z) = (z-2i)(z² -2[Racine(3)]z +4).

2.Résoudre dans C l'équation f(z) = 0.

3. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u ; v). On donne les complexes z1 = racine(3) - i ; z2 = Racine(3) + i et z3 = 2i. Soit M1, M2 et M3 les points image de ces trois complexes.
Montrer que ces trois points sont sur un même cercle de centre O.

4. Calculer z2 - z1 et z2 - z3.
Prouver que OM1M2M3 est un losange.


--------------------------------


Et voici mes réponses :

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 + 16 = 28

x1 = (-b - Racine[Delta]) / 2a = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2

x2 = (-b + Racine[Delta]) / 2a = [2Racine(3) + Racine(28)] / 2

f(z) = 0 si z = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2 ou z = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2 ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z1 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z2 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z3 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4) Par contre ici,... Losange = 4 côtés égaux et diagonales qui se coupent en leur milieu mais, j'ai peur qu'on me dise que j'ai démontré que c'était un carré ou autre chose donc, je ne sais pas par où commencer.... J'aurais donc beosin d'un coup de main svp...

Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Ven 23 Jan - 20:13

Une erreur c'est glissée à la question 2):

Citation :
b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 + 16

Attention à ne pas vouloir être trop rapide Wink.


Sinon pour la question 1) et la question 3) les méthodes sont bonnes ainsi que les réflexes de calculs.

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Sam 24 Jan - 12:58

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x1 = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x2 = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) - i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z1 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z2 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z3 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)
Citation :
Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM1M2M3, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM3 et M1M2 sont égaux :

OM3 (avec notation de vecteur) = zM3 - z0
= 2i - 0 = 2i
M1M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM3 et M1M2 sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM1 et M3M2 sont égaux :

OM1 (avec notation de vecteur) = zM1 - z0 = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M3M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM1 et M3M2 sont donc égaux.


OM1M2M3 a donc ses vecteurs égaux 2 à 2 : c'est donc un losange!

Ca me semble bon mais, y-a-t'il quelque chose à redire là-dessus?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Sam 24 Jan - 17:33

Bonsoir,

Citation :
z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i

Petite erreur de signe due au recopiage je pense.

Sinon le reste m'a l'air correct sauf que ta conclusion est fausse à la fin. En effet: un quadrilatère qui a des vecteurs égaux deux à deux est un parallélogramme.

Pour que se soit un losange, il faut qu'il est deux côtés consécutifs égaux.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 11:00

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x1 = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x2 = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z1 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z2 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z3 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)
Citation :
Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM1M2M3, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM3 et M1M2 sont égaux :

OM3 (avec notation de vecteur) = zM3 - z0
= 2i - 0 = 2i
M1M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM3 et M1M2 sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM1 et M3M2 sont égaux :

OM1 (avec notation de vecteur) = zM1 - z0 = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M3M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM1 et M3M2 sont donc égaux.


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux mais, je dois prouver qu'au moins deux côtés consécutifs sont égaux... Ca change dnc le raisonnement non?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 12:12

Bonjour,

Dans la progression de la réflexion pour montrer qu'un quadrilatère est de telle ou telle forme, il faut faire ainsi:

- Montrer que c'est un parallélogramme (deux vecteurs égaux ou diagonales qui se coupent en leur milieux)

Et ensuite, à partir du parallélogramme, on fait la distinction entre les quadrilatères courants:

- C'est un losange si on montre que deux côtés consécutifs sont de même longueur

- C'est un rectangle si il y a un angle droite entre deux côtés consécutif ou si on montre que les diagonales sont de même longueur



Et à partir du moment où on a un rectangle, on peut montrer qu'on peut avoir un carré:

- C'est un carré si il a deux côtés consécutifs de même longueurs ou qu'il a ces diagonales qui se coupent perpendiculairement.


Je te laisse donc finaliser la dernière question! Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 18:08

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x1 = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x2 = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z1 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z2 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z3 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)
Citation :
Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM1M2M3 est un losange, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM3 et M1M2 sont égaux :

OM3 (avec notation de vecteur) = zM3 - z0
= 2i - 0 = 2i
M1M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM3 et M1M2 sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM1 et M3M2 sont égaux :

OM1 (avec notation de vecteur) = zM1 - z0 = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M3M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM1 et M3M2 sont donc égaux.


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux donc, OM1M2M3 est un parallélogramme.

Pour prouver que OM1M2M3, je dois maintenant prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur :

Je suis tenté d'employer la formule suivante :
Racine[ (yb - ya)² + (xb - xa)² ] mais, je ne peux pas vu que je n'ai pas de coordonnées.... Quoique... J'ai le droit de la faire avec les formes algébriques?
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 19:34

Alors c'est là qu'on voit que le parallèle entre complexe et géométrie n'estp as encore bien assimilé.

En effet, ce que tu as fait pour la question 4) c'est montrer que les vecteurs était égaux deux à deux et d'ailleurs le faire pour un seul couple de vecteur suffit largement pour montrer qu'il s'agit d'un parallèlogramme.

Mais, le module c'est en fait une distance et l'argument c'est un angle. Du coup, pour des distances, il suffit de calculer la norme des vecteurs c'est à dire le module des affixes considérés.

Les complexes sont en fait des mines d'informations géométrique et il faut ben en avoir conscience lorsqu'on les manipule sinon on psse à côté de beaucoup d'informations.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 20:54

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x1 = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x2 = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z1 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z2 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z3 :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)
Citation :
Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM1M2M3 est un losange, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM3 et M1M2 sont égaux :

OM3 (avec notation de vecteur) = zM3 - z0
= 2i - 0 = 2i
M1M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM3 et M1M2 sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM1 et M3M2 sont égaux :

OM1 (avec notation de vecteur) = zM1 - z0 = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M3M2 (avec notation de vecteur) = zM2 - zM3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM1 et M3M2 sont donc égaux.
PAS UTILE!


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux donc, OM1M2M3 est un parallélogramme.

Pour prouver que OM1M2M3, je dois maintenant prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur :

Je dois ici calculer la norme de deux vecteurs consécutifs pour prouver que ma figure est belle et bien un losange :

OM1 = zM1 - z0 = Racine(3) - i
r = Racine( x² + y² ) = Racine[ (Racine(3))² + 1²] = Racine[ 3 + 1] = Racine(4) = 2

OM3 = zM3 - z0 = 2i
r = Racine[x² + y²] = Racine[ 2² + 0²] = RAcine(4) = 2

Donc OM1 et OM3 ont ma même longueur... DONC :
OM1M2M3 est un losange!!!!!!
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Dim 25 Jan - 21:01

Nickel !

Rien à redire mis à par ta phrase de conclusion sur les côté égaux deux à deux vu qu'on a montrer qu'on avait deux vecteurs égaux en fait ce qui suffit pour avoir un parallèlogramme

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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Lun 26 Jan - 18:15

Super! Merci beaucoup pour ton aide!
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MessageSujet: Re: Exercice équation complexe et trigo   Aujourd'hui à 4:06

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