Exercice fini sur les similitudes directes!

Salut!
Ici, j'aurais juste besoin d'une vérification pour un exercice que je ENTIEREMENT réussi sur les similitudes directes!

Voici l'énoncé :


Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, on considère la transformation s d'équation complexe :


a) Quelle est la nature de cette transformation?
b) Calculer son rapport k et son angle Alpha.
c) Déterminer l'affixe de son centre Omega.
d) Comment construit-on l'image d'un point? (faire un dessin)



Voici mes réponses :


a) Cette transformation est une similitude directe car, elle est sous la forme : z' = az + b .

b) Calcul du rapport k :

--> k = |a| avec a = 1 + iRacine(3)
k = | 1 + iRacine(3)| = Racine( 1² + (Racine(3))² ) = Racine(1 + 3) = Racine(4) = 2.

Le rapport k sera égal à 2


Calcul de l'angle Alpha :

--> Angle Alpha = Arg(a) = Arg(2)

cos(Alpha) = x/r = 1/2
sin(Apha) = y/r = Racine(3)/2

Donc Alpha = Pi/3


c) Omega est le centre de la transformation s donc, point fixe donc, d'équation z = z'.

z = z'
z = [ 1 + iRacine(3) ]z + Racine(3) - iRacine(3)
z = z + iRacine(3)z + Racine(3) - iRacine(3)
z - z - iRacine(3)z = Racine(3) - iRacine(3)
-iRacine(3)z = Racine(3) - iRacine(3)
z = [ Racine(3) - iRacine(3) ] / (-iRacine(3))
z = [( Racine(3) - iRacine(3) ) * iRacine(3)] / [ -iRacine(3) * iRacine(3) ]
z = (3i + 3) / 3 = 1 + i


d) Ici, je fais le dessin



Normalement, tout est bon mais, sait-on jamais...

Merci d'avance!

Bonsoir,

C'est tout à fait juste en effet! Il n'y a pas grand chose à redire mis à part que:

Citation :

Arg(a) = Arg(2)

Je pense qu'il y a eu un bug car a=1+i*Racine(3) et non 2.

Donc soit tu voulais mettre que |a|=2 donc on a Cos(Alpha)= ...
Soit tu voulais mettre Arg(a)=Arg(1+i*Racine(3)

Sinon, un petit truc pour gagner du temps. Essaie de regarder tes calculs et de prendre un brin de recul de temps en temps cas la simplification par Racine(3) à la fin du calcul de l'affixe du centre juste avant de multiplier par le conjugué est tout de même flagrante et te permet de gagner une ligne de calcul et d'éviter les erreurs sur les racines au cas où. Mais ton calcul est juste donc autant ne profiter après tout .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Voici mes réponses :


a) Cette transformation est une similitude directe car, elle est sous la forme : z' = az + b .

b) Calcul du rapport k :

--> k = |a| avec a = 1 + iRacine(3)
k = | 1 + iRacine(3)| = Racine( 1² + (Racine(3))² ) = Racine(1 + 3) = Racine(4) = 2.

Le rapport k sera égal à 2


Calcul de l'angle Alpha :

--> Angle Alpha = Arg(a) = Arg(1 + iRacine(3))

cos(Alpha) = x/r = 1/2
sin(Apha) = y/r = Racine(3)/2

Donc Alpha = Pi/3


c) Omega est le centre de la transformation s donc, point fixe donc, d'équation z = z'.

z = z'
z = [ 1 + iRacine(3) ]z + Racine(3) - iRacine(3)
z = z + iRacine(3)z + Racine(3) - iRacine(3)
z - z - iRacine(3)z = Racine(3) - iRacine(3)
-iRacine(3)z = Racine(3) - iRacine(3)
z = [ Racine(3) - iRacine(3) ] / (-iRacine(3))
z = [( Racine(3) - iRacine(3) ) * iRacine(3)] / [ -iRacine(3) * iRacine(3) ]
z = (3i + 3) / 3 = 1 + i


Et maintenant c'est parfait!
Merci d'avoir vérifié!

d) Ici, je fais le dessin

Désolé de reprendre cet exo mais, pour la figure finale, j'ai hésité sur la minère de la réaliser...

Je m'explique : on me dit :

"Comment construit-on l'image d'un point?"



J'ai fait un triangle ABC.
On a un rapport k=2 donc, je reporte AB 2 fois donc, A est milieu du segment [B'B].
A partir de B', je trace un cercle et, je prends un angle de Pi/3.

C'est bien cela?

Pourquoi fais-tu un triangle?

Pour répondre à la question d), il faut simplement dire ce que fait concrètement la similitude. Pour cela, tu as une seule chose à placer sur ta figure c'est le centre de ta similitude et c'est tout.

En effet, si j'appelle Ω le centre de ma similitude.

Donc si je prend un point M du plan et que je cherche son image par ma similitude d'angle Pi/3 et de rapport 2. J'appelle M' cette image.

On sait donc que ΩM'/ΩM=2 et (ΩM,ΩM')=Pi/3

A partir de là, tu fais les tracer dans le sens que tu veux c'est à dire rotation d'abord et multiplication des longueur ensuite ou multiplication des longueurs et rotation ensuite.

D'ailleurs, de façon anecdotique, la construction peut se faire totalement au compas à partir du moment où le point Ω est placé mais bon faire des angle de 60° que au compas, il y a de quoi s'amuser un peu tout de même .

Bon courage pour la suite!

Ah c'est bon j'ai compris .
Merci beaucoup ^^