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 Questions variées sur les complexes

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MrTheYo



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MessageSujet: Questions variées sur les complexes   Mar 3 Fév - 18:15

Salut!
Ici, pas d'exercices mais, des questions car en faisant des exercices afin de me perfectionner dans le domaine de la trigo et des complexes, je tombe parfois sur des choses que ma correction des bouquins n'expliquent pas donc, j'aimerais avoir l'explication si possible Smile.

1)
z' = -3 -3i

Je calcule le module :

r = Racine( x² + y²) = Racine( (-3)² + (-3)² ) = Racine(18) = 3Racine(2)

cos(Têta) = x/r = -3/(3racine(2)) = -Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = -3/(3racine(2)) = -Racine(2)/2

Je trace ici mon cercle trigo à partir de ça et je trouve que le point en question est dans le quart sud-est du cercle trigonométrique. et trouve donc comme angle 5Pi/4

Or, la solution dans le livre me met 3Pi/4 alors que, valeurs du cosinus et du sinus sont négatives...


2)
Ici, une équation que je n'arrive pas à résoudre...
i [ (z-2i) / (z+i) ] = 2 -i
j'ai essayé une bonne dizaine de fois et je n'ai jamais réussi et, je tente de reprendre la méthode du corrigé et je bloque quand même!


3)
Ici, j'avais une équation du second degré avec des Z etc je la résous et trouve deux solutions :

-Racine(3) - i et -Racine(3) + i [ces solutions sont bonnes]

Après, on me demande la forme trigo. de -Racine(3) - i :

r = Racine[ (-3)² + (-1)²] = Racine[3+1] = Racine(4) = 2
cos(Têta) = Racine(3)/4
sin(Têta) = -1/4
Et là, eux trouvent un angle facilement tandis que moi je rame sur ma calculette et au final je trouve pas... (ils trouvent -5Pi/6)


4) Enfin, ici, une simplification :

Comment passe-t-on de :
[ -2 + iRacine(12)] / 8 à [-1 -iRacine(3)] / 4 ???


Voilà pour ceci. Ces bouquins sont bien niveau exercices mais, niveau explications, c'est assez mauvais... J'espère donc en trouver ici parce que ces questions là je ne trouve pas et encore yen avait d'autres que j'ai réussie à trouver tout de même Smile.
Merci d'avance!


EDIT :
Comment se résoud une équation du type :
|z+2| = |z - 5||
??
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mar 3 Fév - 19:18

Bonsoir,

Pour le premier exercice, ta réponse est "juste" mais -3*Pi/4 l'est aussi. Il doit manquer un "-" dans la correction du bouquin. Et d'ailleurs, on donne un argument entre -Pi et Pi le plus souvent donc, logiquement -3*Pi/4 serait plus judicieux comme résultat. C'est le résultat qu'on attendra le plus je pense.

Pour le 2), commence par faire un produit en croix tout simple, puis après tu développes, tu isoles les z d'un côté, tu factorises par z et tu conclus. La démarche est exactement la même que avec des x.

Pour le 3), ton module est égale à 2 et non 4 c'est ce qui doit te gêner dans tes cosinus et sinus Smile.

Pour la 4), la simplification vient d'abord de la simplification de Racine(12) car 12=4*3 tout simplement.


alors pour ton ultime question c'est ton gros soucis: |z-5| c'est une distance en fait! En effet, si je pose A d'affixe 5 et M d'affixe z alors AM=|z-5|. Si tu fait de même avec l'autre partie de l'égalité, tu te retrouve avec une égalité de distance et là tu va savoir répondre.

Il faut absolument que les complexes ne soient pas que de l'abstrait sinon tu passeras toujours à côté d'une information capitale qui est la géométrie d'un nombre complexe (distance + angle) et c'est ce qui est le plus utile en complexe c'est le lien étroit entre calcul et géométrie.

N'hésite pas si il y a des points à éclaircir et à titre d'information, tes exercices viennent de quel livre d'exercices?

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mar 3 Fév - 19:57

D'accod pour la 1) Smile

2) i [ (z-2i) / (z+i) ] = 2 -i
--> Je fais un produit en croix :

iz - 2i = (2-i)(z-i)
iz -2i = 2z -2i -iz -1
iz -2z +iz = +2i -2i -1
z[ i -2 + i] = -1
z = -1/(-2+2i)
??



3)
On me demande la forme trigo. de -Racine(3) - i :

r = Racine[ (-3)² + (-1)²] = Racine[3+1] = Racine(4) = 2
cos(Têta) = Racine(3)/2
sin(Têta) = -1/2
L'argument sera donc : 5Pi/6 --> Je retrouve la solution du livre!


4) Racine(12) = RAcine(3 * 4) = 2RAcine(3) OK

5) |z+2| = |z - 5|
Je pose le point M d'affixe 5 et le point N d'affixe 2 (z est l'affixe du point A)
AN = AM non?




Ceux là viennent de "Objectif BAC Terminale S"
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mar 3 Fév - 22:12

Il y a une erreur dans ton produit en croix.

En effet, le i est en facteur de tout à gauche et non seulement du z lorsque tu as effectué le produit en croix d'une part. Et d'autre part, le dénominateur c'est z+i et non z-i.

Je ne laisse donc refaire tes calculs.


Pour le 3) c'est ok.
Pour le 4) c'est ok après simplification dans la fraction en effet.

Pour le 5) c'est tout à fait la démarche à adopter et on trouve donc que l'ensemble des points A est?


Sinon, de manière générale, il ne faut pas hésiter à faire des dessins. Cela à le mérite de donner des noms aux points importants. Et il ne faut pas non plus avoir peur d'ajouter des choses au énoncer car du moment que tu ne vas pas contre l'énoncer cela ne pourra que t'aider. Avec le bémol que trop de nom sur un dessin nuira à ta compréhension à un moment. Faut trouver le juste milieu et c'est pas forcément aisé mais c'est ne forgeant qu'on devient forgerons comme on dit Wink.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 4 Fév - 12:19

2)

i [ (z-2i) / (z+i) ] = 2 -i
--> Je fais un produit en croix :
(iz+2) / (z+i) = 2 -i
iz + 2 = 2i (z + i)
iz + 2 = 2iz - 2
iz + 4 = 2iz
2iz - iz = 4
z (i + 2i) = 4
z = 4 / 3i
z = ( 4 * (-3i) ) / (3i * (-3) )
z = -12i / 9 = -4/3 i


5) |z+2| = |z - 5|
Je pose le point M d'affixe 5 et le point N d'affixe 2 (z est l'affixe du point A)
AN = AM
On a une homothétie
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 4 Fév - 13:32

Citation :
(iz+2) / (z+i) = 2 -i
iz + 2 = (2-i)*(z + i)

Attention dans tes recopies!! Je te laisse reprendre tes calculs.

Pour la 5), l'ensemble des points A tel que AM=AN n'est pas une homothétie. D'ailleurs une homothétie est une fonction ou plutôt un type de fonction ce n'est pas un ensemble de point. C'est très connu comme ensemble et tu l'as rencontré dans ton QCM dernièrement d'ailleurs.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 4 Fév - 13:41

i [ (z-2i) / (z+i) ] = 2 -i
--> Je fais un produit en croix :
(iz+2) / (z+i) = 2 -i
iz + 2 = (2 - i) (z + i)
iz + 2 = 2z + 2i - iz +1
iz -2z +iz = 2i + 1 - 2
z( i -2 + i) = 2i -1
z(2i - 2) = 2i - 1
z = (2i-1) / (2i - 2)
z = (2i-1)(2i+2) / (2i-2)(2i+2)
z = -4 + 4i -2i -2 / -4 -4
z = -6 +2i / -8
z = 3/4 -2/8 i



5) A est la médiatrice du segment [MN]
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 4 Fév - 13:44

Mis à part que 2/8=1/4 sinon tout est juste !

Pour la 5) aussi !!!

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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 4 Fév - 14:01

Ah! Smile.
Merci pour tout.
Si j'ai d'autres problèmes, je posterais ici au cas où.
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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Jeu 5 Fév - 16:15

Me voici pour une autre question!
Dans un exercice, je dois trouver la nature de ABC avec :
a = -1
b = 3i
c = 2 - i

J'ai fait la figure et je conjecture qu'il est rectangle isocèle.

J'avais procédé de la sorte :

(CA ; AB) = Arg ( b - a / a - c) = Arg(3i + 1) - Arg(-3 +i)

--> Problème, je ne trouve pas d'angles remarquables mais, je remarque que AC = AB car même module.

Donc, pourquoi ma méthode ne marche-t-elle pas vu que j'ai conjecturé que (CA ; AB) = Pi/2?






Dans les solutions ils font comme ceci :

AB(Vecteur) = b - a = 1 + 3i
AC = c - a = 3 - i

Ils ont le même module : Racine(10) donc : AB = AC

MAIS, pour prouver l'angle droit ils font ceci :

AB.AC = ( 1 * 3) + 3(-1) = 0 donc AB et AC sont orthogonaux donc angle droit en A.

Ca vient d'où le ( 1 * 3) + 3(-1)??

Merci
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Jeu 5 Fév - 16:22

Alors dans la correction, il font le produit scalaire et considère donc les affixes des deux vecteurs comme des couples réel (x,y) pour effectuer le produit scalaire.

Cependant, ta méthode est tout à fait juste, c'est le calcul qui est faux. En effet, l'angle (CA,AB) ne te donnera pas le fait que ton triagnle est rectangle en A.

En effet, l'angle A à l'orientation près c'est celui-ci: (AC,AB) ou celui-ci (AB,AC).

Ce que tu calculs à un lien avec cette angle là qui est celui-ci: (CA,AB)= (AC,AB) + ou - Pi

Attention à l'orientation des vecteurs dans les angles, je t'ai fait un dessin sur le sujet Wink.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Jeu 5 Fév - 18:25

En gros, si je veux prouver qu'un triangle ABC est rectangle en A, il faut que les deux vecteurs de l'angle partent de A.

Dans ton exemple, (AC ; AB) vaudra -Pi/2 et (AB ; AC) vaudra Pi/2 non?
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Jeu 5 Fév - 21:31

En fait ton soucis ne vient pas du tout des complexes mais d'une mauvaise assimilation des problèmes d'angles orientés.

Ce n'est pas une notion simple en soi, il faut l'avouer mais hélas elle devient capitale en complexe car on parle d'angle orienté très rapidement.

Alors je vais faire un résumer simple en tout cas je vais essayer de le faire mais surtout très clair sur le sujet des angle orienté en repartant d'un angle géométrique. En effet, jusqu'en troisième on ne parle que d'angle géométrique et lorsqu'on amène l'orientation des angles lorsqu'on parle du cercle trigonométrique, on voit l'orientation d'un angle géométrique en fait.

En effet, si je prend trois points du plan A, B et C, on peut parler de l'angle (ABC) et (CBA) et dire qu'ils sont égales sans problème lorsqu'on ne donne pas d'orientation. A partir de la fin de troisième et de la second, on va te dire, oui c'est bien mais maintenant sur le dessin, je vais dire que mes angles ont une orientation et qu'en fonction de l'orientation de la flèche sur le dessin, la mesure de mon angle ne sera pas la même.

Mais ici, on voit se dessiner les choses et on voit même très bien le problème théorique que cela pose. Et si on ne fait plus de dessin et qu'on dit que le sens direct sera compté pour + et le sens indirect sera compté pour -, qu'est-ce que cela entraine concrètement?

Et bien, on a plus besoin de dire l'orientation qu'on prend et on a plus besoin de faire de flèche ni de dessin tout simplement. Mais maintenant, je dit que je prend trois point, toujours les mêmes, comment va-t-on voir si (ABC) est un angle positif ou si c'est (CBA) vu qu'on ne fait plus de dessin ????

ET voilà, nous sommes face à un problème de conceptualisation d'une notion. Car on va dire cela vulgairement, tout le monde est capable de poser un rapporteur sur une figure et de dire l'angle qu'on considère et même de le dire de façon orienté si on lui apprend le sens mais le soucis c'est que si on ne fait plus de dessin et bien, on ne va plus savoir de quel angle on parle et de quel sens on va parler. On pourra me répondre:

"- Et bien qu'à cela ne tienne, on fera toujours des dessins et le tour est joué!"

Oui pourquoi pas mais comment dessinée un polygone à 100 côtés dont on nous aurait donnée que les angles ???? O encore, comment calculer un angle à partir d'autre angle du dessin qu'on connaît si la figure est beaucoup trop compliquée pour être dessinée??? On pourrait me dire qu'on a pas besoin de figures compliquée et comme ça on règle tout le problème Wink. Peut-être mais quand on regarde la tête de nos satellites, il n'ont pas l'air d'avoir une géométrie bien simple pour autant et ce n'est qu'un exemple. Donc pour cela, on a besoin de faire la différence entre deux angles et de façon clair et compréhensible par tous. Alors comment faire?

Et bien revenir à la base d'un angle, qu'est-ce que c'est?

On va dire vulgairement qu'un angle c'est une "ouverture" délimitée par deux droites. La terminologie est sans doute pas exact mais je pense que tu as compris l'image. Je prend deux droites sécante en un point et cela me forme un angle et là déjà, on a fait nue distinction car il y a en fait 4 angles. Mais on considère l'angle aigu lorsqu'on parle de cela.

Maintenant, comment repère-t-on une droite?

On voit entre la troisième et la second si mes souvenirs sont bons, la notion de vecteur directeur d'une droite dans un repère. Cela nous permet d'avoir la direction d'une droite à partir de son vecteur directeur qu'on considère unitaire c'est à dire de longueur 1 pour ne pas compliquer les choses.

Alors maintenant, on peut mixer les deux notions, on disant qu'un angle c'est "l'ouverture" entre deux vecteur directeur ramené au point d'intersection des deux droites. Pour faire simple, j'ai deux droites sécantes en O par exemple et je prend un vecteur directeur de chacune d'elle ayant pour origine le point O.
Continuons à faire simple, je dis que l'une de mes droites est dirigé par OA et l'autre par OB.

On voit jusqu'à maintenant que le point d'intersection joue un rôle prépondérant dans la notion de mon angle même si il est banale, il permet de fixer beaucoup les idées. Au point même d'ailleurs qu'on appelait jusqu'en troisième cette angle, l'angle O (avec un chapeau dessus) et qu'on pourrait appeler ici encore l'angle (AOB) ou encore l'angle (BOA) (ce n'est pas le même angle à partir du moment où on a mis une orientation mais jusque là nous n'en avons pas mis).

Maintenant, on va orienté notre plan et par conséquent parler de l'angle O n'a plus aucun sens et l'angle (AOB) et (BOA) ne sont plus les même angles.

Bon jusque là, j'espère être resté des plus clair et maintenant on va conclure la théorie de façon simple. En effet, on sait que la point de mon angle à une importance vu que même lorsqu'on orientait pas les angles celui-ci était déjà central. On sait aussi que mon angle est délimité par OA d'un côté et par OB de l'autre.

Donc la mesure de mon angle c'est en fait, le trajet que je vais faire pour passer de OA à OB par exemple. Et bien puisque c'est ça, nous allons simplement noter cette angle (OA,OB) et la mesure de celui-ci sera le trajet qui va de OA vers OB.


Maintenant, on constate de façon normalement aisé que pour mesurer un angle, cela va dépendre de l'orientation de mes vecteurs et de l'ordre d'apparition de ceux-ci dans les parenthèses. Si je change l'ordre d'apparition, je change juste le sens de parcoure en fait mais le point de base reste inchangé c'est toujours le point O. Par contre si je change le sens d'un des vecteurs, cela change tout car je ne sais lire des angles "qu'à partir d'un point d'intersection de deux droites", il va donc falloir prendre un nouveau représentant de mon vecteur de la droite en question et considérer ce nouvel angle.


Est-ce plus clair?

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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Mer 11 Fév - 13:39

Salut!
Désolé pour l'absence, je bossais en vue d'un devoir.
J'ai fait pas mal d'exercices sur les complexes et normalement, la notion d'angle ne pose plus de problèmes (ayant lu ton explication avant d'entamer les exos) mais, desfois, j'aime même l'impression que les livres se trompent dans la notation des angles et ça, ça a le don de semer le doute...
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MessageSujet: Re: Questions variées sur les complexes   Aujourd'hui à 16:31

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