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 Exercice général complexe et trigonométrie

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice général complexe et trigonométrie   Mar 27 Jan - 19:44

Salut!
Me revoici pour le dernier exercice de cette série concernant les complexes et la trigonométrie. Ici, c'est un qcm et, j'ai des doute sou pas d'idées sur certaines questions donc, j'aurais surtout besoin qu'on m'explique car soit je sais le faire soit, je ne comprends pas la question donc...

Voici l'énoncé :

---------------------------------------------

Ici, une seule des 3 propositions est juste dans chaque cas. Il faut justifier soit en donnant des contre-exemples, en procédant par élimination etc... tant que ça reste compréhensible.


1) Une solution de l'équation 2z + zBarre = 9 + i est :

a) 3
b) i
c) 3 + i



2) Soit z un complexe alors |z+i| est égal à :

a) |z| + 1
b) |z-1|
c) |izBarre + 1|



3) Soit z un complexe non nul d'argument Têta. Un argument de [ -1 + iRacine(3)] / zBarre est :

a) -Pi/3 + Têta
b) 2Pi/3 + Têta
c) 2Pi/3 - Têta



4) Soit n un entier naturel, le complexe (Racine(3) + i)n est un imaginaire pur si et seulement si :

a) n = 3
b) n = 6k + 3 avec k entier relatif
c) n = 6k avec k entier relatif



5) Soit A et B deux points d'affixes i et -1. L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant |z-i| = |z+1| est :

a) La droite (AB)
b) Le cercle de diamètre [A , B]
c) La droite perpendiculaire à (AB) passant par O.



6) Soit Omega le point d'affixe 1 - i. L'ensemble des points M d'affixe x + iy vérifiant |z - 1 + i| = |3 -4i| a pour équation :

a) y = -x +1
b) (x-1)² + y² = Racine(5)
c) z = 1 -i + 5eiTêta avec Têta réel



7) Soit A et B les points d'affixes 4 et 3i. L'affixe du point C tel que ABC soit isocèle avec (AB , AC) = Pi/2 est :

a) 1 -4i
b) -3i
c)7 + 4i



8) L'ensemble des solutions de l'équation (z-2) / (z-1) = z est :

a) {1 -i}
b) L'ensemble vide.
c) {1 -i ; 1 +i}



---------------------------------------------


Et voici mes réponses :


1) La bonne réponse est la réponse c) z = 3 + i

--> 2(3+i) + (3-i) = 6 + 2i + 3 - i = 9 + i

[En plus :

a) z = 3 --> On a besoin d'un i dans la partie de gauche donc cette réponse est à exclure.

b) z = i
--> 2i - i = i différent de 9 + i ]



2) Ici, le doute s'installe bien que j'ai d'ores et déjà supprimé une possibilité :

|z + i| différent de |z| + |i| donc, bien que |i| = 1, la possibilité a) |z| + 1 est à exclure.

Reste |z-1| et |izBarre +1|mais après, j'ai tenté de définir z tel que z = a + ib et de calculer le module mais, ça reste flou...



3) Ici, j'ai dit que z = a + ib donc zBarre = a - ib ce qui donne ceci :
[1 + iRacine(3)] / zBarre = [1 + iRacine(3)] / [a -ib].
J'applique a ceci le conjugué afin d'avoir la forme algébrique pour après calculer le module puis l'argument mais, j'ai une forme algébrique très étrange et très compliquée donc, ça me semble faux... Donc, je pense être parti sur une mauvaise piste...



4) Ici, j'ai calculé avec n = 3 et cela donne :

(Racine(3) + i)[sup]n[sup]
= (Racine(3) + i) (Racine(3) + i) (Racine(3) + i)
= (3 + iRacine(3) + iRacine(3) + i²) * (Racine(3) + i)
= (3 + 2iRacine(3) -1) * (Racine(3) + i)
= (2 + 2iRacine(3)) * (Racine(3) + i)
= 2Racine(3) + 2i + 2i *3 + 2i²Racine(3)
= 2Racine(3) + 2i + 6i -2racine(3)
= 8i

Sachant qu'une seule réponse est correcte sur les trois, c'est forcément celle-ci et de toutes façons, je ne vois pas comment j'aurais pu calculer les autres lol!

DONC : Réponse a)



5) A d'affixe i et B d'affixe -1 --> M d'affixe z

|z -1| = |z +1|
BM = MA
--> M sera sur la médiatrice sur segment [AB]

J'ai ensuite fait un petit dessin ou l'on vit bien que cette médiatrice par passe le centre O et de toute façon, dans les réponses, la c) était la seule avec le mot perpendiculaire dedans ce qui est une des propriétés de la médiatrice (en plus du fait qu'elle passe par le milieu du segment).

DONC : Réponse c)



6) Là, j'ai tenté la même chose mais, ça a moins bien marché...

Omega d'affixe 1 - i --> M d'affixe x + iy

|z -1 + i| = |3 - 4i|
|z - (-1 -i)] = M
|z - zOmega| = M

Et, je me retrouve bloqué...



7) Ici, j'ai fait une figure car c'est toujours plus parlant comme explication et je trouve que le point C du triangle isocèle a pour affixe z = 1 - 4i

DONC : réponse a)



8) (z-2) / (z-1) = z

a) 1 - i = z
--> (1 -i -2) / (1 -i -1) = (-1 -i) / (-i) = 1 - i donc, z = 1-i fonctionne ce qui exclut la solution b) mais pas la c) :
Je teste donc avec z = 1 + i :
--> (1 + i -2) / (1 +i -1) = (-1 + i) / i = 1 + i donc, z = 1 + i fonctionne aussi donc la réponse juste est la réponse c)!!


Voilà! Smile Normalement ce que j'ai fait est juste mais, il y a toujours des petits problèmes sur certains points. J'aurais donc besoin d'un petit coup de pouce svp!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Mar 27 Jan - 22:18

Voilà un exercice pour faire un bilan très intéressant.

Je vais donc le prendre comme tel et faire quelque remarque de rédaction aussi car certaines justification sont bancales tout de même.

Pour la question 1), il y a deux manière de faire. En effet, soit on résout notre équation et on trouve donc la solution qui marche soit on teste les trois proposition avec l'espoir que celle qui soit bonne ne soit pas la dernière sinon les calculs deviennent vite long.

Tu as choisi la deuxième méthode avec un principe d'élimination ce qui évite de tout tester. C'est une bonne idée et tu en conclus après calcul qu'il s'agit de la c) comme réponse. Et c'est tout à fait exact après la justification comme quoi la a) n'est pas possible est assez bancale car trop francisée peut-être. Le but étant de trouver la réponse et qu'il n'y a pas d'ambiguïté sur cette question c'est à dire que si une est réponse les autres ne peuvent pas l'être, il suffisait donc de faire explicitement le calcul avec la proposition et montrer qu'elle marche. Après si on veut un brin de rigueur, on peut effectuer les deux autres calcul pour montrer qu'il sont faux. Maais à ce moment là, il ne faut pas faire de justification à peu près mais des calculs clairs net et précis.

Sinon, la méthode analytique de résolution de l'équation donne:

Je pose z=x+i*y, donc notre équation est équivalente à: 2x+2iy + x -iy = 9 +i

Donc (2x + x - 9) + i*(2y-y-1)=0 c'est à dire (3x-9) + i*(y-1)=0

Un complexe est nul si et seulement si sa partie imaginaire ET sa partie réelle sont nulles

Donc notre équation est équivalente à 3x-9=0 ET y-1=0

Conclusion, x=3 et y=1

Donc z=3+i



Pour la question 2), les choses comment déjà à se compliquer car soit on aime bien les calculs et on se lance directement dans les calculs de module soit on connaît toutes les propriétés sur les modules et les conjugués et on joue la carte de la simplification.

Alors tu exclus d'entrée de jeu une des réponses mais ta justification est inexistante en fait. En effet, tu affirmes que ce n'est pas égale mais tu ne prouves pas que cela ne peut pas l'être. Donc même si ta déduction est juste, ton élimination ne te vaudrait pas de point car elle est non justifié.

Alors pour être sur de l'éliminer, il suffit de prendre un contre exemple simple vu que notre égalité doit être vraie pour tout z dans C. Donc tu prends par exemple z=1 et en effet |1+i|=racine(2) et |1|+1=2. Donc |z+1| n'est pas égale à |z|+1 pour tout z. Donc le a) est bien exclus. Et là, il y a une justification valable car tu montres que l'égalité n'est pas vrai pour tout z donc cela ne correspond pas à ta demande.

De même, en prenant encore z=1, on a |1-1|=0 or |1+i|=Racine(2). Donc |z+i| n'est pas égale à |z-1| pour tout z donc le b) est exclus aussi.

Donc par déduction vu qu'au moins une réponse est juste, la réponse est donc la c). Mais bon avoir la réponse va te suffire pour cette exercice. Mais il faut retenir le fait d'utiliser des contre exemple pour montrer que des réponses sont fausses c'est surtout ça qui est important dans ce type d'exercice.

Par contre, vu que je compte réviser les complexe dans leur généralité grâce à cette exercice pourrais-tu me démontrer cette fois-ci que la c) est bien égale à |z+i| pour tout z dans C.


Nous verrons les suivantes par la suite car tu as tout de même pas mal de mal sur les calculs de module et d'argument donc autant traiter les questions les unes après les autres en faisant intervenir diverses méthodes pour les résoudre quitte à prendre plus de temps. En effet, le but pour moi n'est pas de te faire faire l'exo au fur et à mesure car l'objectif n'est pas de savoir faire CETTE exercice mais d'en tirer des méthodes et des connaissances sur les complexe en vu de te former pour le BAC qui est plus important (sachant que les complexe te seront aussi utile dans la suites de tes études que tu continue en maths ou en physique en tout cas).

après si tu préfères qu'on boucle ton exo plus rapidement, je reste ouvert. Je propose tu disposes tu commences à comprendre comment marche la maison Razz.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Mer 28 Jan - 14:33

1) La bonne réponse est la réponse c) z = 3 + i

--> 2(3+i) + (3-i) = 6 + 2i + 3 - i = 9 + i

[En plus :

a) z = 3
--> 2 * 3 - 3 = 3 différent de 9 + i --> J'avais fait le calcul au brouillon mais, je pensais que l'explication avec le i permettrait d'être clair...
b) z = i
--> 2i - i = i différent de 9 + i ]

Je met ici ta méthode :

Je pose z=x+i*y, donc notre équation est équivalente à: 2x+2iy + x -iy = 9 +i

Donc (2x + x - 9) + i*(2y-y-1)=0 c'est à dire (3x-9) + i*(y-1)=0

Un complexe est nul si et seulement si sa partie imaginaire ET sa partie réelle sont nulles

Donc notre équation est équivalente à 3x-9=0 ET y-1=0

Conclusion, x=3 et y=1

Donc z=3+i




2) Ici, le doute s'installe bien que j'ai d'ores et déjà supprimé une possibilité :

|z + i| différent de |z| + |i| donc, bien que |i| = 1, la possibilité a) |z| + 1 est à exclure --> Exemple z=1 et en effet |1+i|=racine(2) et |1|+1=2. Donc |z+1| n'est pas égale à |z|+1 pour tout z. Donc le a) est bien exclu.

De même, en prenant encore z=1, on a |1-1|=0 or |1+i|=Racine(2). Donc |z+i| n'est pas égale à |z-1| pour tout z donc le b) est exclus aussi.

L'idée du contre-exemple est en effet assez utile Smile

--> Voici le calcul pour la c) :
z = 1 donc : |1+i|= Racine(2)
zBarre = -1 donc : |izBarre +1| = |-i +1| = Racine( 1² + (-1)² ) = Racine(2) --> La c) est donc juste.




Pour l'exo, disons que je dois le fiinr pour jeudi soir ais même si ce n'est pas le cas ce n'est pas bien grave. Sinon, je pense que le reste doit pas être si faux que ça

lol!
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Mer 28 Jan - 22:46

Le reste contient hélas pas mal d'erreur de logique sur le calcul des arguments d'une part et quelque justification d'autre part mais nous les verrons au fur et à mesure de toute façon.

Sinon, au niveau logique, je me doutais que tu allais tomber dans le piège:

Citation :
--> Voici le calcul pour la c) :
z = 1 donc : |1+i|= Racine(2)
zBarre = -1 donc : |izBarre +1| = |-i +1| = Racine( 1² + (-1)² ) = Racine(2) --> La c) est donc juste.

Ceci montre que l'égalité est vrai pour z=1 et l'est-elle pour z=2? z=1 +i? z=1,2 +8*i? z= ... ?

Je pense que tu commences à saisir le problème de ta démonstration comme quoi le c) serait juste. En effet, il faut montrer l'égalité pour tout complexe z. Or l'ensemble des complexes étant infini, on ne risque pas de tous les tester Wink. Ceci dit en passant le conjugué d'un réel est égale à lui-même donc si z=1, on a zBarre=1 aussi.

Du coup, il faut faire la démonstration de l'égalité. Faire par élimination marche tout à fait mais je veux aller un peu plus loin pour te faire manipuler ou te montrer des méthodes de résolutions.

Alors ici, le but est de montrer que pour tout complexe z, on a |z+i|=i*zBarre + 1|

Je pars de droite et je vais montrer que c'est égale à la partie de gauche. En effet, |i*zBarre +1|= |i*(zBarre -i)| (je met i en facteur)

Donc |i*zBarre +1|=|i|*|zBarre-i| (le module d'un produit est égale au produit de module)

Or |i|=1

Donc |i*zBarre+1|=|zBarre-i|

Or (z+z')Barre= zBarre + (z')Barre
Donc zBarre -i= zBarre +(i)Barre= (z+i)Barre

Donc |i*zBarre+1|=|(z+i)Barre|

Or |zBarre|=|z| En effet, si je pose z=x+i*y, on a zBarre=x-i*y et |zBarre|= Racine(x² + (-y)²)=Racine(x²+y²)=|z|

Donc |i*zBarre+1|=|z+i|

La démonstration en soi n'est pas simple et mon but n'était pas que tu la trouves mais que tu te rendes comptes que faire un teste sur une seule valeur de z cela ne suffit pas et de faire des révisions sur les modules et les conjugués.


Pour la 3), il faut utiliser les propriétés sur les arguments. En effet, Arg(z/z')=Arg(z)-Arg(z') (par exemple) devrait pouvoir te débloquer.


Pour la 4), il y a une erreur dans ton affirmation. En effet, tu affirmes que la a) est juste car elle fonctionne et vu qu'il n'y en a qu'une de juste par question c'est forcément la a). Or ce raisonnement est faux tant que tu n'as pas montrer que les autres ne fonctionnait pas ou que tu n'a pas prouvé rigoureusement que 3 était la seule solution à notre problème. Et hélas ce n'est pas le cas.

En effet, si tu prends la b) avec k=0 on retrouve la a), donc pourquoi la b) serait moins juste que la a) à partir de là? Et on va montrer que justement c'est la b) qui est juste. Il faut écrire notre complexe sous forme algébrique et exprimer le fait que ce complexe serait un imaginaire pur c'est à dire que sa partie réelle est nulle.

Je te laisse reprendre ceci car après on change de registre au niveau des questions.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Jeu 29 Jan - 12:09

J'ai compris ta démonstration pour la 2) en tout cas Very Happy

1) La bonne réponse est la réponse c) z = 3 + i

--> 2(3+i) + (3-i) = 6 + 2i + 3 - i = 9 + i

[En plus :

a) z = 3
--> 2 * 3 - 3 = 3 différent de 9 + i --> J'avais fait le calcul au brouillon mais, je pensais que l'explication avec le i permettrait d'être clair...
--> 2i - i = i différent de 9 + i ]

Je met ici ta méthode :

Je pose z=x+i*y, donc notre équation est équivalente à: 2x+2iy + x -iy = 9 +i

Donc (2x + x - 9) + i*(2y-y-1)=0 c'est à dire (3x-9) + i*(y-1)=0

Un complexe est nul si et seulement si sa partie imaginaire ET sa partie réelle sont nulles

Donc notre équation est équivalente à 3x-9=0 ET y-1=0

Conclusion, x=3 et y=1

Donc z=3+i


2) Ici, le doute s'installe bien que j'ai d'ores et déjà supprimé une possibilité :

|z + i| différent de |z| + |i| donc, bien que |i| = 1, la possibilité a) |z| + 1 est à exclure --> Exemple z=1 et en effet |1+i|=racine(2) et |1|+1=2. Donc |z+1| n'est pas égale à |z|+1 pour tout z. Donc le a) est bien exclu.

De même, en prenant encore z=1, on a |1-1|=0 or |1+i|=Racine(2). Donc |z+i| n'est pas égale à |z-1| pour tout z donc le b) est exclus aussi.

L'idée du contre-exemple est en effet assez utile Smile

--> Voici le calcul pour la c) :
z = 1 donc : |1+i|= Racine(2)
zBarre = -1 donc : |izBarre +1| = |-i +1| = Racine( 1² + (-1)² ) = Racine(2) --> La c) est donc juste.




3)
Citation :
Arg(z/z')=Arg(z)-Arg(z')

Ce qui donne ici :

Arg[ (-1 + iRacine(3)) / zBarre ] = Arg(-1 + iRacine(3)) - Arg (zBarre)

--> zBarre aura pour argument Têta car, on a pas de valeurs précises de zBarre.

En vue de la forme c'est à dire :
Arg(-1 + iRacine(3)) - Arg (zBarre)

On en déduit que la bonne réponse sera la c car, la seule avec - Têta mais, je vais calculer tout de même l'argument de -1 + iRacine(3) :

r = Racine[ x² + y² ] = Racine[ (-1)² + (Racine(3))² ] = Racine[ 1 + 3] = Racine(4) = 2

cos(Têta') = x / r = -1 / 2
sin(Têta') = y/r = Racine(3) / 2

On se situe dans le quart nord-ouest du cercle trigonométrique (faire une figure) soit à 2Pi/3.

--> Réponse c).



4) ( Racine(3) + i )n --> Comment mettre ça sous forme algébrique??
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Ven 30 Jan - 18:06

Bonsoir,

dans la question 2) ceci est absolument à enlever pour les raisons citées dans mon dernier message:

Citation :
--> Voici le calcul pour la c) :
z = 1 donc : |1+i|= Racine(2)
zBarre = -1 donc : |izBarre +1| = |-i +1| = Racine( 1² + (-1)² ) = Racine(2) --> La c) est donc juste.

Pour la 3), il faut se souvenir que Arg(zBarre)=-Arg(z) (je te laisse le vérifier sur un dessin).

Pourl a 4), celà devrait te rappeler quelque chose car en effet, on ne va pas calculer la puissance nième de notre complexe. Par contre il est toujours plus facile de calculer son module et son argument à la puissance nième.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Ven 30 Jan - 19:40

Donc pour la question 3, c'est la réponse b).


4) [ Racine(3) + i] --> r = Racine( x² + y²) = Racine( (Racine(3))² + 1² ) = Racine(4) = 2

cos(Têta) = x/r = Racine(3) / 2
sin(Têta) = y/r = 1/2
Donc l'argument est Pi/6.


DONC :

[ Racine(3) + i]n avec n = 6k + 3

Module : 26k + 3 = 26k * 23 = 26k +8

Argument :
(Pi/6)6k + 3 = (Pi/6)6k * (Pi/6)3 = Pi3 / 216


Dernière édition par MrTheYo le Sam 31 Jan - 15:15, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Sam 31 Jan - 13:29

Bonjour,

La 3) est juste maintenant.

Pour la 4), il ne faut pas remplacer n par une valeur, c'est la résolution de notre problème qui va nous donner la solution.

En effet, dire qu'un complexe est un imaginaire pur c'est dire que sa partie réelle est nulle. Donc quelle est sa partie réelle en fonction de n et sachatn que l'arguement et la module que tu as calculé sont juste?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Sam 31 Jan - 15:18

Reprenons :


4) [ Racine(3) + i] --> r = Racine( x² + y²) = Racine( (Racine(3))² + 1² ) = Racine(4) = 2

cos(Têta) = x/r = Racine(3) / 2
sin(Têta) = y/r = 1/2
Donc l'argument est Pi/6.


DONC :

[ Racine(3) + i]n avec n = 6k + 3

Module : 26k + 3 = 26k * 23 = 26k +8

Argument :
(Pi/6)6k + 3 = (Pi/6)6k * (Pi/6)3 = Pi3 / 216


Citation :
En effet, dire qu'un complexe est un imaginaire pur c'est dire que sa partie réelle est nulle. Donc quelle est sa partie réelle en fonction de n et sachant que l'argument et la module que tu as calculé sont juste?

J'ai donc la forme trigonométrique suivante :
26k +8 [ cos(Pi3 / 216) + isin(Pi3 / 216)]
Je dois développer le tout pour avoir une forme algébrique j'ai donc besoin de la valeur du cos et du sin de Pi3 / 216 mais, je peux faire comment pour l'avoir vu que j'ai regardé, ce n'est pas un angle remarquable...
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Sam 31 Jan - 19:57

Citation :
il ne faut pas remplacer n par une valeur, c'est la résolution de notre problème qui va nous donner la solution

J'avais précisé que l'argument et le module du complexe était juste mais tu te dois de garder la puissance n de ton énoncer. Il n'y a pas de remplacement de n à effectuer avant d'avoir résolu notre exercice. C'est vraiment la résolution du problème qui va te donner la valeur de ton n.

Sinon, il y a toujours l'erreur classique sur l'argument que tu avais faites (avec remplacement ou pas l'erreur reste là):

Citation :
Arg(zn)=n*Arg(z)


Je pense qu'avec ceci, cela sera plus clair.

Sinon, à partir de l'expression trigonométrique |z|*( Cos(θ) + i*Sin(θ) ), on constate que la partie réelle est toujours donnée par |z|*Cos(θ) ce qui va simplifier un peu ton problème normalement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 11:02

[ Racine(3) + i] --> r = Racine( x² + y²) = Racine( (Racine(3))² + 1² ) = Racine(4) = 2

cos(Têta) = x/r = Racine(3) / 2
sin(Têta) = y/r = 1/2
Donc l'argument est Pi/6.

Le module sera donc :

[ Racine(3) + i]n avec n = 6k + 3

Module : 26k + 3 = 26k * 23 = 26k +8

Arg [ Racine(3) + i]n avec n = 6k + 3

(6k+3)Arg[ Racine(3) + i] = (6k + 3) (Pi/6) = 6kPi + 3Pi / 6
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 11:35

La prochaine fois je te file un gage!

Citation :
il ne faut pas remplacer n par une valeur

Donc garde tout simplement n sans te laisser influencer par les trois propositions qu'on te fournit. Considère d'ailleurs que les trois réponse a), b) et c) n'existe pas et fais l'exercice normalement. C'est le gros désavantage des QCM d'être influencé par les réponses qu'on propose mais ici tu ne trouveras pas la réponse en faisant des testes de solutions mais seulement en résolvant l'exercice.

Donc on a:

Arg[(Racine(3)+i)n]=n*Pi/6
|(Racine(3)+i)n|=2n

A partir de là et d'après ce que j'ai dit dans mon dernier message, (Racine(3)+i)n est un imaginaire pur si et seulement si ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 12:43

Citation :
Donc on a:

Arg[(Racine(3)+i)n]=n*Pi/6
|(Racine(3)+i)n|=2n

(Racine(3)+i)n est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 13:48

Ok!

A partir de là quelle est la partie réelle de (Racine(3)+i)n (en utilisant sa forme trigonométrique) en fonction de n?

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 14:17

Citation :
A partir de là quelle est la partie réelle de (Racine(3)+i)n (en utilisant sa forme trigonométrique) en fonction de n?

r = Racine(4) = 2
cos(Têta) = x/r = Racine(3)/2
sin(Têta) = y/r = 1/2
On a donc un argument de Pi/6

--> Forme trigo :

z = 2 [ cos(Pi/6) + isin(Pi/6) ]

mais là...
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 14:21

Ici tu me donne la forme trigonométrique de Racine(3)+i

Or nous cherchons des valeurs de n pour que (Racine(3)+i)n soit un imaginaire pur

Nous avons donc besoin de savoir pour quelles valeurs de n la partie réelle de (Racine(3)+i)n va être nulle. Par conséquent, nous devons calculer la partie réelle de (Racine(3)+i)n.

Et pour se faire, nous avons déjà calculé son module et son argument en fonction de n.

Donc que vaut sa partie réelle en fonction de n?

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 15:42

Pour avoir la partie réelle, il suffit de développer la forme trigo non?
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 16:42

C'est tout à fait cela en effet.

La forme trigonométrique du complexe suivant: (Racine(3)+i)n

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 17:07

(Racine(3)+i)n

aura pour module 2n et pour argument (Pi/6)n DONC :

2n [ cos(Pi/6n ) + isin(Pi/6n ) ]
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 17:20

Arg(i)=Pi/2 => Arg(i²)=Pi²/4 ????????????

Gage:

Recopier 100 fois:

Citation :
Élever un complexe à une puissance revient à multiplier son argument par cette puissance c'est à dire Arg(zn)=n*Arg(z)



Je pense que ça va finir par rentrer Wink.

Sinon, la forme était juste, et donc pour que notre complexe soit un imaginaire pur, il faut que sa partie réelle soit nulle c'est à dire ?

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 17:23

L'argument sera donc égal à :

nArg(Racine(3) + i) ?
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 17:45

C'est tout à fait ça!

C'est ce que tu avait écrit tout à l'heure en fait: n*Pi/6

Du coup, que savons-nous sur la forme trigonométrique de notre complexe et quelle est sa partie réelle?

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 18:52

Forme trigonométrique :

2n [ cos(n*Pi/6) + isin(n*Pi/6)]

ce qui fait :

2n * cos(n*Pi/6) + 2n * isin(n*Pi/6)
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Dim 1 Fév - 21:13

Nous sommes d'accord!

Maintenant, si ce complexe est un imaginaire pur cela signifie que ?

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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Lun 2 Fév - 17:33

Cela signifie que l'on aura que des termes avec i
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MessageSujet: Re: Exercice général complexe et trigonométrie   Aujourd'hui à 2:25

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