Spé --> Point fixe

Salut!
Voici enfin un dernier exo de maths spé. sur les équations de point fixe car, je galère tout de même là-dessus...
J'ai fait l'exercice mais, je ne suis pas du tout sûr de moi...

Voici l'énoncé :



Déterminer le point fixe de la transformation d'équation complexe : z' = (1 + 2i) zBarre -4



Voici mes réponses :

z' = (1 + 2i) zBarre - 4 = z

z/zBarre = 1 + 2i - 4 = -3 + 2i

Là, je bloque toujours...

Le z/zBarre gène pas mal non?

C'est pas le z/zBarre qui gêne c'est que tu arrive à l'écrire qui est génant vu que zBarre n'est pas en facteur à gauche!!!!!

Ici pour résoudre celà, il faut repasser sous la forme z=x+iy en fait.

Bon courage!

Je note z = a + ib donc zBarre = a - ib

(1 + 2i)(a-ib) - 4 = a + ib
a - ib + 2ia - 2i²b - 4 = a + ib
a - ib + 2ia + 2b - 4 = a + ib
(a-4+2b) + i(2a - b) = a + ib

Je suis bloqué là avec toutes ses inconnues aussi...

Que savons-nous sur les complexes?

Un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle ET sa partie imaginaire est nulle

Donc on se ramène à ce qu'on connaît pour l'appliquer . Tu as une égalité et une résolution à faire rien ne t'empêche de mettre tout d'un même côté pour avoir la forme que tu cherches.

D'ailleurs à partir de ce qui est dit au-dessus, on déduit un corollaire:

Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle ET même partie imaginaire

Mais bon cela ne coûte pas plus cher de se ramener toujours au théorème lorsqu'on a des doutes les repères se sont toujours les résultats sur du cours.

Bon courage!

Je note z = a + ib donc zBarre = a - ib

(1 + 2i)(a-ib) - 4 = a + ib
a - ib + 2ia - 2i²b - 4 = a + ib
a - ib + 2ia + 2b - 4 = a + ib
(a-4+2b) + i(2a - b) = a + ib

DONC :

a -4 + 2b = a
-4 + 2b = a - a = 0
2b = 4
b = 4/2 = 2

ET

2a - b = b
2a - 2 = 2
2a = 2 + 2 = 4
a = 4/2 = 2

Donc :

z = a + ib = 2 + 2i

On peut faire une vérification pour s'en convaincre mais en effet c'est juste !

Je note z = a + ib donc zBarre = a - ib

(1 + 2i)(a-ib) - 4 = a + ib
a - ib + 2ia - 2i²b - 4 = a + ib
a - ib + 2ia + 2b - 4 = a + ib
(a-4+2b) + i(2a - b) = a + ib

DONC :

a -4 + 2b = a
-4 + 2b = a - a = 0
2b = 4
b = 4/2 = 2

ET

2a - b = b
2a - 2 = 2
2a = 2 + 2 = 4
a = 4/2 = 2

Donc :

z = a + ib = 2 + 2i



VERIFICATION :


(1 + 2i)zBarre - 4 = z
avec zBarre = 2 - 2i

(1+2i)(2-2i)
2 - 2i + 4i -4i² = 2i + 6.... Je trouve pas z...

Citation :

(1 + 2i)zBarre - 4 = z
avec zBarre = 2 - 2i

(1+2i)(2-2i)
2 - 2i + 4i -4i² = 2i + 6.... Je trouve pas z...

Je retrouve pas le -4 non plus . Un peu d'attention et de concentration tout de même!

Je note z = a + ib donc zBarre = a - ib

(1 + 2i)(a-ib) - 4 = a + ib
a - ib + 2ia - 2i²b - 4 = a + ib
a - ib + 2ia + 2b - 4 = a + ib
(a-4+2b) + i(2a - b) = a + ib

DONC :

a -4 + 2b = a
-4 + 2b = a - a = 0
2b = 4
b = 4/2 = 2

ET

2a - b = b
2a - 2 = 2
2a = 2 + 2 = 4
a = 4/2 = 2

Donc :

z = a + ib = 2 + 2i



VERIFICATION :


(1 + 2i)zBarre - 4 = z
avec zBarre = 2 - 2i

(1+2i)(2-2i) -4
2 - 2i + 4i -4i² - 4 = 2i + 6 - 4 = 2i + 2


ET voilà!!
Merci beaucoup pour ton aide!