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 Intégrale avec changement de variable

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Noémie



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MessageSujet: Intégrale avec changement de variable   Mer 1 Avr - 10:51

Bonjour à tous!

Je n'ai pas compris comment on effectuait un changement de variable pour les intégrales!! Voici l'énoncé de l'exercice:

1. Déterminer les réels a,b et c tels que pour tout u différent de 1/2: (u²-1)/(2u-1)=au+b+c/(2u-1)

Alors j'ai développé et par identification des polynômes, j'ai trouvé:
a=1/2
b=1/4
c=-3/4
Ce qui donne: au+b+c/(2u-1)=(1/2)u+(1/4)-[(3)/(8u-4)]


2. Calculer intégrale de -1 à 0 de [(x²-1)/(2x-1)]dx

En posant x=u, d'après la question précédente:
Intégrale de -1 à 0 de [(1/2)x+(1/4)-(3/(8x-4))]dx
[(1/4)x²+(1/4)x-3ln(8x-4)+C] de -1 à 0 avec C=constante
-3ln(-4)-(1/4)+(1/4)+3ln(-12)+C-C
3ln3


3. En effectuant un changement de variable approprié et en se servant des questions précédentes, calculer intégrale de -Pi/6 à 0 de [((cos^3)x)/(1-2sinx)]dx

Et là, je sais pas comment faire! Alors merci d'avance!! Smile
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Mer 1 Avr - 16:55

Bonsoir,

Il s'agit d'une question très intéressante car les changement de variable ne sont pas quelque chose de simple à maîtriser.

Par contre, je vais faire un rappel qui risque de t'être utile pour le reste de tes études au niveau du calcul intégrale:

Lorsqu'on a une intégrale du type I=∫[a,b] f(x) dx, il faut absolument comprendre que x ici est une variable complètement muette.

C'est à dire que dans mion exemple, I=∫[a,b] f(x) dx=∫[a,b] f(t) dt=∫[a,b] f(u) du= ......

On ne parle donc pas de changement de variable lorqu'on change le nom d'une variable, en fait. Car on change ici seulement le "nom" de notre variable d'intégration mais on ne change pas la "nature" de notre variable d'intégration.

Par contre, si je pose x=α*t+β par exemple, et bien ici on dit qu'on fait un changement de variable affine. Pourquoi affine? Car x=α*t+β est l'équation d'une droite affine. Donc au lieu de considérer notre fonction f sur l'intervalle [a,b], par ce changement de variable affine, on considérera une fonction t|->f(α*t+β) sur l'intervalle [α*a+β, α*b+β].

Le but d'un changement de variable est de pouvoir arriver à une fonction dont on connaît la primitive et ainsi pouvoir intégrer.

Cependant, il y a plusieurs moyen pour calculer une intégrale. Je viens d'accentuer la méthode par changement de variable ou la méthode directe par primitive si on l'a connaît. Cependant, il y a aussi la méthode de linéarisation ou par intégration par partie.

Alors la méthode par intégration par partie est souvent utiliser lorsqu'on a des puissances à faire descendre sous l'intégrale comme par exemple des fonction du type: P(x)*ex avec P un polynôme. On imagine bien qu'en faisant une intégration par partie en prenant u(x)=P(x) et v'(x)=ex, on va faire descendre le degré de notre polynôme jusqu'à ce qu'il ne soit plus que de degré 0. Cette méthode est aussi utilisée pour mettre en évidence des récurrences lorsqu'on a des intégrales qui dépendent d'un paramètre entier n.

Enfin, la méthode par linéarisation est la première à essayer avant toutes les autres. Elle arrive à la fin dans mon message car c'est celle qu'on utilise dans ton exercice tout simplement. Alors qu'est-ce que cela signifie concrètement?

Et bien, on cherche à changer la forme de notre fonction pour faire apparaître des fonctions dont on connaît la primitive. Alors, pour les fonction rationnelle c'est à dire des quotients de deux polynômes, il s'agit de faire une décomposition en éléments simples ce qui est fait par la question 1) de ton exercice. Car ainsi, on se ramène à intégrer des fontion du type 1/Xn ou des fonction polynôme.

Il faut aussi penser à la linéarisation pour les puissances de Cos ou de Sin. La méthode n'est pas universelle car il y a des fois où on trouve plus simple et ou cette méthode n'aboutit pas. Cependant, savoir que Cos²(x)=[Cos(2x)-1]/2 et que Sin²(x)=[1-Cos(2x)]/2 peut avoir des intérêts non négligeables.


Après, chaque exercice est différent, le but est donc d'avoir des méthodes de base assez claires en tête lorsqu'on commence le clacul d'une intégrale pour éviter de chercher pendant des heures celle qui va marcher. Je pense par exemple au changement de variable du type x=Cos(t) lorsqu'on a à intégrer la fonction x|->Racine(1-x²).


Revenons à ton exercice. Ta première question est tout à fait juste. Par contre, on ne parle pas de développement mais plutôt de mise au même dénominateur à moins que tu trouves l'astuce directement à partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite mais ce n'est pas un développement pour autant.

Pour la deuxième, il n'y a pas de changement de variable car x ou u sont des variables muettes donc leur nom n'importe pas. Tu pourrais les appeler cuicui si tu veux ça ne serait pas un soucis car on donne un nom pour fixer les idées tout simplement. Par contre d'après la question 1), on a une décomposition en élément simple de f(x).

Alors tu effectues ton calcul qui commence plutôt bien sauf que tu as voulu trop en faire. En effet, la constante C n'est pas utile lorsqu'on calcule une intégrale. Pourquoi? car on effectue la différence entre deux points et par conséquent, les constantes ne rentrent pas en jeu dans ces calculs. Par conséquent, lorsque tu effectues le calcul d'une intégrale tu peux directement mettre C=0 car la différence la rendra nulle dans tous les cas et tu l'as constaté par toi même dans tes calculs.

Par contre, tu fais une erreur dans ton calcul de primitive pour la fraction. En effet, 3/(8x-4) n'admet pas 3*Ln(8x-4) sur l'intervalle [-1,0]. Car 8*0-4=-4 et le logarithme d'une valeur négative n'existe pas. Il faut faire très attention à la manipulation du logarithme lorsqu'on calcule une primitive en effet la véritable primitive de 1/x sur ]-Inf,0[ est Ln(-x) par exemple. alors comment ne pas se planter?

Et bien, il faut ABSOLUMENT mettre les valeurs absolues lorsqu'on calcule une primitive d'une fonction de la fonction 1/X et après on regarde sur quel intervalle on intègre et on enlève les valeurs absolues en fonction du signe. Il arrive parfois, qu'il fasse couper l'intervalle d'intégration en deux pour pouvoir effectuer les calculs.

Donc ici, dans le doute, on écrirait: 3*Ln(|8x-4|), on constate que 8x-4 est strictement négatif sur [-1,0]. Donc la primitive serait 3*Ln(4-8x). Le soucis est que cette primitive n'est pas encore juste! En effet, tu t'es trompée dans la constante devant le logarithme.

La primitive de a/(bx+c) est (a/b)*Ln(|bx+c|).

J'espère que cela sera plus clair maintenant pour ce genre d'intégrale. Mais s'il y a des questions, n'hésite surtout pas car il faut vraiment savoir faire ce genre de manipulation et de raisonnement.

Pour la dernière question, il faut se ramener à la question 2) vu comment est écrit l'exercice, on s'en doute un peu. Alors maintenant quel changement de variable va pouvoir nous amener vers la fonction (u²-1)/(2u-1)? C'est une bonne question.

Et bien la première chose à voir c'est que le dénominateur a sensiblement la bonne forme. En effet, on a 1-2*Sin(x) que je peux aussi écrire -(2*Sin(x)-1). A partir de là, on peut toujours essayer un changement de variable u=Sin(x) cela semblerait cohérent.

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Mer 22 Juil - 15:35, édité 1 fois
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Noémie



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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Jeu 2 Avr - 12:56

Ok! Merci pour les explications! Smile
Je ne note pas l'intégrale pour l'instant, on a donc:

[Cos^3(x)]/(1-2Sinx)=(Cos²x*Cosx)/[-(2Sin(x)-1)]
=[(1-Sin²x)*Cosx]/[-(2Sin(x)-1)]
=[-(Sin²x-1)*Cosx]/[-(2Sin(x)-1)]

En posant u=Sinx,
[Cos^3(x)]/(1-2Sinx)=[(u²-1)*Cosx]/(2u-1)

Mais le Cos(x) est gênant, nan? Je n'arrive pas à l'enlever! Comment faire? confused
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Jeu 2 Avr - 13:58

Bonjour,

Tes calculs vont dans le bon sens et tu as su transformer le numérateur comme il le fallait pour faire apparaître ce qu'on cherchait. Mais le soucis réside dans le Cos(x) qui reste tout seul, perdu voire désespéré Wink.

Alors comment s'en débarrasser?

En oubliant pas comment on effectue un changement de variable. En effet, on "pose" u=Sin(x) ce qui revient en fait à définir une bijection entre deux ensemble et qui à x associe Sin(x) (la fonction dans ton exemple va de ]-Pi/6;0[ à ]-1/2;0[, ne pas oublier le changement des bornes de l 'intervalle en passant !!). Après, il y a aussi une autre partie qui rentre dans le changement de variable: le changement de la différentielle "dx" car nous allons par changement de variable intégrer en "du" en posant u=Sin(x). Il ne faut donc pas oublier le fait qu'il faille dérivée formellement cette égalité "u=Sin(x)" ce qui donne du=Cos(x)*dx. Du coup le Cos(x) a vraiment son importance et heureusement qu'il est là sinon, on devrait l'ajouter ce qui serait gênant.

Est-ce plus clair au niveau du principe sur le changement de variable?

Sinon, est-ce que c'était plus clair au niveau de l'intégration avec le logarithme népérien? Car c'est vraiment important d'éviter cette erreur là car les équation différentielle par exemple sont très demandeuse de réflexion de ce genre (c'est pour celà qu'on considère la fonction y(t) positive lorsqu'on résout formellement une équa-diff en considérant y'/y=a car ça s'intègre bien en Ln(y)=ax car y est strictement positif, ça explique cette approche là en tout cas).

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Ven 3 Avr - 12:27

Bonjour!

Alors encore merci pour tes explications! J'ai tout compris et l'exercice m'a vraiment paru facile après! Laughing

Donc en reprenant où je m'étais arrêtée et en notant u=Sinx donc du=Cos(x)dx, on a:

[Cos^(3)x]/[1-2Sinx]=[(u²-1)/(2u-1)]*Cosx
=[(u²-1)/(2u-1)]du
On résoud alors l'intégrale en changeant les bornes d'intégration (jc pas si on note ça comme ça scratch ): Sin(-Pi/6)=-1/2 [2Pi] et Sin0=0 [2Pi]
~[-Pi/6 à 0] [(Cos^3(x))/(1-2Sinx)]dx=~[-1/2 à 0] [(u²-1)/(2u-1)]du
=~[-1/2 à 0] [(1/2)u+(1/4)-(3)/(8u-4)]du
=[(1/4)u²+(1/4)u-(3/8)ln(|8u-4|)] de -1/2 à 0
=(-3/8)ln(|-4|)-(1/2)+(1/2)+(3/8)ln(|-8|)
=(3/8)ln(2)

Voilà! cheers

Merci encore!!! Very Happy
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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Ven 3 Avr - 14:25

Bonjour,

C'est en effet plus simple lorsqu'on comprend sensiblement ce qu'on fait.

Par contre au niveau de la rédaction, tu ne peux pas écrire:

Citation :
[Cos^(3)x]/[1-2Sinx]=[(u²-1)/(2u-1)]*Cosx
=[(u²-1)/(2u-1)]du

Sauf si tu mets le dx dans les première égalité car du=Cos(x)*dx. Par contre au niveau de la rédaction lors d'un devoir par exemple, ces égalité ne sont pas écrite à part de l'intégrale mais dans l'intégrale et on marque pour la dernière égalité "Par changement de variable".

De plus, pour le changement de borne d'intégration, même si ici, il s'agit d'un sinus, il n'y a pas de modulo [2*Pi]. D'ailleurs je ferai un point là-dessus car vu comment tu écrit celà j'ai pas l'impression que ces histoires de "modulo" soient bien comprises.

Alors pour la rédaction d'un changement de variable, on va déjà mettre en évidence ce qui va changer et donc faire la modification que tu as fait au départ ce qui donne:

-Pi/60 [Cos^(3)x]/[1-2Sinx] dx
= ∫-Pi/60 [Cos²x]*Cos(x)/[1-2Sinx] dx
= ∫-Pi/60 ([1-Sin²(x)]/[1-2*Sinx])*Cos(x) dx
= ∫-Pi/60 ([Sin²(x)-1]/[2*Sinx-1])*Cos(x) dx

On pose: u=Sin(x)
Donc lorsque xЄ]-Pi/6;0[, on a: uЄ]Sin(-Pi/6);Sin(0)[ par croissance de la fonction sinus sur l'intervalle ]-Pi/6;0[
D'où lorsque xЄ]-Pi/6;0[, on a: uЄ]-1/2;0[

De plus, formellement, on a: du=Cos(x)*dx

Donc par formule du changement de variable, on a:

-Pi/60 [Cos^(3)x]/[1-2Sinx] dx= ∫-1/20 [u²-1]/[2*u-1] du

Il nous faut trois étapes chose indispensable pour effectuer un changement de variable et j'ai tenté de les mettre en évidence dans la rédaction:

- le changement de variable en lui même
- le nouvel intervalle d'intégration (ne jamais oublier de changer les borne d'intégration !!)
- la "dérivation formelle"


Donc ici, on retrouve notre fonction f(u) dont on avait calculer la décomposition en éléments simples ce qui permet d'avoir plus de facilité pour intégrer.

Par contre attention lorsque tu fait tes calculs car tes calculs de primitives sont excellentes maintenant et il est vraiment dommage de gâcher cela avec les derniers calculs:

-(1/4)*(-1/2)²-(1/4)*(-1/2) = -(1/4)*(1/4) +1/8=-1/16+1/8=1/16

C'est une erreur bête qui met à mal tout le travail d'avant c'est dommage. Il faut rester concentré jusqu'au bout des calculs. Lorsque la tempête est passée, ne pas oublier de regarder l'état du bateau avant de repartir Wink.

Sinon, je pense que tu as compris le principe du changement de variable en effet. Je vais juste ajouter une petit chose car si le "du=Cos(x)*dx" te gêne car il s'agit d'une écriture formelle dont tu as du mal à voir d'où elle vient, tu n'a qu'à voir cela moins formellement comme ceci:

On pose u(x)=Sin(x) donc u'(x)=Cos(x) jusque là c'est du classique. Maintenant si on note les dérivée "à la physicienne" on a: du/dx=Cos(x) <=> du=Cos(x)dx

J'ai mis des guillemet car cette façon de décrire les dérivées est en fait très mathématiques mais vous avez plus l'habitude de la voir en physique c'est pour cela que j'ai écrit cela. J'espère que comme ça c'est encore plus clair au niveau du changement de variable.


Sinon, pour les "modulo", ce que tu écrivais n'avait pas de sens car "modulo 2*Pi" signifie qu'il existe un entier relatif k tel qu'il y a égalité à k*2*Pi près ce qui est inexacte dans ton égalité. Les modulo serve surtout en arithmétique et rarement en intégration sauf cas particulier assez rare où on parlera d'ailleurs plus de fonction 2*Pi périodique par exemple.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   Lun 6 Avr - 9:00

Ok, merci beaucoup pour la méthode! Very Happy Et aussi pour la correction!

A bientôt!! Smile
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MessageSujet: Re: Intégrale avec changement de variable   

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