Explication pour exo de matrice/stat

Bonjour!

Alors voilà, j'ai un exercice à faire. J'ai la réponse mais je ne la comprend pas! Alors si tu veux bien m'expliquer, ce serait très gentil!
Je marque l'énoncé:

Nous allons étudier l'évolution de la population d'un poisson de rivière froide. La période de reproduction se situe au printemps. Les poissons de 1 an mesurent 20 cm et la moitié d'entre eux est adulte (i.e. capable de se reproduire). A 2 ans, tous les poissons sont adultes et mesurent en moyenne 30 cm. On admettra parla suite qu'il y a autant de mâles que de femelles. Une femelle fournit pendant la période de reproduction annuelle en moyenne 200 alevins, 95% d'entre eux meurent avant 1 an. A partir de l'âge de 1 an, 40% des poissons meurent par an.
Au printemps d'une année n, juste avant la période de reproduction, on établit le bilan des populations de poisson pour chaque âge, on appelle alors:
N_a,n le nombre d'alevins
N_1,n le nombre de poissons de 1 an
N_2,n le nombre de poissons de 2 ans et plus

1. Représenter par un schéma le cycle de vie de ce poisson en notant toutes les données pertinentes du problème.
2. Ecrire les équations reliant les nombres de poissons de chaque âge pour l'année n+1 en fonction des nombres de poissons de chaque âge pour l'année n.
3. On représente la population, au printemps de l'année n, par le vecteur V_n:
(N_a,n)
(N_1,n)=V_n C'est sous forme d'une matrice colonne
(N_2,n)
Montrer que l'on peut déterminer V_n+1, en multipliant V_n par la matrice M suivante:
(0 50 100)
(0,05 0 0 )=M
(0 0,6 0,6)

Donc voilà, on obtient la réponse à la question 2 grâce à la question 3:
V_n+1=MV_n
=(50N_1,n+100N_2,n)
(0,05N_a,n)
(0,6N_1,n+0,6N_2,n)

Pour la question 2, on obtient ainsi:
N_a,n+1=50N_1,n+100N_2,n (1)
N_1,n+1=0,05N_a,n (2)
N_2,n+1=0,6N_1,n+0,6N_2,n (3)

Je comprend la (2) et la (3) mais pas la (1)
Pour la (2), seuls 5% des alevins survivent
Pour la (3), seuls 60% des 1 an survivent et 60% des 2 ans et +
Mais pour la (1), je ne comprend vraiment pas.

Alors merci d'avance pour tes explications

Bonjour,

En effet la première question n'est pas des plus clair mais bon, on peut toujours faire un tableau avec touts les données du problème ou faire un arbre représentant les données du problème.

Le but de la question, un c'est de prendre un poisson et de mettre en évidence les étape de sa vie. Ceci permet de faire une première approche de la modélisation du problème, en ne considérant qu'un seul alevin qu'on va suivre au cours de sa vie.

Donc il naît, puis soit il meurt (95% de chance) soit il vit une année de plus (5% de chance).

Ensuite à 1an, il mesure 20cms (met à la rigueur ça rentre pas en compte dans le problème) mais surtout il a 1 chance sur deux d'être adulte.

Après, il a 40% de chance de trépasser avant la deuxième année et donc 60% de chance de passer à la deuxième année où il sera forcément reproducteur.

Sachant qu'il y a autant de femelle que de mâle, à la première année si il peut se reproduire, il y aura production de 200 alevins et sinon ça sera à la deuxième année. Et ensuite tous les ans si il fait parti des 60% de vivant.

Après, il faudrait mettre cela sous une forme assez intéressant pour qu'on puisse y voir les enchaînements d'année en année.


Pour la question 2), elle se déduit de la trois en effet. Le soucis c'est que si tu fait ça en devoir tu n'auras pas de point pour la simple et bonne raison que la question 3) vient après la question 2) et non l'inverse. Par contre faire cette remarque permet de travailler au brouillon pour essayer de mieux visualiser les choses et comprendre les enchaînement entre les années et ainsi déduire la réponse 2) de façon structurée.

Mais il faut absolument faire la question 2) en expliquant ta démarche sans faire appelle à la question 3) sinon, tu n'auras vraiment aucun point car tu ne répond pas au problème en soi.

Nous sommes ici face à un problème de modélisation c'est à dire qu'il y a eu une étude de faite et maintenant on voudrait modéliser de façon mathématique toutes les données statistique qu'on a pu avoir pour ainsi prédire l'évolution dans le temps de notre espèce de poisson. Cela a des but très concret comme la sauvegarde d'une espèce, les restrictions de pèche ou encore la rentabilité de mettre en culture ce genre de poisson par exemple.

Bon courage!

Merci de ta réponse mais je voulais seulement que tu m'expliques pourquoi N_a,n+1=50N_1,n+100N_2,n. C'est tout
Mais merci quand même!
Je me suis ptet mal exprimée! Dsl!
Il n'y a que cette équation que je comprend pas, pour les deux autres, c'est bon.

En effet, pour moi j'ai lu je ne comprend pas la 1) et non l'équation (1) xD.

Désolé, pour ce léger quiproquo .

Alors reprenons, on cherche en fait à savoir combien il y aura d'alevins l'année suivant. alors réfléchissons un peu. On sait que seul les adultes sont capable de produire des alevins.

On sait aussi que la moitié de la population de 1an peut produire des alevins mais par contre à 2ans et plus il peuvent produire à tous les coup des alevins vu qu'ils sont tous adultes.

Et il y a 200 alevins par portée. Attention les mâle ne produise pas d'alevins !! .

Maintenant, on fait le bilan:

200alevins*(nombre de femelles de 1an capable de produire) + 200alevins*(nombre de femelles de 2ans et +)

On sait qu'il y a autant de mâles que de femelles à chaque génération (d'après l'hypothèse du texte). Par conséquent, si il y a N_1,n poissons de 1an, il y a N_1,n/2 femelle. De même pour avoir le nombre de femelles de 2ans et plus.

Cependant, on a encore une restriction pour les femelles de 1an, car seulement la moitié peuvent se reproduire.

La conclusion est donc celle de ton énoncer.

Est-ce que cela est plus clair?

Bonjour!

Ah oui, c'est nettement plus clair!! Merci beaucoup!