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 Approximation de π par la méthode d'Archimède

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MessageSujet: Approximation de π par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 15:27

Bonjour, voici l'exercice sur lequel je bloque:

Un cercle de rayon 1 a un demi-périmètre égal à π.

Etape 1:



On utilise les lignes brisées régulières à 3 côtés (en rouge et en vert).
a) Calculer la longueur S1 de la ligne rouge et la longueur T1 de la ligne verte.
b) En déduire que 3 < π < 2√3.

J'ai trouvé que S1=3 en utilisant une méthode "basique" (et j'ai re-testé avec une d'Al-Kashi).

Pour la ligne verte T1, j'ai utilisé la méthode d'Al-Kashi (ou ses dérivées?), je fais donc :
côté= 2 tan (π/3)
= 2 x (√3)/2 x (2/1)
= 2 √3.
Ca donnerait donc T1= 3x 2 √3= 6 √3.
Mais d'apres le b), on voit que toute la ligne verte T1 est égale à 2 √3, et non pas un seul de ses côtés.
Mais je ne vois pas où j'ai fait une erreur...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 17:25

Bonsoir,

Il faut faire attention lorsqu'on applique une formule car la formule d'Al-Kashi c'est c²=a²+b²-2*a*b*Cos(A) et les autre formule s'en déduise au niveau des longueurs.

Alors autant ne connaître que celle-ci et faire avec pour les autres (on peut aussi connaître la formule des sinus aussi mais bon elle se déduit assez simplement à partir du calcul d'aire).

A partir de là, pour la longueur S1 la formule d'Al-Kashi nous donne (C'B')²=1²+1² - 2*1*1*Cos(Pi/3)=2-2*(1/2)=1 donc C'B'=1 et on constate qu'on passe d'un triangle à un autre par rotation d'angle Pi/3 et comme la rotation conserve les distances, on a bien S1=3.

L'autre méthode plus classique était d'utiliser le fait que OC'B' est isocèle avec pour valeur de l'angle (C'OB')=60° et par conséquent, le triangle est équilatéral. Conclusion C'B'=OC'=1.

Ce que tu avais très bien trouver d'ailleurs. Je rappelle juste les méthode pour plus de clarté tout simplement.


Pour l'autre longueur T1, il s'agit de ne pas se planter dans l'angle de la formule que tu utilises. D'ù l'utilité de connaître d'où elle vient car en fait elle est assez simple a démontrer donc autant ne pas l'utiliser brut de décoffrage.

Si j'appelle I le projeté de O sur la droite (BC). On a par construction, (CB) orthogonale à (OI) et (C'B') orthogonale à (OI).

Conclusion, (C'B') //(CB)
De plus, C,C' et O sont alignés et de même pour O, B' et B.

Donc par le théorème de Thalès, nous avons, OC/OC' = OB/OB' = BC/B'C'
Or OB'=OC'=B'C'=1 (d'après ce qu'on a vu plus haut)

Donc OC=OB=BC => OCB est un triangle équilatéral.
Or (OI) est la hauteur issue de O
Donc (OI) est la médiatrice de [CB]
D'où I est le milieu de [CB]

Conclusion, CB=(1/2)*IB et OBI est rectangle en I

Donc Tan(IOB)=IB/IO

Or OI=1, IOB=Pi/6 et IB=(1/2)*BC

Donc (1/2)*BC=Tan(Pi/6)

D'où BC=2*Tan(Pi/6) (et non tangente de Pi/3)

Cela se redémontre assez rapidement en complétant le dessin et cela peut éviter des erreurs de mémoires au niveau des formules. Et d'ailleurs ici les formules d'Al-Kashi n'interviennent pas pour ce calcul.

Je te laisse finir ton calcul et constater qu'on trouve bien ce qu'on voulait trouver en rapport avec la question b).

Je tiens tout de mêm à dire que ta réflexion était assez judicieuse et le jours du bac si tu es confronté à ce genre d'aberration c'est à dire que tu trouve un résultat qui n'est pas cohérent avec la suite de ton exercice. Et bien, tu laisse ton résultat pour montrer que tu as tout de même chercher mais tu ajoute une phrase du style "il y a une incohérence avec la question suivante, j'admets donc le résultat de l'énoncer pour la suite.". Cela peut paraître idiot mais l'honnêteté paie dans une copie et savoir voir ces erreurs est valorisé dans le sens que le correcteur verra que tu comprends ce que tu fais et que tu es capable d'avoir du recule par rapport à tes résultats. Cela entraînera peut-être une indulgence pour une question tangente dans le suite du problème alors que le bluff sera sévèrement réprimandé et le correcteur s'énervera pour la suite ce qui n'est pas souhaitable Wink.

En espérant que cela débloquera ton problème mais surtout te permettra de voir d'où vient ta formule avec la tangente pour ne plus refaire l'erreur que tu as faite.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 19:00

Merci pour l'explication, je comprends mieux l'origine de la formule Smile
Par contre, en continuant le calcul je tombe encore sur le même résultat incohérent :S
BC=2*Tan(π/6)
=2*(√3/2)*(2/1)
=2*(√3/1)
=2√3.

?
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 19:51

L'erreur est dû à tes formule de trigonométrie ma chère Wink.

Tan(Pi/6)= Sin(Pi/6) / Cos(Pi/6)

Sin(Pi/6)=1/2 et Cos(Pi/6)=√3/2

Pour ne pas se tromper, il suffit de faire un cercle trigonométrique à main lever et d'y mettre l'angle Pi/6. Il s'agit d'un angle donc de 30° et il a un cosinus qui se rapproche de 1 et par conséquent, il s'agit bien de √3/2 et non de 1/2 qui est le cosinus de Pi/3.

Je te laisse reprendre les calculs et constater que cette fois-ci c'est juste.

Quelques révisions sur les angles remarquables à prévoir peut-être. C'est rapide et ça ne fait jamais de mal de faire quelque chose de facil pour se détendre des choses plus complexe qu'on peut voir dans le programme de Terminale, ça fait une coupure et c'est toujours bon de se remettre dans le bain et c'est jamais perdu.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 21:24

Ah mais j'ai pas recopié mon bon bout de feuille en fait! --'
Comme j'avais pas simplifié le résultat, je pensais ne pas tomber sur le bon, et en recopiant: entre un résultat bizarre et un autre résultat bizarre, j'ai pas fait attention j'ai refait le calcul pour un angle de π/3 ...
BC= 2*tan π/6
=2*(1/2)*(2/√3)
=2*(1/√3)

Donc T1=3*(2/√3)
=(6√3)/3
=2√3.
Fiou, ça, c'est fait. Merci bien.

Après, il y a une autre question que je ne sais pas traiter...

2)Algorithme.
A l'étape 2, les lignes brisées régulières inscrite et circonscrite ont 6 côtés, à l'étape 3, elles ont 12 côtés, et ainsi de suite. A chaque étape, on double le nombre de côtés des lignes brisées régulières inscrite et circonscrite. Combien chaque ligne a-t-elle de côtés à l'étape n (avec n entier, n ≥1) ?

On constate qu'à l'étape n, il y a 2 fois le nombre de côtés d'à l'étape n-1, mais je suppose qu'il faut mettre ça sous forme de suite et je ne sais pas comment l'écrire.
Celle qui vient à l'esprit est Un=2*Un-1, mais j'ai l'impression que c'est confus comme formule, et ça parait bizarre de la trouver aussi rapidemment, à moins que la difficulté soit dans la justification...
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 21:54

Pas de soucis pour le calcul, le principale est d'arriver au bout et que tu sache faire pour moi.

Alors soyons méthodique et regardons le titre de ton propre sujet qui est aussi le titre de l'exercice:

"Approximation de π par la méthode d'Archimède"

Le nom de la méthode m'importe peu et toi aussi vu qu'on ne connaît pas la méthode mais le truc important c'est "Approximation du nombre π"

On constate que dans notre première question, on a un encadrement assez grossier de ce nombre ci qui est donc compris entre 3 et 2*√3 qui vaut approximativement 3.464

Nous sommes loin du 3.141592.... mais l'encadrement est tout de même juste et donne un ordre d'idée assez interssant.

Maintenant, réfléchissons comme aurait pu le faire Archi!mède à son époque. Nous avons découpé notre demi-cercle en trois quartier égaux et en rejoingant les point on a donc une ligne brisée en 3 morceaux à l'intéerieure. Et à l'extérieur on a pris les lignes tangentes et il y a aussi une découpe en trois partie égales.

Maintenant, on voit que si on double le nombre de découpage, genre en 6 parties, on aura des ligne qui seront beaucoup plus proche de notre demi-cercle aussi bien à l'extérieur de celui-ci qu'à l'intérieur. Et ainsui de suite, on voit que les segments seront de plus en plus court et de plus en plus proche de notre arc de cercle et à l'infini elle finisse par se confondre avec le cercle ce qui nous donnerait donc la valeur de π.

Elle s'agit d'une réflexion naïve pour comprendre le raisonnement. Mais en gros Archimède se dit "Mais attendez un peu, si j'augmente le nombre de segmetn, je vais approcher le cercle de plus en plus et par conséquent à l'infini c'est à dire n prenant une limite, nous allons sans doute avoir une excellente approximation de π voire une exactitude du nombre π".

Les bases sont lancé le soucis c'est que concrètement, on sent bien que tout va bien s'enchaîner mais un matheux reste un matheux et manque de chance tout ce qui ne se démontre pas reste ans le domaine del a conjecture et de l'hypothèse. Manque de chance pour nous et l'exercice le confirme, notre cher Archimède nous dit qu'on a pas plus bête qu'un autre et qu'on est capable et lui aussi de démontrer rigoureusement que notre hyptohèse est juste. Par conséquent, il va falloir transformer ou plutôt expliciter mathématiquement toutes nos hypothèses.

La machine est lancé et on voit où on veut aller et par quels moyen? Une énigme mathématique vieille de quelques années (c'est un euphémisme Wink) est à notre porté et on va devoir la résoudre!! Par le choix Archimède compte sur nous pour conclure que sa méthode marche. Heureusement d'ailleurs car si on trouvel e contraire, on a de quoi le faire retourner dans sa tombe le pauvre.

Passons au décodage dont tu avais un feeling assez bon mis à part que tu manque un brin de confiance en toi Wink:

A chaque étape, on double le nombre de côtés des lignes brisées régulières inscrite et circonscrite

Un+1 (étape suivante)=2*Un (on double le nombre de ligne brisée)

Et à l'étape 1, on avait 3lignes brisées

Conclusion, c'est une suite qui vérifie: U1=3 et Un+1=2*Un

Je te laisse conclure sur la nature de notre suite et l'explicitation de celle-ci en fonction de n.

J'espère avoir rendu un peu plus amusant cette résolution et avoir donné un peu plus de concret au problème devant nous et qui fut devant Archimède aussi. L'approximation de Pi est toujours un sujet passionant car cela montre qu'on est capable de l'approché au plus près et qu'il ne s'agit pas d'un nombre inventé de toute pièce qu'on apprend bêtement comme étant 3.1415.... Smile.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:13

Oui c'était effectivement plus original et concret comme explication Smile
Je ne vois pas ce que voux attendez en fait par "la nature de notre suite et l'explicitation de celle-ci en fonction de n".
Par "nature", je pense au fait qu'elle soit géométrique de raison 2... est-ce ce qui est demandé?
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:16

C'est tout à fait ça!

Les mathématiques ne sont pas que des choses complexes Smile.

Notre suite (Un) qui représente le nombre de lignes brisées est bien une suite géométrique de raison 2 et de premier terme U1=3 (attention on ne démarre pas à 0 Wink).

Conclusion, "Un=?" en fonction de n?

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:37

Euh non honnetement je vois pas Shocked
Je dois avoir du n dans la formule? du Un ça suffit pas?
Et ça se trouve directement, ou c'est "tout un acheminement"?
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:40

Fais simple!

La réponse est une évidence à tomber parterre et tu l'as utilisé à outrance l'année dernière.

Ce qu'on cherche à faire c'est une mise en équation de notre problème tout simplement et les questions ne sont pas pour autant compliqués même si le problème de base l'est.

Ici, on sait que (Un) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme U1=3

Conclusion, Un= ?

Quelle est la forme d'une suite géométrique en fonction de sa raison et de son premier terme, en gros c'est ça la question Smile. Avec la petite subtilité qu'on ne commence pas à U0 mais à U1.

Archimède, son autre truc c'était l'eau et sa fameuse poussée, alors il n'a pas inventé la poudre Wink.

Laisse-toi guidé par ton intuition même si la réponse te paraît évidente Smile.

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:56

Un=U1*qn-1 ?
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 22:59

C'est tout à fait ça !!! Fais-toi confiance, tu es douée, suffit juste d'avoir confiance Smile.

Ce qui donne Un=3*2n-1

Vu que Un est le nombre de côtés à l'étape n, la réponse est immédiate, ily a ? côtés!

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 23:12

A l'étape n, il y a 3*2n-1 côtés.

Pfiou, merci pour tout , et pour cette patience Very Happy
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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Dim 1 Mar - 23:15

Nikel!

J'imagine que par la suite, on va te demander de recalculer la longueur de la ligne brisée. Il faut que tu t'inspire de ce qu'on a déjà fait c'est juste l'angle qui change à chaque fois en fait vu que plus il y a de côtés et plus l'angle est petit à chaque fois. Mais si ton exercice s'arrête là, on pourra aller plus loin pour voir ce qu'Archimède à fait pour en arriver à une approximation intéressante de Pi.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Approximation de &#960; par la méthode d'Archimède   Aujourd'hui à 4:06

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