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 DM de maths exercice sur les vecteurs

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Mymy13



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MessageSujet: DM de maths exercice sur les vecteurs   Sam 21 Fév - 19:03

Bonjour;
J'ai besoin d'un petit coup de main j'espère que vous pourrez m'aider...

Soit ABC un triangle.
Soit M le milieu de [BC] et J le point vérifiant l'égalité: vecteur AJ = (1/5)*AC
Soit D le point vérifiant l'égalité (1): 2*BD + 3 CD = 8*AB


1) Faire la figure avec AB = 7cm et AC = 5 cm

2) En utilisant la relation de Chasles et des égalités vectorielles concernant les point M et J; montrer que:

vecteur MJ = - 1/2 du vecteur AB - 3/10 du vecteur AC

3) déterminer le réel k tel que: vecteur MJ = k*BD

Que peut-on en deduire pour les vecteurs BD et MJ ? et pour les droite (BD) et (MJ) ?

Alors voilà j'ai beaucoup de mal pour la figure mais je pense que se sera difficile d'expliquer sur internet donc je me débrouillerai en revanche la question 2 je n'arrive pas du tout je ne vois pas comment il faut procéder :s ...[/b]
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: DM de maths exercice sur les vecteurs   Sam 21 Fév - 20:46

Bonsoir et bienvenue parmi nous Mymy13!

Alors pour faire la figure, il s'agit de comprendre comment se servir des relations vectorielles qu'on nous donne en fait:

AJ = (1/5)*AC
2*BD + 3*CD = 8*AB


La première relation, nous dit que J est tel que AJ=(1/5)*AC (relation sur les distance vu qu'on met les vecteurs en gras en fait)
De plus, A, J et C sont alignés car l'égalité vectoriel nous dit que les deux vecteurs sont colinéaires et vu qu'ils contiennent tous les deux le point A cela nous donne l'alignement des trois points.
Enfin, AJ et AC ont le même sens c'est à dire que J et C sont tous les deux du même côté de A.

Avec cette analyse et la valeur de la longueur AC, tu peux donc placer le point J normalement et sinon n'hésite pas à demander plus d'explication.


Pour la deuxième relation 2*BD + 3*CD = 8*AB c'est un peu plus complexe de placer le point D car il intervient dans deux vecteurs. Alors pour cela, on va le faire intervenir seulement dans un seul vecteur. Et pour se faire, on va utiliser le relation de Chasles dans les vecteurs BD et CD en faisant intervenir le point A ce qui nous donne:

2*(BA+AD) + 3*(CA+AD) = 8*AB

Donc 2*BA + 2*AD + 3*CA + 3*AD = 8*AB

D'où 5*AD = 8*AB - 2*BA - 3*CA (j'ai additionné les vecteur AD et j'ai passer tous les autres vecteurs à droite en changeant le signe)

Donc 5*AD = 8*AB + 2*AB + 3*AC (j'utilise le fait que pour tout vecteur MN, -MN=NM)

En conclusion, AD = (10/5)*AB + (3/5)*AC (j'ai additionné les deux vecteur AB et j'ai divisé tout par 5)

Cela signifie que AD est la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés sont 2*AB et (3/5)*AC tout simplement.

En espérant que ceci éclaircira la construction de la figure et sinon n'hésite surtout pas à demander des précisions.



Sinon, pour la question 2), on te demande de démontrer une égalité vectorielle. Tu as donc le droit de partir du côté que tu souhaite pour montrer qu'il est égale à l'autre côté. On ne sait pas dire grand chose de MJ au premier abord, alors essayons de partir du membre de droite et de montrer qu'il est égale au membre de gauche.

On sait déjà d'après l'énoncer que AJ=(1/5)*AC

On va donc partir de MJ et on va essayer d'arriver à la partie droite de cette égalité en utilisant la relation de Chasles en faisant intervenir dans un premier temps le point A par exemple.

On obtient donc: MJ=MA + AJ
Or AJ=(1/5)*AC

Donc MJ= MA + (1/5)*AC

On a donc mis en évidence AC et on a utilisé la propriété du point J, il nous reste donc d'après la question à utiliser la propriété du point M (qui est le milieu de [BC]) et à faire intervenir AB.

Pour cela, il faut donc utiliser la relation de Chasles sur le vecteur MA pour faire intervenir le point B vu qu'on connaît une relation entre MB et BC (attention au sens des vecteurs) et qu'on pourra ensuite faire intervenir le point A dans le vecteur BC pour obtenir que des vecteur AC ou AB et il nous restera plus qu'à faire des additions de vecteurs.

Voilà la trame qu'il faut utiliser pour cette question. Je te laisse entamer les calculs et si cela bloque n'hésite pas à les écrire pour que je puisse voir où cela bloque et t'aider à avancer au fur et à mesure.

Bon courage!

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: DM de maths exercice sur les vecteurs   Dim 19 Avr - 17:49

Bonsoir,

Un exercice de géométrie mettant en évidence des caractérisations vectorielles voilà en gros sur quoi repose cette exercice. La difficulté est toujours de savoir comment démarrer dans ce genre d'exercice.

Alors en fait, il faut commencer par répertorier ce que nous dit l'énoncer et l'utiliser un maximum en fonction de ce qu'on cherche. Je rappelle ici le moyen de construire la figure à partir des données:

Citation :
AJ = (1/5)*AC
2*BD + 3*CD = 8*AB


La première relation, nous dit que J est tel que AJ=(1/5)*AC (relation sur les distance vu qu'on met les vecteurs en gras en fait)
De plus, A, J et C sont alignés car l'égalité vectoriel nous dit que les deux vecteurs sont colinéaires et vu qu'ils contiennent tous les deux le point A cela nous donne l'alignement des trois points.
Enfin, AJ et AC ont le même sens c'est à dire que J et C sont tous les deux du même côté de A.

Avec cette analyse et la valeur de la longueur AC, on peut donc placer le point J normalement


Pour la deuxième relation 2*BD + 3*CD = 8*AB c'est un peu plus complexe de placer le point D car il intervient dans deux vecteurs. Alors pour cela, on va le faire intervenir seulement dans un seul vecteur. Et pour se faire, on va utiliser le relation de Chasles dans les vecteurs BD et CD en faisant intervenir le point A ce qui nous donne:

2*(BA+AD) + 3*(CA+AD) = 8*AB

Donc 2*BA + 2*AD + 3*CA + 3*AD = 8*AB

D'où 5*AD = 8*AB - 2*BA - 3*CA (j'ai additionné les vecteur AD et j'ai passé tous les autres vecteurs à droite en changeant le signe)

Donc 5*AD = 8*AB + 2*AB + 3*AC (j'utilise le fait que pour tout vecteur MN, -MN=NM)

En conclusion, AD = 2*AB + (3/5)*AC (j'ai additionné les deux vecteur AB et j'ai divisé tout par 5)

Cela signifie que AD est la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés sont 2*AB et (3/5)*AC tout simplement.


Pour la question 2), on a dit que le but était de partir d'un côté et de faire intervenir les relations qu'on nous donne dans l'énoncer. Alors allons-y:

MJ= MA+AJ par relation de Chasles

Or AJ=(1/5)*AC par hypothèse

Donc MJ=MA+(1/5)*AC

Or MA=MB+BA par relation de Chasles et MB=(1/2)*CB car M est le milieu de [BC] par hypothèse

Donc MJ=(1/2)*CB+BA+(1/5)*AC

Or CB=CA+AB par relation de Chasles

Donc MJ=(1/2)*(CA+AB)+BA+(1/5)*AC
D'où MJ=(-1/2)*AC+(1/2)*AB-AB+(1/5)*AC (car -MN=NM)

Conclusion: MJ=(-1/2)*AB+(-3/10)*AC


3) Pour cette question, on doit utiliser la question qu'on vient de faire c'est une évidence mais encore faut-il en être convaincu. En effet, on a exprimé MJ en fonction des vecteur AB et AC. Or d'après l'énoncer et les calcul fait pour effectuer le tracer de la figure, on a aussi une expression de AD en fonction de AB et de AC. Nous sommes donc dans de bonne condition pour trouver un réel k qui satisfasse notre égalité vectorielle.

On a d'après la question 2), MJ=(-1/2)*AB+(-3/10)*AC
Et d'après la question 1), AD = 2*AB + (3/5)*AC

Or AD=AB+BD

Donc notre deuxième relation devient: AB+BD = 2*AB + (3/5)*AC
C'est à dire BD = 2*AB + (3/5)*AC-AB

Conclusion: BD = AB+(3/5)*AC

Et on constate rapidement que: (-1/2)*BD=(-1/2)*AB+(-3/10)*AC=MJ

Conclusion: MJ=(-1/2)*BD


On en déduit que les vecteurs sont colinéaires et que l'un mesure la moitié de l'autre. De plus, par définition d'un vecteur (direction, longueur, sens) l'égalité vectorielle permet de dire que (BD)//(MJ) ce qui conclut ce question et cette exercice.


Bonne continuation @toutes et tous!

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