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 Transformations du plan

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MrTheYo



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MessageSujet: Transformations du plan   Ven 30 Jan - 16:26

Salut!
Ici, j'ai un exo de maths spé. assez compliqué que je n'arrive pas à faire malgré sa petite taille...
J'aurais donc besoin d'un peu d'aide parce que là, j'ai eu beau chercher, tenter encore et encore, j'ai toujours pas trouvé...

Voici l'énoncé :

-------------------------------------------


On donne deux points distincts du plan orienté A et B.
Construire, en expliquant, le centre Omega de la rotation r d'angle de mesure Pi/2 qui transforme A en B.

-------------------------------------------


Bon, j'ai tenté à l'équerre et en tâtonnant, je trouve mais, je pense qu'il faut trouver un truc au compas et à la règle et là, je galère pas mal donc, j'aurais besoin qu'on m'explique un peu svp!
Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Sam 31 Jan - 14:30

Bonjour,

La méthode par test est une méthode qui marche mais qui hélas n'est pas très rigoureuse en effet.

En fait, nous savons beaucoup de choses ici mais encore faut-il les voir.

Qu'est-ce qu'une rotation de rayon r et d'angle Pi/2?

Que pouvons-nous dire du triangle ABΩ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Sam 31 Jan - 15:13

Citation :
Qu'est-ce qu'une rotation de rayon r et d'angle Pi/2?
C'est un quart de tour soit 90 degrés soit un angle droit DONC :
On peut dire que ABΩ est un triangle rectangle en Ω.
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Sam 31 Jan - 18:15

C'est une bonne première analyse en effet.

Maintenant essayons de creuser un peu plus l'analyse en cherchant la deuxième chose qui caractérise une rotation au niveau des distances par exemple.

Que pouvons-nous dire de plus sur le triangle?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 10:46

Que A et B seront sur le cercle de centre Omega donc, ils auront le même module.
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 11:26

Bonjour,

Nous sommes dans un repère réel ici sauf erreur mais cela marche aussi dans le plan complexe normalement.

Donc A et B sont à même distance de Ω, en effet. Que peut-on en déduire pour le triangle ABΩ?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 12:44

ABΩ en plus d'être rectangle est également isocèle!
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 13:50

Nickel!

Le triangle est rectangle et isocèle en Ω si on veut être précis.

A partir de là, est-ce qu'il ne serait pas possible de savoir sur quelle droite particulière de ce triangle va se situer notre point Ω?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 14:20

Le triangle ABΩ est rectangle et isocèle en Ω.

Citation :
A partir de là, est-ce qu'il ne serait pas possible de savoir sur quelle droite particulière de ce triangle va se situer notre point Ω?

Ω se situera donc sur la médiatrice du segment [AB]
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 14:25

C'est un bon début!

Vu qu'on a égalité des longueur, Ω est forcément sur la médiatrice de [AB].

Maintenant, si j'appelle I le milieu de [AB], est-ce qu'on peut connaître la longueur IΩ?

Indication: On a utilisé seulement le fait que ΩA=ΩB mais on a pas encore utilisé le fait que le triangle était rectangle isocèle en Ω.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 15:41

L'angle droit sera divisé en deux angles de 45 degrés chacun non?
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 16:41

La médiatrice est aussi une bissectrice en effet mais cela ne nous aide pas vu qu'on ne sait pas où se situe Ω exactement.

Et pour celà, on a besoin de connaître la longueur IΩ.

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 17:05

Pour cela, il faut les affixes de I et Ω.

Celle de I se trouve avec la formule suivante :

I = (za + zb) /2

mais, on a pas de valeurs précises pour A et B
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 17:15

Ta méthode est tout à fait exacte si on connaissait en effet la position de A et de B.

Le problème ici c'est qu'on doit être capable de trouver l'emplacement Ω pour n'importe quelle position de A et B dans le plan (complexe ou réelle).

Il faut donc déduire la distance IΩ à partir des distance qu'on peut utiliser ou reporter à l'aide d'un compas par exemple. Donc les distances qui seront fixées une fois les point A et B placés sont:

1) AB
2) AI
3) IB

On sait tracer à l'aide d'un compas la médiatrice de [AB] et donc déterminer de façon très précise la position du point I.

On sait que Ω est un point de cette médiatrice vu qu'il est le centre de rotation et que par conséquent AΩ=BΩ.

Maintenant, on sait aussi que la rotation est d'angle Pi/2 et par conséquent que le triangle ABΩ est rectangle en Ω (il est même isocèle rectangle en Ω d'après ce qu'on a dit juste avant).

On sait que si notre triangle est isocèle rectangle en Ω, toutes les droites remarquable issues de Ω sont confondues c'est à dire que la médiatrice de [AB] passe par Ω et c'est aussi une bissectrice (inutile ici), une hauteur (inutile ici on a déjà l'angle droit avec la médiatrice) et une médiane (pas encore utilisé).

Que savons-nous de la médiane issue de l'angle droit d'une triangle rectangle?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 17:21

On peut se servir du théorème de la médiane :

"Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :

AB² + AC² = 2BI² +2AI² "
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 17:44

C'est une solution en effet. Mais nous notre médiane est issue de Ω et par conséquent on aura beaucoup d'inconnues dans cette relation. L'autre inconvénient vient du fait qu'on n'aura des calcul à faire ce qu'on veut éviter si on doit faire un tracer à la règle et au compas.

Mais que savons-nous de la médiane d'un triangle rectangle? N'aurait-elle pas une particularité que nous permettrait de conclure sur la distance IΩ?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 18:48

"Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse."
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 19:53

C'est tout à fait ça!

Conclusion, IΩ= ?

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 19:55

IΩ= IA = IB
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 20:24

J'ai réussi à le tracer!
Je trace le segment [AB], je trace sa médiatrice en me servant du compas pour déterminer sa position et je reporte la distance IA.
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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Dim 1 Fév - 21:19

Nickel!!!

Mais attention au dernier piège! En effet, jusqu'à maintenant, on a pris aucunement en compte le sens de notre rotation, il y a donc deux point Ω qui vérifient IΩ=IB=IA et Ω appartenant à la médiatrice.

Seulement, le sens de la rotation nous donne l'unicité de ce point là car sinon, l'angle n'est plus de Pi/2 mais de -Pi/2 si on le met au mauvais endroit.


Cette exercice est en fait accessible en Maths général de par son résultat mais par contre vu qu'il n'y a pas de question intermédiaire cela le range dans les exercice de maths spé. Pourtant le raisonnement est purement géométrique, il faut vraiment prendre son temps d'analyser les données les unes après les autres sans chercher à faire apparaître quelque chose de connu car si quelque chose de remarquable doit apparaître cela se fera dans tous les cas Wink.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Transformations du plan   Lun 2 Fév - 17:25

Merci beaucoup en tout cas!
j'ai plus qu'à résumer tout ce qu'on a écrit pour justifier ^^
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